小波变换基础

第9章小波变换基础9.1小波变换的定义给定一个基本函数 (t)，令1 t b-a,b(t)=(t b)( 9.1.1)Qaa式中a,b均为常数，且a0。显然，屮a,b(t)是基本函数屮(t)先作移位再作伸缩以后得到的。若a,b不断地变化，我们可得到一族函数屮a,b(t)。给定平方可积的信号x(t)，即2x(t) L (R)，贝“ x(t)的小波变换(Wavelet Transform，WT)定义为1t bWTx(a,b)=x(t)- )dtaa=X(t)a,b(t)dt 二 X(t)/a,b(t)(9.1.2)式中a,b和t均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换( cwt)。如无特别说明，式中 及以后各式中的积分都是从 -：到：。信号x(t)的小波变换 WTx(a,b)是a和b的函数， b是时移，a是尺度因子。屮(t)又称为基本小波，或母小波。屮a,b(t)是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，(9.1.2)式的WT又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若x(t)是实信号， (t)也是实的，则WTx(a, b)也是实的，反之，WTx(a,b)为复函数。在(9.1.1)式中，b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波 (t)作伸缩。我们在1.1节中已指出，由* (t)变成(-)，当a 1a时，若a越大，丄)的时域支撑范围(即时域宽度)较之.(t)变得越大，反之，当a ： 1a时，a越小V (E)的宽度越窄。这样,aa和b联合越来确定了对 x(t)分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。4a3a2aa图 9.1.1基本小波的伸缩及参数 a和b对分析范围的控制(a)基本小波,可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t)作分析,(b) b 0，a=1 ,(c) b 不变，a =2, (d)分析范围这样，(9.1.2)式的WT由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同 的分辨率这一基本要求。1(9.1.1)式中的因子 是为了保证在不同的尺度a时，屮a,b(t)始终能和母函数W (t)有着相同的能量，即严 a,b(t) dt =t -b2)dt令口 ，则dadt ,这样，上式的积分即等于(tfdt oa令x(t)的傅里叶变换为 XC1)， (t)的傅里叶变换为 C1)，由傅里叶变换的性质,屮a,b(t)的傅里叶变换为:1 t _ b(9.1.3)(9.1.4)- a,b(t) ：-()=宇a,b(a宇(a)ejba a由Parsevals定理，(9.1.2 )式可重新表为：1WTx(a,bH ：X(,？a,bL)2-X(i 9宇 ”(a 1)Jbd2-此式即为小波变换的频域表达式。9.2小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒 Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来 讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较(9.1.2)和(9.1.4)式对小波变换的两个定义可以看出，如果屮a,b(t)在时域是有限支撑的，那么它和 x(t)作内积后将保证 WTx(a,b)在时域也是有限支撑的，从而实现我 们所希望的时域定位功能，也即使WTx(a,b)反映的是x(t)在b附近的性质。同样，若汛,b(C)具有带通性质，即甲a,b(0)围绕着中心频率是有限支撑的，那么 巴,b(。)和X(0)作内积后也将反映 X()在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然， 这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波 (t)，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。由1.3节可知，若- (t)的时间中心是to，时宽是3，(门)的频率中心是0，带宽 是A；-】，那么()的时间中心仍是to，但时宽变成at, (丄)的频谱a?(ai)的频率中aa心变为./a，带宽变成Ja。这样，(丄)的时宽一带宽积仍是，与a无关。这 a一方面说明小波变换的时一频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是 揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义Q _=带宽/中心频率(9.1.5)为母小波- (t)的品质因数，对(-)，其a带宽/中心频率=-/；：.0 =Q-0 / a因此，不论a为何值（a . 0）, （!）始终保持了和 （t）具有性同的品质因数。恒 Q性质a是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图921说明了 T（“）和T（a）的带宽及中心频率随 a变化的情况。甲g）甲(a0 )1普（a。）/ 2Aq7 -gr/220Q图 9.2.1弓(a)随 a变化的说明；(a) a=1，(b) a = 2, (c) a = 1/2将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a变小时，对x（t）的时域观察范围变窄，但对X（）在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c所示。