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概率与统计1随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样问题1某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为_答案24解析由抽样比例可知，则x24.2对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了问题2从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为_答案203众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标平均数：样本数据的算术平均数，即(x1x2xn)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)简化计算公式s2(xxx)n2，或写成s2(xxx)2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方问题3已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是_答案0.15、0.1454变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)回归方程x，其中问题4回归直线方程x必经过点_答案(，)5独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表如表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd根据观测数据计算由公式k所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度问题5为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的22列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有_的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)附：K2P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案99.5%6互斥事件有一个发生的概率P(AB)P(A)P(B)(1)公式适合范围：事件A与B互斥(2)P()1P(A)问题6抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的概率之和为_答案7古典概型P(A)(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)问题7若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为_答案8几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A).此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等即P(A)问题8在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析记“点P到点O的距离大于1”为A，P(A)1.9解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法(1)排列数公式An(n1)(n2)n(m1)，其中m，nN*，mn.当mn时，An(n1)21n！，规定0！1.(2)组合数公式C.(3)组合数性质CC，CCC，规定C1，其中m，nN*，mn.问题9(1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有_种(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_种答案(1)35(2)7010二项式定理(1)定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCabn1Cbn (nN*)通项(展开式的第r1项)：Tr1Crnanrbr，其中C(r0,1，n)叫做二项式系数(2)二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，CC.二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即CCCC2n.二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即CCCCCC2n1.特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错问题10设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则AB_.答案41解析Tr1Cx6r(1)rrC(1)r2r，6r3，r2，系数A60，二项式系数BC15，所以AB41.41.11要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别：(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有P(A|B)P(AB)问题11设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为_答案12求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk.问题12若随机变量的分布列如下表，则E()的值为_.012345P2x3x7x2x3xx答案解析根据概率之和为1，求出x，则E()02x13x5x40x.13一般地，如果对于任意实数ab，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称X的分布为正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)满足正态分布的三个基本概率的值是：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.问题13已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案C解析P(4)0.2，由题意知图象的对称轴为直线x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.P(02)P(04)0.3.易错点1统计图表识图不准致误例1如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的大约有_人错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的频率为1(0.020.080.100.100.08)0.62.估计年薪在1.4万元1.6万元之间约有3000.62186(人)找准失分点本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误正解由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的频率为1(0.020.080.080.100.10)20.24.所以员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的共有3000.2472(人)答案72易错点2在几何概型中“测度”确定不准致误例2如图所示，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率错解记AMAC为事件E，设CACBa，因为ABC是直角三角形，所以，ABa，在AB上取一点D，使ADACa，那么对线段AD上的任意一点M都有AMAD，即AMAC，因此AM0，0 B.0，0C.0 D.0，0答案B解析作出散点图如下：观察图象可知，回归直线x 的斜率 0.故0，0.3(2014湖北)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.答案D解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.4(2014湖南)(x2y)5的展开式中x2y3的系数是()A20 B5 C5 D20答案A解析(x2y)5展开式的通项公式为Tr1C(x)5r(2y)rC()5r(2)rx5ryr.当r3时，C()2(2)320.5.如图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()A. B.C. D.答案C解析这是一道几何概型的概率问题，点Q取自ABE内部的概率为.故选C.6(2014福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.7(2014江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_答案解析从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P.8如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_答案3解析设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P，解得h3或h(舍去)，故长方体的体积为1133.9已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是_答案解析该人投篮4次，命中3次的概率为P1C3；该人投篮4次，命中4次的概率为P2C4，故至少命中3次的概率是P.10某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h的约有_辆(注：分析时车速均取整数)答案300解析由图可知，车速大于等于90 km/h的车辆未标出频率，而小于90 km/h的都标出了，故考虑对立事件由题图知车速小于90 km/h的汽车总数的频率之和为(0.010.020.04)100.7，所以车速不小于90 km/h的汽车总数的频率之和为10.70.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h的汽车有1 0000.3300(辆)
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