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纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行19向量一知识清单向量有关概念1 有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素2 向量： 叫做向量3向量的长度（或模）： 就是此向量的长度uuu、r4. 向量的表示：表示向量，如 AB或ar5. 零向量： 叫做零向量，记作 06 .单位向量： 叫做单位向量r r7.平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a与b平行（或 共线），记作abr8相等向量： 叫做相等向量。如果向量 a与b相等，记作a二基础训练1在下列各命题中，真命题为（）A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B 模为0的向量与任一向量平行C 向量就是有向线段rrD a=b是5 b的必要不充分条件2. 下列命题中，假命题是（）uuuunA 向量AB与向量BA长度相等B两个相等向量若起点相同，则终点必相同C只有零向量的模等于 0D共线的单位向量相等uuu（1 ）与EF平行的向量;uuu（2）与EF相等的向量;D3. 已知下列命题：a=b,b=c,则a=c;若a/b,b/c贝U a/c;若a=b,则a/b;若a/b,贝Ua=b.其中命题正确的序号是()A BCDuujruuruuuiiuir4.在四边形ABCD中，ABDC，且ABAD ，则四边形ABCD 是5 .如图，D、E、F分别是ABC的三边BC、CA和AB的中点，试写出：A三强化训练1 .下列说法正确的是（）A 方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度是0C长度相等的向量叫相等向量D共线向量是在一条直线上的向量2. 下列命题中，真命题的个数为（）rrr 若a b，则a = b或a= buuu ULLT 若AB DC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点r r r r 若a = b，b c，贝U a = cr r 若ab，b/C，贝y acA 4B 3C 2D 13. 下列命题，正确的是（）rrrrAaba brrrrBaba b4. 如图，ABCD是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取 2个交UJU十点组成向量，则与 AC平行且长度为2,2的向量个数是 DC知识清单向量的加法与减法1.向量加法的定义uur uuu已知向量a、b,在平面内任取一点 A作AB 血 BC b,与 b的和，记作 ，既 a+b= AC ,女口图求两个向量和的运算，叫做 。对于零向量与任一向量 a，任然有O+a=a+O=。向量加法有法则与法贝(1 )向量加法的三角形法则则向量根据向量加法的定义求向量的方法,叫向量加法的三角形法则,叫做a使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示)，则由第一个向量的起点指uuuuuiuuuu向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a= AB ,b= BC,c=CD则a+b+c=uuu uuur unr uultAB BC CD AD。(2)向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点 以这两个已知向量为 作平行四边形，则 是这两个已知向量的和。uuu uuur協 a, AD b,以AB、AD为邻边作uY AC就是a与b的和，记作a+b= AC以点A为起点作向量则以A为起点的对角线 向量的加法满足交换律、结合律(1 )交换律：(2 )结合律：以上运算对多个向量也是成立的2.向量的减法1. 相反向量：与 a的向量，叫做量的相反向量仍是 。2. 向量的减法：向量a加上向量 b的:记作：a-b。求两个向量差的运算，叫做uuuTUU图，在平面内任取一点O,作OA a, OB b,则一a-b可以表示为从向量的终点指向向量点的向量，如图。(1)(2)(3)(4)_(-a)=a ;a+(_a)=(_a)+a=0a、b 为相反向量，则 a=-b,b=-a,a+b=0; 差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。3.两个向量的和与差仍是_二基础训练1.化简以下各式:(3)(4)OA uuur NQOD uuu QPuUr1)AD uuuu MNuuuABuuurMP ,到同一点，再就a的相反向量，记作叫做a与b的差， _。已知a、b，如=a-b,既的终uuu nu uuu uurBC CA; (2) AB ACuuuBDuuu CD ；。零向aA 1B 2uuuuuruuu2.