反之，当a变大时，对x（t）的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时-频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、 带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。/2(a =2) 。0/21Aq/2图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时一频区间三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上 可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中 210处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率 边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中 0/2处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。 但在不同的a值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不 变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖 脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频 域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信 号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分 辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满 足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析 时的规律，也符合人们的视觉特点。现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能 （频 域的:.函数），但在时域所对应的范围是 - :,完全不具备定位功能。这是 FT的一 个严重的缺点。人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT的不足。重写（2.1.1 ）式，即STFTx(tT) = .x( )g ( -t)e jtdt=x(G, g(t t)eE(9.2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数 e的频率。同理，当复指数由变成（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数g（i）。这样，当复指数 e-*蛭的频率变化时，STFT的基函数gt,iG）的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当。由00变化成20。时，gt,iG）对X0）分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT不具备恒Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图中g(t)二e丄2/TGg)图923 STFT的时一频分析区间 gt,.(t) =g( -t)ej0t ,.(t) =g( -t)e 0t ,(b)G()是 (t)的 ft.G C1)是g；, .(t)的ft, (c)在不同的l幕和处，时宽、带宽均保持不变 (931)号，每一个子带信号需有相同的带宽，即2： /M，其中心频率依次为 kMk=0M -1 (注：若是DFT滤波器组，则中心频率在Mk，k1)，且这M个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数 a来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。但小波变换和7.9节讨论过的树状滤 波器组在对信号的分析方式上极其相似。由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分 辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。由(9.1.1 )式，定义2WTx(a,b)|21t b(9.2.7)b和尺度a的能量Jjx(t)A(J)dtVaa为信号的“尺度图(scalogram)”。它也是一种能量分布，但它是随位移 分布，而不是简单的随(t/1)的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时一频分布。但由于尺度a间接对应频率(a小对应高频，a大对应低频)，因此，尺度图实质上也是 种时-频分布。综上所述，由于小波变换具有恒 Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。法国数学家Y.Meyer，地质物理学家 J.Morlet和理论物理学家 A.Grossman对小波理论作出了突出的贡献。法国学者I.Daubechies和S.Mallat在将小波理论引入工程应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。人们称这些人为“法国学派”。在小波理论中一些有影响的教科书如文献3,5,8,16等，一些有影响的论文如文献42,43,51,52,53,87,88,105,116等。