2017年贵州省遵义市高三上学期期中数学试卷（文科） 含解析

2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1若集合A=x|0x2，且AB=B，则集合B可能是（）A0，2B0，1C0，1，2D12已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A2+iB2iC2+iD2i3某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A0116B0927C0834D07264下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）Ay=2x+1By=Cy=lgxDy=x35向量=（2，1），=（1，2），则（2+）=（）A1B1C6D66已知0，给出下列四个结论：其中正确结论的序号是（）aba+bab|a|b|abb2ABCD7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD8已知倾斜角为的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130，sin50），且APO=30，则等于（）A100B160C100或160D1309阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A2BC1D2102002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值为（）ABCD11已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A=1B=1C=1D=112设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），且x（0，1时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）AbcaBabcCcabDbac二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13函数y=（x+1）0+ln（x23x+4）的定义域为14已知x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为15某中学举行升旗仪式，在坡度为15的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30和60，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m16已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在公差不为零的等差数列an中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，记bn=，求数列bn的前n项和Tn18某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；（2）若从第一组、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，PA平面ABCD，E为PC中点（）求证：平面BED平面ABCD；（）若BED=90，求三棱锥EBDP的体积20已知椭圆C： +=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），离心率为直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N（1）求椭圆C的方程； （2）当AMN的面积为时，求k的值21已知函数，其中kR且k0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x0，使1nf（x）ax成立，求实数a的取值范围请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cossin）=6（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值选修4-5：不等式选讲23已知x0R使得关于x的不等式|x1|x2|t成立（）求满足条件的实数t集合T；（）若m1，n1，且对于tT，不等式log3mlog3nt恒成立，试求m+n的最小值2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1若集合A=x|0x2，且AB=B，则集合B可能是（）A0，2B0，1C0，1，2D1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据AB=B，即可判断集合B的范围，可得答案【解答】解：由题意：集合A=x|0x2，AB=B，BA，故选：D2已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A2+iB2iC2+iD2i【考点】复数代数形式的加减运算【分析】利用复数的加法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=a+i，若z+=4，可得a+i+ai=4，可得a=2则复数z的共轭复数=2i故选：B3某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A0116B0927C0834D0726【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为1000200=5，因为1225=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，1165=23余1，9275=185余2，8345=166余4，7265=145余1，故选：B4下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）Ay=2x+1By=Cy=lgxDy=x3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明【分析】分别判断给定四个函数的单调性，可得答案【解答】解：函数y=2x+1，则y=2，在定义域上单调递减；函数，则y=，在（，0）和（0，+）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；函数y=lgx，则y=0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=x3，则y=3x20恒成立，在定义域上单调递增；故选：B5向量=（2，1），=（1，2），则（2+）=（）A1B1C6D6【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】容易求出向量的坐标，从而便可进行数量积的坐标运算求出的值【解答】解：，；故选：D6已知0，给出下列四个结论：其中正确结论的序号是（）aba+bab|a|b|abb2ABCD【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质【分析】由已知中0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：0，ba0，故错误；a+b0，ab0，则a+bab，故正确；|a|b|，故错误；abb2，故正确；故选：C7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为：2，底面周长为：6+2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S=22+4（6+2）=24+12，故选：A8已知倾斜角为的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130，sin50），且APO=30，则等于（）A100B160C100或160D130【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设OP与x轴的负半轴的夹角为，利用任意角的三角函数的定义可求，分类讨论，利用三角形内角和定理即可得解【解答】解：如图，设OP与x轴的负半轴的夹角为，由已知可得：P（cos50，sin50），tan=|=tan50，可得：=50，当A点在x轴正半轴时，=180（5030）=160，当A点在x轴负半轴时，=1805030=100，故选：C9阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A2BC1D2【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A=，不满足条件i2016，执行循环体，i=2，A=1；不满足条件i2016，执行循环体，i=3，A=2；不满足条件i2016，执行循环体，i=4，A=，循环下去，而20116=3672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=故选：B102002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值为（）ABCD【考点】基本不等式【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2=25，a0解出利用倍角公式即可得出【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，则a2+（a+1）2=25，a0解得a=3sin=，cossin2=故选：D11已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线=1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程【解答】解：由题意，解的b=2，a=2，双曲线的标准方程为故选：D12设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），且x（0，1