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2.2.顶点式顶点式y=y=a a(x-(x-h h) )2 2+ +k k （a0a0）1.1.一般式一般式y=y=a ax x2 2+ +b bx+x+c c （a0a0）3.3.双根式双根式y=y=a a(x-(x-x x1 1)(x-)(x-x x2 2) ) （a0a0）二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式（1）二次函数）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，那的图象如图所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 这五个代数式中，这五个代数式中，值为正数的有（值为正数的有（ ）课前练习课前练习1A4个个 B3个个C2个个 D1个个yx- -11Axy 判断方程判断方程 的解的个数的解的个数。 xxx2122课前练习课前练习2三个三个已知二次函数已知二次函数y=-xy=-x2 2+3x+4+3x+4的图象如图；的图象如图；(1)(1)方程方程-x-x2 2+3x+4=0+3x+4=0的解是的解是_(2)(2)不等式不等式-x-x2 2+3x+40+3x+40的解集是的解集是_(3)(3)不等式不等式-x-x2 2+3x+40+3x+40的解集是的解集是_xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5X=-1,x=4X4-1x4课前练习课前练习3 3 课前练习课前练习已知抛物线的对称轴为已知抛物线的对称轴为y y轴，且过轴，且过（2 2，0 0），（），（0 0，2 2），求抛物线的解析式），求抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=axy=ax2 2+c(a0)+c(a0)因为抛物线过（因为抛物线过（2 2，0 0），（），（0 0，2 2）所以所以 c=2 a=-0.5c=2 a=-0.5 4a+c=0 c=2 4a+c=0 c=2解析式为：解析式为：y=-0.5xy=-0.5x2 2+2+2 如何利用图象求方程如何利用图象求方程axax2 22 2x xc c2 2x x1 1的解呢？并比较的解呢？并比较axax2 22 2x xc c与与2 2x x1 1的大小。的大小。y ax22xcy 2x-1y1 y2 课前练习课前练习-22x x-2-2或或x x2 2时时X=-2X=-2或或x=2x=2时时-2-2x x2 2时时实际问题与实际问题与二次函数二次函数分析分析 1.1.某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，每元，每周可卖出周可卖出300300件件. .已知商品的进价为每件已知商品的进价为每件4040元，那么一周的利润是多少？元，那么一周的利润是多少？ 市场调查反映：如果调整价格，每涨价市场调查反映：如果调整价格，每涨价1 1元，每周要少卖出元，每周要少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，每周元，每周可多卖出可多卖出2020件；已知商品的进价为每件件；已知商品的进价为每件4040元，元，如何定价才能使利润最大？如何定价才能使利润最大？解决问题：解决问题：解：设每件涨价解：设每件涨价x x元元 y y =(60-40+=(60-40+x x)(300)(3001010 x x) ) = =1010 x x2 2+100+100 x x+6000+6000 = =10(10(x x5)5)2 2 + 6250 + 6250 (0 (0 x x 30)30) 当当x x= = 时，时，y y最大在涨价情况下，涨价最大在涨价情况下，涨价 元，元， 即定价即定价 元时，利润最大，元时，利润最大， 最大利润是最大利润是 元元55656 250y =(60-40-x)(300+20 x) y= = =1010 x x2+1002+100 x x+6000+600060006250(0 x 30)0305在在0 0 x x 3030时，当时，当 x x5 5时，时，y y最大值是最大值是6 250.6 250.分析问题：分析问题：1 1.研究涨价的情况；研究涨价的情况；2.2.如何确定函数关系式？如何确定函数关系式？3.3.变量变量x x有范围要求吗？有范围要求吗？4.4.利润销售额进货额利润销售额进货额 销售额销售单价销售额销售单价销售量销售量 进货额进货单价进货额进货单价进货量进货量你知道应如何定价能使利润最大吗？你知道应如何定价能使利润最大吗？1.1.实际问题转化为数学问题，建立数学模型；实际问题转化为数学问题，建立数学模型；2.2.利用函数的性质或图象求解最大值（注意变量利用函数的性质或图象求解最大值（注意变量x x的取值范的取值范围）；围）；3.3.这时的最大值就为最大利润这时的最大值就为最大利润. . 练习练习1 1：某商店将某商店将每件进价为每件进价为8080元元的某种商品按的某种商品按每件每件100100元元出售出售，一天可售出约，一天可售出约100100件件，该店想通过降低售价、增加销售，该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低降低1 1元元，其，其销售量可增加约销售量可增加约1010件件。 1:1:请表示出商品请表示出商品降价降价x x元元与利润与利润y y元元之间的关系？之间的关系？ 2:2:将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？最将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？