国内从工程应用的目的较为全面地介绍小波理论的著作 见文献21，结合MATLAB介绍小波理论的著作见文献18.9.3连续小波变换的计算性质1 .时移性质若x(t)的CWT是WTx(a,b),那么x(t - )的CWT是WTx(a,b - )。该结论极易证 明。记 y(t) = x(t _ )，则1t 一 bWTy(a,b)x(t -)( )dtQa a=1 x(t)(t )dtaa二 WTx(a, b -)2.尺度转换性质如果 x(t)的 CWT 是WTx(a,b)，令 y(t) =x(t)，贝UWTy(a,b) = 1 WTX( a, b)(932)证明:则WTy(a, b)二t bx( t)- ( )dt，令 i = t ,aWTy(a,b) =；x(t (- 匕)丄 dt a 九1. t - bx(tr ( )dt a a1JIWTx( a, -b)该性质指出，当信号的时间轴按作伸缩时，其小波变换在 a和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。如果 x(t)的 CWT 是WTx(a,b)，令 y(t) =dx =x (t)，则 dt-(933)WTy(a,b)WTx(a,b)cb证明：WTy(a,b)= 1 耸皿厂“胡知x（s（宁dt他力圧 加+屮呼）卄 知x铲号）町由（9.3.1）式的移位性质，有WTy(a,b)牛WTx(a,b：t)WTx(a,b)At即WTy(a,b)WTx(a,b)cb4. 两个信号卷积的 CWT ,令 x(t), h(t)的 CWT 分别是 WTx(a, b)及WTh(a,b)，并令 y(t) = x(t) h(t)，贝UbWTy(a,b) =x(t) WTh(a,b)b=h(t) WTx(a,b)( 9.3.4)b式中符号“表示对变量b作卷积。证明：1：t _bWTy(a,b)： _x( )h(t- )d J ( )dtPa 耳a-he 1t _b=右 Jh(t(寸)dtdi再由(9.3.1)式的移位性质，有WTy(a,b)= _x( .)WTh(a,b -)d 同理，WTy(a,b)= h)WTx(a,T)dT于是(9.3.4)式得证。5. 两个信号和的CWT令 x1(t), x2(t)的 CWT 分别是 WTx1(a,b),WTx2(a,b)，且 x(t)二 x,t) X2(t),则WTx(a,b)二WTx1(a,b) WTx2(a,b)(9.3.5a)同理，如果 x(t) = k1X1(t) k2X2(t)，贝UWTx(a,b)二 kWTx1(a,b) k2WTx2(a,b)(9.3.5b)(9.3.5)式说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。看到WT的这一性质，估计读者马上会想到WVD中的交叉项问题。由(9.3.5)式看来，似乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。(9.1.2)式所定义的CWT是“线性”变换，即x(t)只在式中出现一次，而在(3.1.2)式的 WVD表达式中x(t)出现了两次，即x(t */2)x”(t -/2)，所以，我们称以Wigner分布为代表的一类时频分布为“双线性变换”。正因为如此，Wx(t/O是信号x(t)能量的分布。与之相对比，小波变换的结果WTx(a,b)不是能量分布。但小波变换的幅平方，即(927)式的尺度图则是信号 x(t)能量的一种分布。将 x(t)二x-|(t) x2(t)代入(9.2.7)式，可得：WTx(a.b)WTx1(a,b/ +WTx2(a,bf+ 2WT1(a,b)WTx2(a,b) cosp -0x2)(9.3.6)式中飞，分别是WTxi(a,b)和WTx2 (a,b)的幅角。WTxi(a,b)+ WTxi(a,b)证明：2WTx(a,b)| =WTx(a,b)WTx*(a,b)二WTx1(a,b) WTx2(a,b)WTx；(a,b) WTx；(a,b)22WTxi (a, b)WTx2 (a, b) WT* (a, b)WTx； (a, b)由于后两项互为共轭，因此必有(9.3.6)式.(9.3.6)式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。我们在3.5节中已指出， WVD的交叉项位于两个自项的中间，即位于(tj/l)处，匚二 t2)/2,f -(门1 2)/2,化1匸1)卫2厂2)分别是两个自项的时一频中心。由(9.3.3)式可以得出，尺度图中的交叉项出现在WTx1(a,b)和WTx2(a,b)同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。可以证明 【钱，书】，同一信号x(t)的WVD和其尺度图有如下关系：2tbWTx(a,b) = HWx(t,0)W(,a0)dtd0( 9.3.7)a式中Wt(t,)是母小波匸(t)的WVD，该式揭示了 WVD和WT之间的关系，这说明cohen 类的时一频分布和小波变换有着非常密切的内在联系。6. 小波变换的内积定理定理 9.1 设 X1(t),x2(t)和(tr L2(R) , X1(t),X2(t)的小波变换分别是 WTx1(a,b)和 WTX2（a，b），则式中daJ WTxi(a,b)WTx：(a,b)pdb = CXi(t),X2(t”a二？(门)2Cd：-Q(938)(939)弓（门）为，;（t）的傅里叶变换。证明：由（9.1.4）式关于小波变换的频域定义，（9.3.8）式的左边有:；Xi(i | )7 (al yeldi 】.；X2(al r)ebdi卑 db2一一：4 二 a._Xi()X2L )宇”(a，ej：；)bdb:da.XUX”.巧汀|卜（门-门）did；2：aLXi(0)X；(C)W(aO)|2d0:12 :假定积分严甲（a0）小严怦（）f d（a0） = f v 70a0 J存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为A qOcX11）X2C1） =8 x1（t）, x2（t）2 二二于是定理得证。