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2017届河北省武邑中学高三下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1设集合， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以 .选C.2设是虚数单位，复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析： ，所对应的点位于第四象限，选D.【考点】复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（ ）A. 18 B. 20 C. 21 D. 40【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求 的值，输出S=20故选B4某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.其中，“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A. 6升 B. 8升 C. 10升 D. 12升【答案】B【解析】由表格信息得到,该车跑600千米时,用油48升,故每100千米平均耗油为 升.选B.5下列命题，正确的是（ ）A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】对于选项A,正确的是“ 均有”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答. 6已知， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若， 垂直于同一平面，则与平行B. 若， 平行于同一平面，则与平行C. 若， 不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若， 不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】试题分析：由于，垂直于同一平面，则与平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故不对；若m，n平行于同一平面，则m与n平行，可能相交也可能平行也可以异面，故不对；若，不平行，则在内不存在与平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以不正确；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以正确【考点】命题的真假判断与应用7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，直观图如下图所示，故表面积为.【考点】三视图.【思路点晴】三视图边长的口诀是：长对正，高平齐，宽相等，也就是几何体的长宽高可以由三视图看出来.三视图解题的思路主要从俯视图出发，本题俯视图是个等边三角形，接着看主视图和侧视图，由于这两个视图是三角形，故可以判断这是一个三棱锥，再由主视图和侧视图确定高的位置如图.计算表面积要注意一共四个面.8平面直角坐标系中，在由轴、和所围成的矩形中任取一点，满足不等关系的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设可知矩形面积为，其中在曲线下方的部分面积是，由几何概型的计算公式可得所求事件的概率为，应选答案D。点睛：本题旨在定积分计算公式的理解和运用，同时综合考查几何概型的计算公式及灵活运用，求解时充分运用题设条件，以及等价化归与转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解。9以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故选A【考点】椭圆，双曲线的标准方程及其性质10已知函数，则“函数有两个零点”成立的充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设欲使“函数有两个零点”须满足一个根大于1，另一个根不大于1，即且，即应满足，应选答案C。11如图所示， 中，已知，点在直线上从左到右运动（点不与、重合），对于的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设的外接圆面积与的外接圆面积的比值即为半径的平方比，不妨设圆的一般方程为，将代入圆的方程可得，故半径的平方；将代入圆的方程可得，故半径的平方。则两圆的面积的比值，应选答案C。12对任意的，不等式恒成立，则正实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由的任意性，不妨取，则原不等式可化为，即，令，则，令，则，则该函数单调递增，所以在上只有一个零点，设该零点为，则，所以，即，所以，应选答案A。点睛：本题求解难度较大，解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解。13在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且，若，则的最大值为_【答案】6【解析】由题设可得，由于，所以，由余弦定理可得，即，又因为，所以，应填答案。点睛：本题以三角形中的边与角的关系作为题设条件，将余弦定理、基本不等式有机地整合在一起，旨在综合考查余弦定理、基本不等式等基本概念与公式的综合运用，同时考查运算求解能力、推理论证能力及分析问题解决问题的能力。二、填空题14函数的定义域为_【答案】【解析】由已知有 ,解得,所以函数定义域为.15已知函数若，则_【答案】-1或1【解析】由 有 或,当时, 的值不存在;当时,若 ,解得 ,若,解得,所以或 .点睛: 本题主要考查分段函数求值，属于易错题. 本题思路: 由,将看成一个整体,求得 或, 再分或讨论, 求出 的值.16已知在直三棱柱中， 为等腰直角三角形， ， ，棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为_【答案】【解析】如图，在面延长，连，则是两平面的交线，故，由于，故，又的外接圆的半径，球半径，应填答案。三、解答题17在数列中，设，且满足，且.（1）设，证明数列为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析;（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，利用等差数列的定义进行分析推证；（2）借助题设运用错位相减法分析探求。（1）证明：由已知得，得，又，是首项为1，公差为1的等差数列（2）解：由（1）知， ，两边乘以2，得，两式相减得 ，18中，角， ， 所对的边分别为， ， ，向量， ，且的值为.（1）求的大小；（2）若， ，求的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由,可得，从而可得结果；（2）在中，由，得，又由正弦定理，解得，故的长为.试题解析：(1) ,.(2) ,由得，.19已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1），（2）当时， 取得最大值6104万元【解析】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论试题解析：（1）当时， ，当时， ，所以（2）当时， ，所以；当时， ，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以取最大值为5760综合知，当时， 取得最大值6104万元【考点】分段函数模型20在三棱柱中，侧棱底面， 为的中点， ， ， .（1）求证： 平面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析: (1)由线面平行的判定定理证明; (2)多面体 的体积等于三棱柱 的体积减去三棱锥 的体积,分别证明出三棱柱 的高为 和三棱锥的高 (为中点), 再用体积公式计算出结果.试题解析: （1）证明：连接交于，连接.， 分别为与的中点，为的中位线，.又平面，平面，平面.（2）连接，取的中点，连接，如图.， ，为等边三角形.侧棱底面， ，.在中，于是， ，即，面，又，面，即是三棱锥的高.，. ，.21已知函数， （为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若， ，且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析: (1)求出函数的图象在点的切线方程,再由直线与抛物线相切, ,求出实数的值; (2)由题意构造函数 ,求出, 在上有解,再由二次函数相关知识求出的范围; (3)假定 ,先分别求出函数在上的单调性,将原不等式转化为,即在上为增函数,求出实数的范围.试题解析:（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得.（还可以通过导数来求）（2）因为 ，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是.（3）不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，且.当时，函数在区间上是减函数，所以，所以，等价于，即，等价于 在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.点睛: 本题主要考查导数的应用,包括导数的几何意义,导数与单调性,属于中档题.本题在第3问中注意解题思想:等价转换,将原不等式转化为求在上为增函数,等价于在区间上恒成立,分离出,转化为求在上的最小值.22如图，在几何体中，四边形与均为直角梯形，且底面，四边形为正方形，其中，为的中点（）求证：；（）求几何体的表面积【答案】（）见解析;（）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用线面垂直的判定定理与性质定理进行分析推证；（2）借助题设条件中图形的特征与特点，巧妙运用几何图形的面积公式求解：（）证明：平面，平面，为正方形，又，平面平面，取的中点，连接，四点共面易证，可得，平面，又平面，（）解：根据题意，在直角梯形中，同理又平面，平面，同理又，平面，故于是，表面积为故几何体的表面积为23选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为， 点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于， 两点，求的值.【答案】（1）， （2） 【解析】试题分析: (1)利用 将极坐标方程转化为普通方程,利用直线参数方程形式特征求出直线参数方程; (2)将直线 的参数方程代入曲线C的普通方程,利用韦达定理求出 的值,再利用直线参数方程几何意义求出 ,再代入所求式子中,得出结果.试题解析:（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，点的极坐标为： ，化为直角坐标为.直线的参数方程为，即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，整理得： ，显然有，则， ， ，所以.
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