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第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的均值与方差(1)均值若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为Ex1p1x2p2xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么D()(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做的方差随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(标准差与随机变量本身有相同的单位)(3)若服从二项分布，即B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)两点分布，则Ep，Dp(1p)2均值、方差的性质及应用(1)ECC(C为常数)；(2)E(ab)aEb(a、b为常数)；(3)D(ab)a2D.3正态分布(1)函数(2)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生1设随机变量B(n，p)，且E1.6，D1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45答案：A 2如果是离散型随机变量，32，那么()AE3E2，D9DBE3E，D3D2CE3E2，D9E4DE3E4，D3D2答案：A解析：E2，E(21)2E1 5.答案：D4一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望_热点之一热点之一求离散型随机变量的期望与方差 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：1理解X的意义，写出Y的所有可能取值；2求X取每个值的概率；3写出X的分布列；4由均值的定义求EX；5由方差的定义求DX.例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E1，D11，试求a，b的值(2)由Da2D，得a22.7511，即a2.又EaEb，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.思维拓展思维拓展在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征，正确求出分布列，这是求均值和方差的前提，然后准确应用公式，特别是充分利用期望和方差的性质解题，善于使用公式E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度即时训练 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲，乙摸球后获得的奖金总额求：(1)X的概率分布；(2)X的数学期望解：解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60，热点之二热点之二期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算常用性质有：(1)ECC(C为常数)；(2)E(aXb)aEXb(a，b为常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；思维拓展思维拓展1.要掌握简单的方差与期望计算2公式运用要严密准确即时训练 如果X是离散型随机变量，EX6，DX0.5，X12X5，那么EX1和DX1分别是()A12,1 B7,1 C12,2 D7,2解析：因为E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，由已知可得EX17，DX12，应选D.答案：D热点之三热点之三与二项分布有关的期望与方差 当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.思路探究解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验，答对问题的个数服从二项分布，求的期望与方差可通过与的线性关系间接求出思维拓展思维拓展(1)当求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量(2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望与方差即时训练 某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差X01P0.40.62要记住正态变量的取值位于三个区间内的概率值在求解实际问题时，先求出正态分布的两个重要参数和的值，然后结合三个区间对应的概率值进行解答即时训练 把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是()A曲线C2仍是正态曲线B曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2答案：C本节是理科高考中的重点内容之一，题型以解答题为主，考查随机变量的概率、分布列、期望和方差等，大多以实际问题为背景，涉及排列组合、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、条件概率等，考查利用所学知识解决实际问题的能力例5(2010全国)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率；(3)表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望解记Ai表示事件：电流能通过Ti，i1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流B表示事件：电流能在M与N之间通过0.90.10.90.90.10.10.90.90.9891.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，B(4,0.9)，E40.93.6.1(2010课标全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400解析：EX10000.9010000.12200.答案：B2(2010湖北高考)某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望E8.9，则y的值为_ 78910Px0.10.3y答案：0.4
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