线性代数行列式

线性代数数学专业教研室数学专业教研室数理楼数理楼224B224B第一章第一章 行列式行列式 行列式的定义与性质行列式的定义与性质 行列式展开定理行列式展开定理 克莱姆法则克莱姆法则用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x1.1.11.1.1二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式;212221121122211baabxaaaa ）（1.1 行列式的定义与性质行列式的定义与性质一、二阶行列式一、二阶行列式，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 由方程组的四由方程组的四个系数确定个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖由四个数排成二行二列（横排称行、竖排排称列）的数表称列）的数表) 4(22211211aaaa定义定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则2211aa .2112aa 1.二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式,2212aaD .,22221211212111bxaxabxaxa2111aa21bb,2221121122212111aaaaababDDx ，211222112122211aaaabaabx 1当当 时，则二元线性方程组的解为时，则二元线性方程组的解为0 D,2111aaD .,22221211212111bxaxabxaxa2212aa21bb.2221121122111122aaaababaDDx 2.211222112112112aaaaabbax 例例1 1 .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有记记,312213332112322311322113312312332211) 6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式. .323122211211aaaaaa 332112aaa (1)(1)沙路法沙路法1.1.三阶行列式的计算三阶行列式的计算332211aaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 主对角线主对角线副对角线副对角线 312312aaa 322113aaa 322311aaa 312213aaa 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa (2)(2)对角线法对角线法则则说明说明1 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 说明说明2 2 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于每一项都是位于不同行不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为其中三项为正正, ,三项为负三项为负. .21-0504321D 计算三阶行列式计算三阶行列式例例2 2解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D)1(43052201 )1(51242003 51601200 .23 1.1.21.1.2全排列及其逆序数全排列及其逆序数引例引例 用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义1 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理一、全排列一、全排列 定义定义2 在一个排列在一个排列 中，若中，若个元素的先后次序与标准次序不同即数个元素的先后次序与标准次序不同即数则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如排列排列32514 中，中， 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.二、排列的逆序数二、排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列的的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.3+1+0+1+0=5.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; ;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. .1.1.排列的奇偶性排列的奇偶性3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t. 5 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.例例1 1 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数. .2.2.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性. . 2179863541解解453689712544310010 t18 此排列为此排列为偶排列偶排列.010013445 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkkk13232221212 0 1 1 2 2 k一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对将相邻两个元素对调，叫做相邻对换换mlbbbaaa11例如例如bamlbbbaaa11abnmlccbbbaaa111nmlccbbbaaa111baab1.1.31.1.3对换对换二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,a当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,当当 时，时，ba 经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab（1）相邻对换）相邻对换次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.(2)设排列为设排列为推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .一、概念的引入一、概念的引入321321pppaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 三阶行列式展开式中的一般项可以写成三阶行列式展开式中的一般项可以写成行标排成标准次序行标排成标准次序1231.1.4 n1.1.4 n阶行列式阶行列式列标列标 是是1，2，3的某个排列的某个排列321ppp322113aaa列标排列的逆序数列标排列的逆序数为为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 负号负号 .)1(321321321)(333231232221131211 pppppptaaaaaaaaaaaa例如例如: :二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义1).det(ija 为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 例例1 1计算一阶行列式计算一阶行列式|a|a| nnnnppppppppptaaaaD212121211 1111at a 说明说明1、行列式是一种特定的算式、行列式是一种特定的算式;3、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t nnppptaaaD21211 对于对于D中任意一项中任意一项 ,12121nnppptaaa 用乘法的交换律可以换成用乘法的交换律可以换成 ,12121nqqqtnaaa nqqqsnaaaD21211 定义定义2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n由定理由定理1的推论的推论sqqqttn)1()1()1()(21 nqqqsnppptnnaaaaaa2121212111 其中其中s s为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .nqqq21例例2 2计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4 同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解从而从而 不为零，不为零，43214321ppppaaaa即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314 432114321 t.24 分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3 3 计算上三角行列式计算上三角行列式nnnnaaaaaaaa.000.0.223221131211例例4 4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa.0.00.00321222111.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例5 5 证明对角行列式证明对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 例例6 已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 44332211)1234(1aaaat 1243112234431ta a a a 3x 32x . 