（9.3.8）式实际上可看作是小波变换的 Parseval定理。该式又可写成更简单的形式 即WTx1(a,b),WTx2(a,b) =6 x,t),X2(t)(9.3.10)进一步，如果令 xdt） = X2（t） = x（t），由（9.3.8）式，有100 2=評心肌佝b) dadb(9.3.11)该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度-位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时-频分布的一种表示形式。(938)和(9.3.11)式中对a的积分是从0 :，这是因为我们假定 a总为正值。这两个式子中出现的 a 2是由于定义小波变换时在分母中出现了1/ 一 a，而式中又要对 a作积分所引入的。读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以c_：的存在为条件。9.4小波反变换及小波容许条件下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。定理9.2设x(t),屮(t)L2(R)，记甲( 为屮(t)的傅里叶变换，若2也严實(0)|0-则x(t)可由其小波变换 WTX(a,b)来恢复，即.；WTx(a,b)ta,b(t)dadb(9.4.1)1 x(t厂C.证明：设 x(t) = x/t)， x2(t) = (t -t),则X1(t),X2(t) =x(t)1 r 盂m t _ b1 山 t _ bWTx2(a,b).： (t -tr ()dU口)v aavaa1 *巧 2:X它 3、如x(aa,b(t)dadb将它们分别代入(9.3.8)式的两边，再令t 二t，于是有 1于是定理得证。在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以6：二为前提条件的。(9.3.9)式又称为容许条件(admissibility condition )。该容许条件含有多层的意思：1. 并不是时域的任一函数 (tr l2(r)都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件；2. 由(9.3.9)式可知，若C：，则必有T(0) = 0，否则6：必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数 (t)必然是带通函数;3. 由于T Og = 0，因此必有- (t)dt =0(942)这一结论指出，(t)的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即(t)是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时一频定位的角度，我们总希望(t)是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波(wavelet )的原因。2. 由上述讨论，;(t)自然应和一般的窗函数一样满足：- (t)dt ： ：( 943)3. 由后面的讨论可知，尺度a常按a =2j来离散化，p Z .由(9.1.3)式，对应的傅里叶变换2j/2?(2几Je jb，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时 也需要在该尺度下由 WTx(a,b)来重建x(t)，因此要求忖(2j0)2是有界的，当j由：时，应有(944)？(2j)j式中0 ： A乞B ：:。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函数提出的又 一要求。满足(9.4.4)式的小波称作“二进(dyadic)”小波。9.5重建核与重建核方程我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波至少要满足(9.3.9)式的容许条件。与此结论相类似，并不是(t)。可以作为小波的函数(a, b)平面上的任一二维函数WT(a,b)都对应某一函数的小波变换。WT(a,b)如果是某一时域信号，如x(t)的小波变换，它应满足一定的条件，此即本节要讨论的内容。定理9.3设(a,b0)是(a,b)平面上的任一点，(a,b)上的二维函数 WTx(a,b)欲是某 一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即qQqQWTx(a0,b0)= a：_WTx(a,b)K-：(a0,b0；a,b)dadb(9.5.1)式中 WTx(ao，bo)是WTx(a,b)在(a,bo)处的值，1K.(ao,bo；a,b)a,b(t)dtC屮1a,b(t)ao,bo(t)( 9.5.2 )Ct -称为重建核。证明：由(9.1.2)式小波变换的定义，有WTx(a,b) = x(t)a,b(t)dt将(9.4.1)式代入该式，有1 oO 2 O0亠WTx(a,bo)= J aWTx(a, b a,b(t)dadb ：0,b0(t)dt10二：2 ： ：1 a . _-WTx(a,b) a,b(tr ao,bo(t)dtdadb 0 GC: 2 1二 0 a，WTx(a,b) a,b(t) a0,b0(t) dadb此即(9.5.1 )和(9.5.2)式。(9.5.1)式的重建核方程和(9.5.2)式的重建核公式说明，若WTx(a,b)是x(t)的小波变换，那么在(a,b)平面上某一点(a0,b0)处小波变换的值WTx(a),b0)可由半平面(a R ,b R)上的值 WTx(a,b) 来表示，也即，WTx(a0,b0)是半平面上 WTx(a,w)的总贡献。