已知AB8,AC5，则BC的取值范围是结果为零向量的个数是(C 33.在如图所示的四边形ABCDuuu uuruLur中,设 AB a, AD b,则 DCa b a b ”成立的充要条件是(a、b方向相反a b等于4设a、b是非零向量，则“A a、b方向相同BC a=bDuuu5.在矩形ABCD中，AB_ uuuuuuuuuruuur, BC1，则向量(ABADAC)的长度等于 6 .如图M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，umu 1 uuu uuuOM (OA OB)成立。2uuuuuir,uiurUULT7.在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有ujurrUJUruultrA AD 0BABC或 ADCC ABCD是矩形DABCD是止万形三强化训练)MLOT1.在四边形ABCD中，ACuuu uuiTAB AD，试判断四边形的形状2.如图uU在四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A AB uuJfUUCuuurB Afi AJJ ACC ABADBDD AD CB Cuuu3在丫俩 中,AB中点，贝y MNuuurujita， AD b， AN_ (用a， b表示)。UJIT3NC，M 为 BC 的JJIJ4.如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，贝y向量CD等于()uiur i uuuuuur i uuuA BC - BAB BC - BA2 2uiur i uuuujj i uuuC BC - BAD BC - BA2 25. 给出下列命题：(1) 若JJJ aJJjb平行，则a与b方向相反或者相同；(2) ABC中，必有CA 0 ; (3)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 AB DC ； (4)若非零向量a与b的方向相同或相反，贝U a+a-b与 a、b之一方向相同。其中正确的是()A (1) (2)B (3) (4)C (1) ( 4)D (2) (3)实数与向量的积一知识清单1. 实数与向量的积的定义实数 与向量a的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当 0时，a的方向与a的方向 ;当 0时， a的方向与a的方向；0 时， a=。2. 实数与向量的积的运算律：设R，贝Ur(1)(a);(2)()a=;(3)(a+b)=;3 两个向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是 ，使得b= a4.平面向量基本定理如果ei, e?是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，使得a 1e 2仓5. 基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做6. 三点共线的充要条件uuu uuuOA,OB不共线，三点A、B、P共线的充要条件是uuuAPuuutAB(tR)二.基础训练1. 已知 a= e e2,b=2e 良,则向量 a+2b 与 2a-b (A 一定共线B 一定不共线c仅当e与e共线时共线d 以上均不成立2.在 Y ABCD 中,uuurAC与BD交于点M，若设ABuuurAD b，则下列选项中与1a+21b相等的向量是（23.4.uuur A MA设四边形ABCDA 平行四边形uuir B MBuur中，有DCB矩形uuurC MC1 uuuAB，且2已知向量e,e2不共线，实数x,y满足（3xuuurADuuuBC，等腰梯形4y)e (2xuuuuD MD则这个四边形是（D菱形3y)e2 6e13仓，则 x-y 的值muuuruuiruuuuuruuuAABBCACB AMMBBCuuuuuuuuuuruuuujurCAMBMCMD 3AMAC6.若a3，b与a的方向相反，且b5，则a=b等于（）A3B -3COD 2uuu5若M是 ABC的重心，则下列各向量中与 AB共线的是（）7已知向量e,e2不共线LU0(1 )若 AB e.uuuuure2, BC 2e 8q, CD3e 3e2，求证A、B、D三点共线;(2)向量 e2与qe,共线，求实数的值三强化训练uuu5a+6b，CD7a 2b，则一定共线的三点是 （AA、B、D1B A、B、CC C、B、DD Auur2.如图D是ABC的边AB上的中点,则向量CD （)uur1 uuruur1 uuuABC-BABBC-BA22uur1 uiuuuur1 uurCBC-BADBC-BA22uuruuu3.如图，在ABC 中，OA a，OBb,M为OB的中点,N为uuuAB的中点，P为ON、AM的交点，则AP 等（）21 _21 _AabBab33331212C-abD-ab3333uu4 uuuuuu uuuuuiuuuu4.