时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）AbcaBabcCcabDbac【考点】函数的值【分析】由已知得f（2+t）=f（22t）=f（t）=f（t），求出函数的周期性，结合函数f（x）在0，1的表达式求出f（x）的单调性，从而比较a，b，c的大小即可【解答】解：定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），f（2+t）=f（22t）=f（t）=f（t），f（x）是以2为周期的函数，x0，1时，f（x）=，f（x）=0在0，1恒成立，故f（x）在0，1递增，由a=f（）=f（1+）=f（）=f（），b=f（）=f（1+）=f（）=f（），c=f（）=f（），cab，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13函数y=（x+1）0+ln（x23x+4）的定义域为x|4x1或1x1【考点】函数的定义域及其求法【分析】由0指数幂的底数不为0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【解答】解：由，解得4x1或1x1，函数y=（x+1）n+ln（x23x+4）的定义域为x|4x1或1x1故答案为：x|4x1或1x114已知x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为3【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z=23+3=3；故答案为：315某中学举行升旗仪式，在坡度为15的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30和60，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得AD，进而可得CD【解答】解：如图所示，依题意可知AED=45，EAD=1806015=105EDA=18045105=30由正弦定理可知AD=米在RtADC中，CD=ACDsinDAC=m，故答案为16已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为4【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD平面ABCCO1=OO1=，高PD=2OO1=2，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，V三棱锥PABC=2=，r=1则球O的表面积为4故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在公差不为零的等差数列an中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，记bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列an的通项公式（2）利用等差数列的求和公式求得S3n，然后利用裂项相消法求和即可【解答】解：（1）设an的公差为d，依题意得，解得，所以an=2+（n1）1=n+1；（2）由（1）知，等差数列an的首项是2，公差是1，则S3n=3n2+=，故18某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；（2）若从第一组、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图知，能求出百米测试成绩的平均值（2）由频率分布直方图知成绩在13，14）的人数为3人，设为x、y、z，成绩在17，18）的人数为4人，设为A、B、C、D，利用列举法能求出事件“|mn|1”的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为：=0.81+2.32+5.89+5.28+1.4=15.7（2）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为500.06=3人，设为x、y、z；成绩在17，18）的人数为500.08=4人，设为A、B、C、D若m，n13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况；若m，n分别在13，14）和17，18）内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况所以基本事件总数为：3+6+12=21种，事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有12种19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，PA平面ABCD，E为PC中点（）求证：平面BED平面ABCD；（）若BED=90，求三棱锥EBDP的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（I）连接AC交BD于O点，连接EO，由中位线定理得出OEPA，由于PA平面ABCD，故而OE平面ABCD，于是平面BED平面ABCD；（II）在直角三角形BDE中，根据BD的长得出OE，从而求得PA，于是三棱锥EBDP的体积对于四棱锥PABCD的体积减去三棱锥PABD和三棱锥EBCD的体积【解答】（）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，又E为PC中点，OEPA，PA平面ABCD，OE平面ABCD，又OE平面BED，平面BDE平面ABCD（）解：四边形ABCD是边长为2的菱形，OB=OD=OE平面ABCD，OEBD，BED=90，OE=OB=，PA=2OE=2VPABCD=4VPABD=2VEBCD=1VEBDP=VPABCDVPABDVEBCD=421=120已知椭圆C： +=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），离心率为直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N（1）求椭圆C的方程； （2）当AMN的面积为时，求k的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的焦点在x轴上，即a=2，由离心率公式e=，c=，根据椭圆的性质求得b=即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得x1+x2，x1x2，利用弦长公式，点到直线距离公式及三角形行的面积公式即可求得k的值【解答】解（1）由题意得：椭圆的焦点在x轴上，即a=2，由e=，c=，由椭圆的性质可知：b=，解得：b=椭圆C的方程为；（2）由将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+2k2）x24k2x+2k24=0设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1=k（x11），y2=k（x21），x1+x2=，x1x2=|MN|=又因为点A（2，0）到直线y=k（x1）的距离d=，AMN的面积为S=|MN|d=由=，解得：k=2k=221已知函数，其中kR且k0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x0，使1nf（x）ax成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x0），存在x0，使1nf（x）ax成立，等价于ag（x）max，由此可求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f（x）=当k0时，令f（x）0，可得x0或x2；令f（x）0，可得0x2函数f（x）的单调增区间为（，0），（2，+），单调减区间为（0，2）；当k0时，令f（x）0，可得x0或x2；令f（x）0，可得0x2函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（，0），（2，+）；（2）当k=1时，x0，1nf（x）ax成立，等价于a设g（x）=（x0）存在x0，使1nf（x）ax成立，等价于ag（x）max，当0xe时，g（x）0；当xe时，g（x）0g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减g（x）max=g（e）=a请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cossin）=6（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2的方程，然后写出曲线C2的参数方程；（2）设出曲线C2上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值【解答】解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2xy6=0，因为曲线C2的直角坐标方程为：曲线C2的参数方程为：（为参数）（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：=，当sin（60）=1时，点P（），此时选修4-5：不等式选讲23已知x0R使得关于x的不等式|x1|x2|t成立（）求满足条件的实数t集合T；（）若m1，n1，且对于tT，不等式log3mlog3nt恒成立，试求m+n的最小值【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可【解答】解：（I）令f（x）=|x1|x2|x1x+2|=1t，T=（，1；（）由（I）知，对于tT，不等式t恒成立，只需tmax，所以1，又因为m1，n1，所以0，0，又1=（=时取“=”），所以4，所以2，mn9，所以m+n26，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）2016年12月10日