既然(a,b)平面上各点的 WTx(a,)可由(9.5.1)式互相表示，因此这些点上的值是 相关的，也即(9.4.1)式对x(t)的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用(a,b)平面上离散栅格上的 WTx(a,b)来重建x(t)，以消除重建过程中的信息冗余。在第二章中已指出，当用x(t)的短时傅里叶变换 STFTx(tr)来重建x(t)时，(t/1)平 面上的信息也是有冗余的，即(t/1)平面上各点的STFTx(t/9是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT，如(2.2.6)式，进一步的发展即是信号的 Gabor展开与Gabor变换。 由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息 的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的 内容将在本章的最后两节来讨论。重建核k呎a0,b0；a,b)是小波屮a,b(t)和 何,0)处的小波屮a0,b0(t)的内积，因此 旬反映了即a,b(t)和即a0,b0(t)的相关性。若a=a0,b = b。，即两个小波重合时，曲取最大值;若（a,b） 远离（a0 ,b0），则k屮将迅速减小。若能保证 k屮=6 （a a0 ,b b0），则（a, b）平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度a及位移b ,由母小波-：（t）形成的一族屮a,b（t）是两两正交的。可以想象，若a,b连续取值，要想找到这样的母小波屮（t）使屮a,b（t）两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换的WTx（a,b）必然存在信息冗余。然而，当 a,b离散取值时，则有可能得到一族正交小波基屮a,b（t）。9.6小波的分类由前两节的讨论可知，作为一个小波的函数（t），它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必 然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波 屮（X）形成的屮a,b（t）是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望屮（X） 有高阶的消失矩，希望与（X）相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经 典小波”，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上 比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen, Daubechies构造的双正交小波。9.6.1经典类小波1. Haar小波Haar小波来自于数学家 Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：3 0 兰 t1/2屮（t） = 11/2 Et 1 j（ 9.6.1）卫其它其波形如图961（a）所示。*（t）的傅里叶变换是：?（）二 j彳sin2（=）ej2（9.6.2）12 aHaar小波有很多好的优点，如：(1) Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为(0, 1);(2) 若取a =2j, j Z ,b Z，那么 Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即-：(t)(t-k) =0,而且在j取不同值时也是两两正交的，即(t),-： (2-jt) =0 如图 9.6.1(b)和(c)所示。所以Haar小波属正交小波；(3) Haar波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除 相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；(4) Haar小波仅取+ 1和1，因此计算简单。但Haar小波是不连续小波，由于t(t)dt = 0，因此T ()在门=0处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于 Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文 中常被用作范例来讨论。屮11/21fa-0-1屮(t_1 r1120屮(t /2) J11J0图 9.6.1 Harr 小波，(a)- ，(b) (t -1)，(c) (t/2)2. Morlet 小波Morlet小波定义为其傅里叶变换-(t)/2ejt(9.6.3)(9.6.4)它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB 中将(9.6.3)式改造为：2(t)二 e/2cos0t( 9.6.5)并取=5。该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取:：:。但是当% = 5，或再取更大的值时，- (t)和()在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所示。Morlet小波不是正交的， 也不是双正交的， 可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。