如图所示），已知AP-AB，用OA、OB表示OP，则OP3等于()1 uu14 uuu1 uuu4 uuuAOA OBBOAOB33331 uur4 luu1 uu4 uuuCOA-OBDOA OB3333uuuuuu1.已知向量a、b且AB a+2b , BC、C、D平面向量的数量积及运算率一.知识清单1.向量a与b的夹角uuruju两个非零向量a和b，作OA a, OB b，贝V AOB(0180)叫做当0时,a与b；当 180时，a与b。2 .向量a与b垂直如果a与b的夹角是90，叫做，记作a b3 .向量a与b的数量积两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量a b cos ，叫做，记作既a b =。规定：零向量与任一向量的数量积为0。两个向量的数量积是一个 量，这个量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。4 .向量b在a方向上的投影若向量a与b的夹角是，则叫做向量b在a方向上的投影。当 为角时，它是正值；当为角时，它是负值；当 时，它是0;当 时,它是b ；当 时，它是 b。二基础训练r r r3 r r1已知b 3 , a在b方向上的投影是-，则a b为2UJU uuu2 在边长为2的等边三角形 ABC中，AB BC的值是JJ r rrrrr3 .已知a 6 , a与b的夹角为一，且(a + 2 b )( a 3 b ) =72，则34 .设a、b是夹角为60o的单位向量，则2 a + b和3 a 2 b的夹角为uuj juur uuj25 若AB BC AB 0 ,则三角形为 三角形。3, b = 1, c =4,贝U a b + b c +rrr rrrr u7 .若向量a、b、c满足a + b + c = 0 ,且aA 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件r r(b c)” 的(三强化训练r ru1已知向量a与b的夹角为120，au扌3，r r a b肩，则b等于r rurrr rr r2 .已知向量a、b满足a扌1， b)=4，且 a b=2,贝U a与b的夹角为3 .若a与b c都是非零向量，则a b = a c ”是a5 如图所示，已知正六边形RP2P3P1BR，下列向量的数量积最大的是(AuuuuPP2uuuuPP3BuuuuPP2uuuuPP4CuuuuPP2uuuuPP5DuuuuPP2uuuuPP6Piuuu uuuruuuuuuruuuuiurABACuuuABAC14 已知非零向量 AB与AC满足-uuu- U IT rtuurrBC0 且 raurri1 uuur 1，则三角形AB|ac|lABl|ac|2ABC 为()A 三边不相等的三角形B直角三角形C 等腰非等边三角形D等边三角形平面向量的坐标运算一知识清单1.向量的坐标运算在直角坐标系内，分别取与 x轴、y轴i、j作为基底，对于任一向量 a,有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj,我们把 x, y叫做向量a的(直角)坐标，记作a= x, y，其中x叫做， y叫做。2 平面向量的坐标运算设 a= xi, yi ，b = X2, y2，贝V(1) a + b =;(2) a-b =;(3) a =；3 .向量平行的坐标表示设向量a = x.(, y1 ，b = x?, y2，且b 0，贝U a/ b的充要条件是 4.向量的坐标与点的坐标间的关系uuruuu(1) 若点A的坐标为Ax, y，则向量OA的坐标为OA = x, y。其中o为原点，也就是说，点A的坐标等于 。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用唯一表示。uuu(2) 若点A 为， ，b x2,y2 ，贝y AB =，既一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标。二.基础训练1. a=2,3 ， b = 1,5 ，则3 a+ b =2 .已知a、b、c三点共线，且a3, 6，b 5,2，若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标是3. 设向量 a = 1, 3 ， b =2,4 ， c= 1, 2 ，若表示向量4 a、4 b 2 c、2 (a c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d的坐标为 4 已知a=1,1 , b= 2,y，且2 a +2 b与a- 2 b平行，则y等于$ .设 a = 3 ,sin21，b = cos ,，a/ b，则锐角为3uurujujuu2,1 ,求OB的坐标7 .设A、E、C、D四点坐标依次为1,0、 0,24,3、3,1，则四边形 ABCD6 .已知 YabCD的对角线交于O,且 AD 3,7 , AB为()A 正方形B矩形C 菱形D 平行四边形三.强化训练uunuuuuuur1.