最大利润是多少？大利润是多少？y=(100-80-x)(100+10 x)y=(100-80-x)(100+10 x)提示：求顶点坐标提示：求顶点坐标2：根据已知函数的表达式解决实际问题：根据已知函数的表达式解决实际问题：一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为：坐标系后，抛物线的表达式为： y= -1/25xy= -1/25x2 2+16+16(1)(1)拱桥的跨度是多少？拱桥的跨度是多少？(2) (2) 拱桥最高点离水面几米？拱桥最高点离水面几米？(3) (3) 一货船高为一货船高为1212米，货船宽至少小于多米，货船宽至少小于多少米时，才能安全通过？少米时，才能安全通过？xyoABCxyoABC解解（1 1） 令令-1/25x-1/25x2 2+16=0+16=0，解得，解得X X1 1=20,X=20,X2 2=-20,=-20,A A（-20-20，0 0） B B（2020，0 0）ABAB=40=40，即拱桥，即拱桥的跨度为的跨度为4040米。米。（2 2）令令x=0 x=0，得，得y=16y=16，即拱桥最高点离地面即拱桥最高点离地面1616米米（3）令-1/25x-1/25x2 2+16=12,+16=12,解得解得X X1 1=-10=-10，X X2 2 = =10,10,x x1 1-x-x2 2=20.=20.即货船宽应小于即货船宽应小于2020米时，货船才能安全通过。米时，货船才能安全通过。-1010练习练习2 2某涵洞是抛物线形，它的截面如图某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.926.2.9所示，现测得水面宽所示，现测得水面宽1 16m6m，涵洞顶，涵洞顶点点O O到水面的距离为到水面的距离为2 24m4m，问距水面，问距水面1.51.5米米处水面宽是否超过处水面宽是否超过1 1米米? ?AB3：根据实际问题建立函数的表达式解决：根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题实际问题一座拱桥的示意图如图，一座拱桥的示意图如图，当水面宽当水面宽4m4m时，桥洞顶部时，桥洞顶部离水面离水面2m2m。已知桥洞的拱。已知桥洞的拱形是抛物线，（形是抛物线，（1 1）求该抛）求该抛物线的函数解析式。物线的函数解析式。（2 2）若水面下降若水面下降1 1米，水面宽增米，水面宽增加多少米？加多少米？A AB B4m4mM M2m2mA AB B4m4m首先要建立适当的平面直角坐标系首先要建立适当的平面直角坐标系你认为首先要做的工作是什么你认为首先要做的工作是什么? ?ABMxyo 解法一解法一：（：（1 1）以水面）以水面ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴，以轴，以ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴建立平面直轴建立平面直角坐标系。角坐标系。设抛物线的解析式为：设抛物线的解析式为：y=axy=ax2 2+c(a0)+c(a0)抛物线过（抛物线过（2 2，0 0），（），（0 0，2 2）点）点4a+c=0 a=-0.5 4a+c=0 a=-0.5 即解析式为：即解析式为：y=-0.5xy=-0.5x2 2+2+2c=2 c=2 c=2 c=2 （2）水面下降）水面下降1米，即当米，即当y=-1时时 -0.5x2+2=-1 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面宽增加水面宽增加 CD-AB=（26-4）米）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)平面直角坐标系建立的不同，所得的抛物线的平面直角坐标系建立的不同，所得的抛物线的解析式相同吗？解析式相同吗？最终的解题结果一样最终的解题结果一样哪一种取法求得的函数解析式最简单？哪一种取法求得的函数解析式最简单？解法二解法二：（：（1)1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y y轴建立直角坐标系。设二次函数的解析式为轴建立直角坐标系。设二次函数的解析式为y=axy=ax2 2(a0(a0）抛物线经过点（抛物线经过点（2 2，-2-2），可得，），可得，a=-0.5a=-0.5抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：y=-0.5xy=-0.5x2 2CD（2）水面下降）水面下降1米，即当米，即当y=-3时时 -0.5x2=-3 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面宽增加水面宽增加AB-CD=（26-4）米）米1m(X1,-3)(X2,-3)做一做做一做如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位ABAB时，水时，水面宽面宽2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就达到警戒线米，就达到警戒线CD,CD,这时水面宽这时水面宽为为1010米。米。（1 1）求抛物线型拱桥的解析式。）求抛物线型拱桥的解析式。（2 2）若洪水到来时，水位以每小时）若洪水到来时，水位以每小时0.20.2米的速度上升，米的速度上升，从警戒线开始，从警戒线开始，在持续多少小时才能达在持续多少小时才能达到拱桥顶？到拱桥顶？（3 3）若正常水位时，有一艘）若正常水位时，有一艘宽宽8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通过这座桥？