elet: PsiMorlet wav1 16Th e FT of Psi图9.6.2 Morlet小波，(a)时域波形，(b)频谱3 .Mexican hat 小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为(t) =c(1 -t2)ef/2(966)2式中cj/4，其傅里叶变换为3?()=2二 C2e2(9.6.7)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹 如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图9.6.3所示。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小 波变换。由于该小波在 3 -0处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人 眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测131,75。Mex ican hat wavelet: Psi1The FT of Psi图963墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱4. Gaussian 小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：dt2 /2- (t)二ere ， k = 1,2,8(968)dt式中定标常数是保证 f(t)|2=1。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k取偶数时(t)正对称,1LL!bVGaussian wavelet: Psi-50510The FT of Psi(a)时域波形，(b)频谱当k取奇数时，匸(t)反对称。图9.6.4给出了 k=4时的t (t)的时域波形及对应的频谱。1.210.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10图9.6.4高斯小波，取k = 4，962正交小波目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的经典小波”不同，它们一般不能由一个简 洁的表达式给出 即(t)，而是通过一个叫做尺度函数( Scalling function )”的(t)的加权 组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数 (t)，尺度函数(t)同时和一个低通滤波器H(z)及高通滤波器H“(z)相关连，H(z)和H dz)可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理 论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数 (t)，分析滤波器组 H0(z) , H1(z)及综合滤波器组 G0(z) , G1(z)。MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相关的软件来产生各 类正交小波及其相应的滤波器。1. Daubechies 小波Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者 Ingrid Dauechies于90年代初提出并 构造的。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度 a取2的整数次 幕时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures onWavelet (小波十讲)深受同行们的欢迎。dbN中的N表示db小波的阶次，N =210 当N =1时，db1即是Haar小波。因此， 前述的Haar小波应归于正交小波”类。Daubechies计算出了 N=210时的(t),ho, h1,go及g1。在MATLAB5.3中，N的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。(t)的支撑范围在t=0(2N-1)，-: (t)的支撑范围在(1 - N)N。小波 (t)具有N阶消失矩，T(门)在门=0处具有N阶零点。但db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组(CQMFB)。图9.6.5给出了N =4时，(t)，(t)及、()，：:(门)的波形。有关db小波的构造等更多内容见第十早。2. 对称小波对称小波简记为symN , N = 2,3/ ,8 ,它是db小波的改进，也是由Daubechies提出 并构造的。它除了有 db小波的特点外，主要是- (t)是接近对称的，因此，所用的滤波器 可接近于线性相位。图9.6.6是N二4时的对称小波。3. Coiflets 小波该小波简记为coifN , N =1,2，5.在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函 数(t)具有消失矩(N阶)，而没考虑尺度函数(t)。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建议，希望能构造出使(t)也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman的名字命名。coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为6N -1，也是接近对称的。(t)的消失矩是2N ,(t)的消失矩是2N -1。图9.6.7是N二4时的coif4小波。db4: Phidb4: PsiThe FT of Phi(t), (b)(t) , (c)(,(d) ?