已知OA(k,12),OB(4,5), OC(k,10)，且A、B、C三点共线，贝yk且 a/ b 贝U tan2.(已知向量 a = 3,4 ，b = sin ,cos3 .设向量a= 1, 3 ，b =2,4。若表示向量4 a、3 b-2 a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为uuu4 .已知点 A 1,5和向量a= 2,3，若AB 3 a ，则点E的坐标为 5 .已知向量a= 1,2 ， b = 2,3 ， c= 3,4，且 c= 1 a+ 2 b，则 1、2 的值分别为。平面向量数量积的坐标运算.基础知识两个向量数量积的坐标表示2.向量的长度ruu设 a (x, y)，贝U a 3.平面上两点距离公式uuu设 A 区 yj，B (X2,y2)，则 AB =4.两个非零向量垂直的条件设 a (Xi,yJ ,注意：若i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，则i i =r rr rj i =，j j =基础训练rrr1.若a (4,3)，向量b是垂直于a的单位向量，贝U b等于2 .若a (2,3)，b ( 4,7)，则a在b的方向上的投影为 3 .已知向量a (3,4)，b (2, 1)，如果向量a + x b与b垂直，则x的值为uuu uuu4 .已知A(3,1)，B(6,1)，C(4,3)，D为线段BC的中点，则向量 AC与DA的夹角为5 .已知 A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形 ABCD 是6 .已知向量a(1,sin )，b(1,cos )，贝U ab的最大值为(cosA,sin A)，且 a7 已知A, B,C是三角形ABC三内角，向量a ( 1,. 3) , b1,求角A三强化训练1已知向量a ( 3,1), b是不平行于x轴的单位向量，且 a b = .3，则b等于3 .与向量a (7丄),b (】2 2 27)的夹角相等，且模为1的向量是2 .已知向量 a (1,2), b ( 2, 4), c_r rr 5r r.5，若(a + b) c =-，则a与c的夹角2为uuuuuur4 .在三角形 ABC 中， C 90, AB (k,1),AC (2,3)，贝U k 的值是(sin ,1), b (1,cos ),22b的最大值r5 .已知向量ar(1) 若 a(2) 求 a6 .在直角坐标系xOy中，已知点 P(2cos x 1,2cos 2x 2)和点Q(cosx, 1)，其中uuu uuux 0,，若向量OP与OQ垂直，求x的值平移一. 基础知识1. 图形的平移设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形F 的过程叫做。2. 点的平移设P(x,y)是图形F上的任意一点，它在平移后图形F上的对应点为P(x, y)，且设uuuPP的坐标为(h,k)则。他反映了图形中的每一点在平移后的 与间的关系。二. 基础训练公式1点(2, 1)平移后变成(2,1)，则坐标原点平移后对应的坐标为 2 已知A(1,2), B(4,2)，则向量AB按向量(1,3)平移后得到的向量是 3 .将函数y x 2的图象I按a (6, 2)平移后得到|的解析式为4 .将函数y x 5x 4的图象沿x轴方向平移，使其通过原点，求平移后的函数解析式。r5 把一个函数的图象按 a (,2)平移后得到的图象的函数解析式为y COS(X -) 2，44那么原来函数的解析式为 r6 已知等腰三角形 ABC中 C 90，将三角形 ABC按a (2, 1)平移后形成三角形abc，若 A(0,0), b(1,1)，则 C 点坐标为 三强化训练1函数y sin2x图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1，则a可以是()纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行B（ 4,1）（討 （A）2.将函数y sin2x 1的图象沿向量a（壬，1）平移，则平移后的图象所对应的函数解析320式为（）a ycos2x2B ycos2x2c ycos2xd ycos2xr2r3.把函数2y 2x4x 5的图象按向量a平移后，得到 y 2x的图象，且arr rrc(1, 1)，b c =4，则b=4 .为了得到函数 y 2x 3 1的图象。只需把函数 y 2x的图象所有的点（）A向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度5 .将函数ysin wx(wr0）的图象按向量a （ ,0）平移，平移后的图象如图所示，则6y平移后的图象所对应函数的解析式是（）A y sin (x)6B y sin (x)6C y sin (2x)3D y sin (2x)
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