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北师大版2019-2020学年数学精品资料第2课时弧 度 制1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化.2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题.3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度?问题1:弧度制的定义以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1 rad.问题2:角度与弧度之间的转换将角度化为弧度:360=,180=,1=0.01745 rad,n= rad.将弧度化为角度:2=,=,1 rad=()57.30=5718,n rad=().问题3:弧度制下终边相同的角的表示(1)与任意角终边相同的角组成的集合为,其中为角的弧度数.(2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应.(3)在表示与角终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30+2k或+k360,即同一表达式中度量单位要.问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式:弧度制:;角度制:.(2)扇形的面积公式:弧度制:;角度制:.上述公式中,由、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算.1.225角的弧度数为().A. B. C. D.2.若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm,则扇形的面积为().A.40 cm2B.80 cm2C.40 cm2D.80 cm23.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是.4.两角差为1,两角和为1 rad,求这两角的弧度数.角度与弧度的互化(1)把2230化成弧度;(2)把化成角度. 用弧度表示终边相同的角(1)将-1485表示成2k+(kZ)的形式,且00),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?设角1=-570,2=750,1=,2=-.(1)将1、2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;(2)将1、2用角度制表示出来,并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.单位圆上一点A(1,0)依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过角(0),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来的位置,那么是多少弧度?(1)已知扇形的圆心角是=120,弦长AB=12 cm,求弧长l.(2)已知扇形的圆心角为90,弧长为l,求此扇形内切圆的面积.1.圆的半径是6 cm,则圆心角为15的扇形面积是().A. cm2B. cm2C. cm2D.3 cm22.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为().3.已知2k+2k+(kZ),则为第象限角.4.若2弧度的圆心角所对的弦长为2 cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是多少?设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是.考题变式(我来改编):第2课时弧 度 制知识体系梳理问题2:2 360180问题3:(1)S=|=+2k,kZ(2)一一对应唯一唯一(3)统一问题4:(1)l=|rl=(2)S=lr=|r2S=基础学习交流1.C因为1= rad,所以225=225=.2.B72=,S扇形=|R2=202=80(cm2).3.2 rad=2(rad).4.解:设两角分别为、,则有-=,+=1,解得=+,=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)2230=22.5=22.5= rad.(2) rad=()=()=10.【小结】弧度制与角度制的互化应熟悉其互化规则.在利用弧度制表示角时,“弧度”或“rad”可省略不写.探究二:【解析】(1)1485=1485=8+,-1485=-8-=-10+.(2)与的终边相同,=2k+=+2k(kZ).又0,4,1=,2=+2=.【小结】在将角度化成弧度的过程中,要注意负角应怎么化,这里容易忽略0,4这个条件.探究三:【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,=60=,R=10,l=(cm),S弓=S扇-S=10-1010sin 60=50(-)(cm2).(2)由已知得2R+l=c,R=(lc),S=Rl=l=(cl-l2)=-(l-)2+,当l=时,Smax=,此时=2,当扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.【小结】本题是弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用,公式简明,运算非常简便.思维拓展应用应用一:(1)180= rad,-570=-570=-,1=-=-22+.同理,2=22+.1是第二象限角,2是第一象限角.(2)1=()=144,设=k360+1(kZ),由-7200得,-720k360+1440, k=-1或k=-2,在-7200之间与1有相同终边的角是-216,-576.同理,2=-()=-315,且在-7200之间与2有相同终边的角是-315和-675.应用二:【解析】0,022,又2在第三象限,2,又14=2k,kZ,2=k,kZ.当k=4,5时,2=,它们都在(,)内,因此= rad或= rad.应用三:(1)设扇形的半径为R cm,如图.由sin 60=,得R=4 cm.所以l=|R=4=(cm).(2)设扇形的半径为R,其内接圆的半径为r,则有l=R,r+r=R,于是r=l(-1).故内切圆的面积S=r2=l(-1)2=l2.基础智能检测1.B15=,l=6=,S=lr=6=(cm2).2.CP0(,-),P0Ox=,按逆时针转时间t后得,POP0=t,POx=t-,此时点P的纵坐标为2sin(t-),d=2|sin(t-)|.当t=0时,d=,排除A、D;当t=时,d=0,排除B,故选C.3.一或三4.解:由弧长公式l=|r可知,r=1 cm,故圆心角所夹的扇形的面积为S=lr=21=1(cm2).全新视角拓展2由题意得S=(8-2r)r=4,整理得r2-4r+4=0,解得r=2.又l=4,故|=2(rad).思维导图构建所对的圆心角|r2
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