(Sy m4: Psi图966 N = 4时的对称小波,Coif4: Phi(a)(t) , (b) - (t)Coif4: Psi图 9.6.7N =4时的 Coiflets 小波,(a)(t) , (b) (t)4. Meyer 小波Meyer小波简记为 meyr，它是由Meyer于1986年提出的口。该小波无时域表达式, 它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的，详细内容见第十一章。Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在8, 8之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图9.6.8给出了 Meyer小波的尺度函数(t) 和小波函数 (t)。11 A1.210.80.60.40.2图 968 Meyer 小波，(a)(t) , (b)(t)963双正交小波我们在第七章已指出，两通道正交镜像滤波器组具有仿酋性质。满足这一条件的分析滤波器H0(z)和Hj(z)是功率对称的，且 h0( n)和hn)之间有着(7.4.11 )和(7412)式 的正交性，再是ho(n)，hi(n)，go(n)和gi(n)有着同样的长度，都不是线性相位的。为 了取得线性相位的滤波器组，我们需放弃Ho(z)的功率互补性质。这也就放弃了ho( n)和g(n)之间的正交性，代之的是双正交关系。由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的 (t)，(t)和h0,h1, g0与g1都不具有线性相位(Haar小波除外)。为此，Daubechies和Cohen提 出并构造了双正交小波 【】，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相 应的滤波器组。双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在 MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是：Nr =1,Nr =2,Nr =3,Nr =4,Nr =5,Nr =6,Nd =1,3,5Nd =2,4,6,8Nd =1,3,5,7,9Nd =4Nd =5Nd =8这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波匸(t)的消失矩为Nr -1。图9.6.9给出的bior3.7的分解小波、 尺度函数及重建小波和尺度函数。Dec. scalling function:PhiDec. wavelet function:Psi图969双正交小波bior3.7 (a)分解尺度函数(t) , (b)分解小波-：(t),(c)重建尺度函数(t) ,(d)重建小波- (t)9.7连续小波变换的计算在(9.1.2)式关于小波变换的定义中，变量t，a和b都是连续的，当我们在计算机上实现一个信号的小波变换时，t，a和b均应离散化。对a离散化最常用的方法是取a =a0, j Z，并取a。=2，这样a = 2j。对于a按2的整次幕取值所得到的小波习惯上 称之为“二进(dyadic)”小波。对这一类小波的小波变换，我们可用第十章的有关离散小 波变换的方法来实现。然而取a =2j, j Z，在实际工作中有时显得尺度跳跃太大。当希望a任意取值(a 0)，也即在a0的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。计算(9.1.2)式的最简单的方法是用数值积分的方法，即，令1t -bWTx(a,b)x(t)( )dtaa1Hi丄 t -b八 1 k X(t)- * b)dt(9.7.1)k a ka由于在t =kk 1的区间内，x(t) =x(k)，所以上式又可写为:1 k +t _b叽叭k伯七0ktbk tbxw)dtr灿(9.7.2)由该式可以看出，小波变换WTx(a,b)可看作是x(k)和- ()的卷积后的累加所得到a的结果，卷积的中间变量是t,卷积后的变量为 b及a。 MATLAB中的cwt.m即是按此思路来实现的。具体过程大致如下：1. 先由指定的小波名称得到母小波，；(t)及其时间轴上的刻度，假定刻度长为0N _1；2.从时间轴坐标的起点开始求积分2. 由尺度a确定对上述积分值选择的步长，a越大，上述积分值被选中的越多；3. 求x(k)和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成(9.7.2)式。本方法的不足之处是在a变化时，(9.7.2)式中括号内的积分、 差分后的点数不同， 也即和x(k)卷积后的点数不同。解决的方法是在不同的尺度下对(t)作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撑范围内的点数始终相同。有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林变换等方法，详细内容见文献21，此处不再讨论。例9.7.1令x(t)为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的n oiss in .mat。对该信号作CWT，a分别等于2和128，a =2时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，a = 128时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)，(b)和(c)。例9.7.2仍然使用例9.7.1的信号“ noissin”，对其作CWT时a分别取10，30，60, 90，120及150。