能否安全通过这座桥？A AB B20m20mCD练一练： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1. .25），水流路线最高处B（1，2. .25），求该抛物线的解析式。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y= (x-1)2 +2.25（0，1.25）A实际问题实际问题抽象抽象转化转化数学问题数学问题运运用用数学知识数学知识问题的解决问题的解决解题步骤：解题步骤：1 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。出图形。2 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。3 3、选用适当的解析式求解。、选用适当的解析式求解。4 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。例题例题水果批发商销售每箱进价为元的橙子，市场水果批发商销售每箱进价为元的橙子，市场调查发现，若以每箱调查发现，若以每箱6 6元的价格销售，平均每天销元的价格销售，平均每天销售售3030箱，价格每提高元，平均每天少销售箱，价格每提高元，平均每天少销售1010箱箱（1 1）求平均每天销售量）求平均每天销售量y y箱与销售价箱与销售价x x之间的函数关之间的函数关系式；系式；（2 2）要想获得）要想获得60006000元的利润则橙子的定价应是多少？元的利润则橙子的定价应是多少？ （3 3）当每箱橙子的销售价为多少元时，可以获得最）当每箱橙子的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？大利润？最大利润是多少？（4 4） 若每降价若每降价1 1元，每天可多卖出元，每天可多卖出1818件，如何件，如何定价才能使利润最大？定价才能使利润最大？列表分析列表分析1:1:总售价总售价- -总进价总进价= =总利润总利润设每件设每件售价售价x x元，则每件元，则每件涨价涨价为（为（x-60)x-60)元元 总售价=单件售价数量 总进价=单件进价数量数量利润列表分析列表分析2:2: 总利润总利润= =单件利润单件利润数量数量总利润总利润= =单件利润单件利润数量数量 利润利润 x 300-10(x-60)40 300-10(x-60)6000 (x-40) 300-10(x-60)6000 在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是，它随着哪个量的改变而改变？是，它随着哪个量的改变而改变？ 若设每件售价为若设每件售价为x x元，总利润为元，总利润为W W元。元。你能列出你能列出函数关系式吗？函数关系式吗？解：设每箱售价为解：设每箱售价为x x元时获得的总利润为元时获得的总利润为W W元元. .w =(x-40) 300-10(x-60)w =(x-40) 300-10(x-60) =(x-40)(900-10 x) =(x-40)(900-10 x) =-10 =-10 x x2 2+1300+1300 x x-36000-36000 =-10( =-10(x x2 2-130-130 x)x)-36000-36000 =-10 =-10( (x x-65)-65)2 2-4225)-36000-4225)-36000 =-10( =-10(x-x-65)65)2 2+6250+6250(40 x90)当当x x=65=65时，时，y y的最大值是的最大值是6250.6250.答：定价为答：定价为6565元时，利润最大为元时，利润最大为62506250习题习题. .某商店购进一种单价为某商店购进一种单价为4040元的篮球，如元的篮球，如果以单价果以单价5050元售出，那么每月可售出元售出，那么每月可售出500500个，个，据销售经验，售价每提高据销售经验，售价每提高1 1元，销售量相应减元，销售量相应减少少1010个。个。 (1)(1)假设销售单价提高假设销售单价提高x x元，那么销售每个元，那么销售每个 篮球所获得的利润是篮球所获得的利润是_元元, ,这种篮球每这种篮球每月的销售量是月的销售量是_ _ 个个( (用用X X的代数式表示的代数式表示) ) (2)8000 (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润元是否为每月销售篮球的最大利润? ?如果是如果是, ,说明理由说明理由, ,如果不是如果不是, ,请求出最大利润请求出最大利润, ,此时篮球的售价应定为多少元此时篮球的售价应定为多少元? ?例例 如图如图3 3，某隧道口的横截面是抛物线形，已知，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽路宽ABAB为为6 6米，最高点离地面的距离米，最高点离地面的距离OCOC为为5 5米以米以最高点最高点O O为坐标原点，抛物线的对称轴为为坐标原点，抛物线的对称轴为y y轴，轴，1 1米米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（求（1 1）以这一部分抛物线为图）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出象的函数解析式，并写出x x的取的取值范围；值范围；（2 2） 有一辆宽有一辆宽2.82.8米，高米，高3 3米的米的农用货车（货物最高处与地面农用货车（货物最高处与地面ABAB的距离）能否通过此隧道？的距离）能否通过此隧道？OxyABC
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