13 的系数为的系数为故故 x3x nnTaaaD2211 1.1.51.1.5行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112例如：例如：142023941 D109424231 TD证明证明 的的转转置置行行列列式式记记ijaDdet ,212222111211212221212111nnnnnnnnnnnnTbbbbbbbbbaaaaaaaaaD , 2 , 1,njiabjiij 即即按定义按定义 nnppptTbbbD21211 D nppptnaaa21211性质性质1.11.1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .性质性质1.21.2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明证明设行列式设行列式nnnnnaaaaaaD2111211 nnnnnnbbbbbbbbb212222111211 两两行行得得到到互互换换ji,jijicc:ji,rr:ji,两列互换两行互换iniiaaa21jnjjaaa211iniiaaa21jnjjaaa21于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpipjpptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列njippppt,11tppppnij的的逆逆序序数数为为设设排排列列则有则有当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 当当 时时,jik, ,kpkpab 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt ,571571 266853.825825 361567567361266853性质性质1.31.3 行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面kckikrkikckikrkiiiii 记记为为列列提提出出公公因因子子第第记记为为行行提提出出公公因因子子第第记记为为列列乘乘以以第第记记为为行行乘乘以以第第记记号号：问题：问题：（1 1）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的共同公因子共同公因子k k提到行列式符号的外面，会如何？提到行列式符号的外面，会如何？（2 2）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都乘以数乘以数k k得到的行列式与原行列式的关系如何？得到的行列式与原行列式的关系如何？性质性质1.行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质1.51.5若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和两数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111性质性质1.61.6把行列式的某一列（行）的各元素乘把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列以同一数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，对应的元素上去，行列式不变行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如321133RR 0122RR 5 6 02 4 2352RR 650321 0058 8计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 543012321det A例例例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2nccc 21 abbbabbbabbbbna1111) 1( bbbbna1)1( ba ).3 , 2(1nirri abbbnababbnabbabnabbbbna1111 .)() 1(1 nbabnaba ba 000000000例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化化为为下下三三角角形形行行列列式式，把把作作运运算算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式1.2 行列式展开定理与克莱姆法则行列式展开定理与克莱姆法则1.2.11.2.1行列式行列式展开定理展开定理在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1例例144434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例例2 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如二、行列式的展开定理二、行列式的展开定理证明证明 (1)当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 1111Ma 1111111MA 11M 1111AaD . D(2)一般情形一般情形,nijijijiiaaaaa, 11, 1, 11, 11 , 1. nijijijiiaaaaa, 11, 1, 11, 11 , 1. nnjnnjjnnaaaaa.1,1,1 0.00.0ija) 1( nijijijiiaaaaa, 21, 2, 21, 21 , 2. 2njjjaaaaa11, 111, 111. .1 innjnnijinijinjaaaaaaaaD.0.01,11,1,11,111,1 jnjijijjiaaaaa, 1, 1, 1,. ) 1( 1 j.01,1,11,11,1niiaaaa 1,1, 11, 11, 10 jnjijijaaaannjnjnnjnnijijiijinijijiijinjjiijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,1,1,1 , 11, 11, 11 , 1, 1, 11, 11, 11 , 1, 111, 11, 11112.0.00.0) 1( ijijjiMa 1ijijAa 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证明证明nnnniniiaaaaaaaaaD.2121121211 0.0 0.0 0.0njnjjjjjAaAaAa 2211 nj, 2 , 1 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 11iiAa ni, 2 , 1 22iiAa ininAa 例例13351110243152113 D312cc 34cc 511 05 5011 3131 11 000551111115) 1(33 0551111115)1(33 055115 5526)1(31 5028 .40 12rr 06 2 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德( Vandermonde )行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n11312112232221321.1.111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD11 iirxr)2,.,1,( nni22322212232221321.1.111 nnnnnnnxxxxxxxxxxxx0)(1222xxxn )(1323xxxn )(12xxxnnn )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn )(.)()(.)(.)()(.1113131212113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中例例 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 例例5 5阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念1.2.21.2.2克莱姆法则克莱姆法则二、克拉姆法则二、克拉姆法则如果线性方程组如果线性方程组) 1 (22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为有解，并且解是唯一的，解可以表为 1其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 jnjjaaa, 2, 1nbbb21j证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0 D 2由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解. 1例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx定理定理4 4 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理5 5 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理44 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列的系数行列式式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .0 D 2 2定理定理55 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解，有非零解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零. . 2 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式0 D例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3