所得到的图9.7.2是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明 在该尺度及该位移(水平轴)处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。2一一 a0002|一 aO OOO O8O O6O O4O O2n nusRTOA Iannis1 O-1图 9.7.1 信号 “noissin” 的小波变换，（a）原信号，（b）a=2 , （c）a=128Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 .150120906030101002003004005006007008009001000图9.7.2多尺度下小波变换的灰度表示9.8尺度离散化的小波变换及小波标架我们在（9.1.2）式定义了信号 x（t）的连续小波变换，式中 a，b和t都是连续变量。 为了在计算机上有效地实现小波变换，t自然应取离散值，a和b也应取离散值。从减少信息冗余的角度，a和b也没有必要连续取值。a和b形成了一个二维的“尺度位移”平面。前已述及，a越大，（a）对应的频率越低，反之，对应的频率越高。因此，a-b平面也可视为“时频平面”。对同一个信号x（t）,我们已给出过不同的表示形式， 如STFT, Gabor变换，WVD及本章的小波变换。现重写几个有关的公式，即x(t) -STFTx(t/)ebt(9.8.1)2兀g(o)QO QOx(t ) V / Cm,nhm,n(t)(982)x(t) -Wx(；Q)e心茁(9.8.3)2兀x (0) 21 oO 2 odx(t) o a，.WTx(a,bf a,b(t)dadb(9.8.4)叩0耳其中(9.8.2)式是用时频平面离散栅格(m,n)上的点来表示x(t)，即Gabor展开，(9.8.3)式是具有双线性变换的表示形式，它和其它三种表示形式有较大的区别。(9.8.1)和(9.8.4)式说明同一信号x(t)在时一频平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，(9.8.1 )式的反变换是有信息冗余的，即不需要STFT(t)的所有的值即可恢复 x(t)。同理，(9.8.4)式的小波变换也存在着信息冗余。在这两个式子中，我们只需取时-频平面上的离散栅格 处的点即可。问题的关键是如何决定a和b抽样的步长以保证对x(t)的准确重建。下面，我们首先考虑尺度 a的离散化，然后再考虑a和b的同时离散化。9.8.1尺度离散化的小波变换目前通用的对a离散化的方法是按幕级数的形式逐步加大a，即令a = a0,a00, j Z。若取 a0 =2，则j,b(t) =2- (2S-b)(9.8.5)称为半离散化二进小波”，而WTx(j,bH x(t)j,b(t)=2亠2 x(t)- (2j(t b)dt(9.8.6)称为二进小波变换。设母小波屮(t)的中心频率为Q0，带宽为心。，当a = 2j时，屮j,b(t)的中心频率变为(込)。=0/2j，带宽也角=2九0。若a=2j41时，屮什沁)的中心频率和带宽分别是：(j .Jo = 2亠0 ,=2厶。从对信号作频域分析的角度，我们希望当a由2j变成2卅时，屮j,b(t)和屮j,b(t)在频域对应的分析窗Uj)0 - S j，Uj)0j 和(l 】j 1)0 - 上-I 1 , Uj 1)0 匕 f 勺 i 能够相连接。这样，当j由0变至无穷时，屮j,b(t)的傅里叶变换可以覆盖整个0轴。显然,若令母小波 (t)的(“)o =3?，则上面两个频域窗首尾相连，即首尾相连。通过对母小波作合适的调制，可以方便地做到(门)0 =3厶。现在，我们来讨论如何由(9.8.6)式的WTx(j,b)来恢复x(t)，设?(t)是匸(t)的对偶小波，并令Wj,b(t)和屮j,b(t)取类似的形式，即?j,b(t) = 2?(2-j(t-b)(987)这样，通过对偶小波，我们希望能重建x(t):O0x(t)二、2亠/2 WTx(j,b？(2j(tb)db(9.8.8)j =O为了寻找-?(t)和- (t)应满足的关系，现对上式作如下改变：O0x(t)二 、2 冲彳 WTx( j,b), ? (2j(t b)j 1八 22l -WTx(j,b),-?(2j(t-b)式中代表求傅里叶变换。由(9.1.3)和(9.1.4)式，有001cx(t)二、2亠/2 .X()2j/2? (21)2人？(2 )1门 j r2兀-X() 7 (2)?(21)*2 二j -(9.8.9)显然，若01 ? (2j)？(2j)=1j -(9.8.10)则(9.8.9)式的右边变成 X()的傅里叶反变换，自然就是x(t)。9.4节已指出，对于满足容许条件的小波 (t)，当a =2j, j Z时，其二进制小波屮j,b(t)对应的傅里叶变换应满足(944)式的稳定性条件。这样，结合(944)和(9.8.10)式，我们可由下式得到对偶小波-?(t)8l?()二(9.8.11)由于(9.8.11)式的分母满足(9.4.4)式，因此有(9.8.12)这样，对偶小波？(t)也满足稳定性条件，也即，我们总可以找到一个“稳定的”对偶小波 ?(t)由(9.8.8)式重建出x(t)。下面的定理更完整地回答了在半离散二进小波变换情况 下x(t)的重建问题。定理9.4如果存在常数 A 0,B 0，使得(9.8.13)A|x|l：S 寺Wx(j，b)|2MB|X2j =JOC2(9.8.14)如果?(t)满足0”(2几 J?(2ji J =1-1 = R-0j =(9.8.15)则x(t)八 2-jWTx(j” -?j,(t)j 二oO= 22 .WTx(j,b) ?(2一 - b)db(9.8.16)j =该定理指出，若- (t)的傅里叶变换满足稳定性条件，则x(t)在a = 2j, j Z上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而，- (t)和.?(t)的傅里叶变换若满足(9.8.15)式(也即(9.8.10)式)，贝U x(t)可由(