资源描述
第四十三讲第四十三讲 空间中的垂直关系空间中的垂直关系走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)定义定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直那么称这条直线和这个平面垂直.记作记作L,直线直线L叫做平面叫做平面的垂线的垂线,平面平面叫做直线叫做直线L的垂面的垂面,直线与平面垂直时直线与平面垂直时,它们唯一的公共点它们唯一的公共点P叫做垂足叫做垂足.(2)判定定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直那么该直线与此平面垂直线与此平面垂直.符号表示符号表示:若直线若直线A 平面平面,直线直线B ,直线直线LA,LB,AB=A,则则L.图形表示图形表示:(3)重要的真命题重要的真命题过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；过一点有且只有一个平面与一条直线垂直过一点有且只有一个平面与一条直线垂直;如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也那么另一条也垂直于这个平面垂直于这个平面.2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定义定义:两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角如果它们所成的二面角是直二面角,就就说这两个平面互相垂直说这两个平面互相垂直,记作记作:.(2)判定定理判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互那么这两个平面互相垂直相垂直.符号表示符号表示:若直线若直线AB 平面平面,AB平面平面,则则.如图所示如图所示:3.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质(1)由线面垂直的定义可知由线面垂直的定义可知,若直线若直线A,B ,则则AB.(2)性质定理性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直那么这两条直线平行线平行.符号表示符号表示:若若AB,A,则则B.4.平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直垂直.符号表示符号表示:,=CD,AB ,ABCD,ABCD=B,则则AB.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.判定定理判定定理性质定理性质定理线线垂直线面垂直面面垂直5.直线与平面所成的角直线与平面所成的角.(1)斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影叫斜线在平面内的射影.(2)斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角.说明说明:(1)一条直线和平面平行或在平面内一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的我们说它们所成的角是角是0的角的角.(2)一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角我们说它们所成的角是直角.(3)斜线和平面所成的角的范围是斜线和平面所成的角的范围是(0,90).6.二面角二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条这条直线叫作二面角的棱直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面,以直线以直线AB为棱为棱,半平面半平面、为面的二面角为面的二面角,记作记作AB,也可记也可记作作AB.以二面角的棱上任一点为端点以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,如如图图,COD为二面角的平面角为二面角的平面角.说明说明:(1)二面角的平面角二面角的平面角COD的大小与点的大小与点O在在L上的位置无上的位置无关关.(2)构成二面角的平面角的条件构成二面角的平面角的条件:二面角的顶点必须在棱二面角的顶点必须在棱上上,角的两边必须分别在两个半平面内角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都角的两边必须都与棱垂直与棱垂直,这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可.(3)一个二面角的平面角的大小是唯一确定的一个二面角的平面角的大小是唯一确定的.考考 点点 训训 练练1.(2009山东山东)已知已知,表示两个不同的平面表示两个不同的平面,M为平面为平面内的内的一条直线一条直线,则则“ ”是是“M ”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析:由平面与平面垂直的判定定理知由平面与平面垂直的判定定理知,如果如果M为平面为平面内的一内的一条直线条直线,M,则则.反过来则不一定反过来则不一定.所以所以“”是是“M”的必要不充分条件。的必要不充分条件。答案答案:B2.给出下列四个命题给出下列四个命题:若直线若直线L平面平面,L平面平面,则则;各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱;一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面角的两个半平面所在平面,则这两个二面角的平面角相等或互则这两个二面角的平面角相等或互为补角为补角;过空间任意一点过空间任意一点P一定可以作一个和两条异面直线一定可以作一个和两条异面直线(点点P不不在此两条异面直线上在此两条异面直线上)都平行的平面都平行的平面.其中不正确的命题的个数有其中不正确的命题的个数有( )A.1B.2C.3D.4答案答案:D解析解析:命题是错误的命题是错误的,由由L平面平面,L平面平面,则则与与可能相可能相交交;命题是错误的命题是错误的,各侧面都是正方形各侧面都是正方形,底面是菱形且不为正底面是菱形且不为正方形的棱柱不是正棱柱方形的棱柱不是正棱柱;命题是错误的命题是错误的,例如正方体例如正方体ABCDA1B1C1D1中中,将二面角将二面角A1ADB固定固定,另一个二面另一个二面角角ABB1C中中(如图所示如图所示),将面将面ABB1A1固定固定,另一个面另一个面BCC1B1是绕是绕BB1运动的运动的,始终有面始终有面ABB1A1面面ADD1A1,面面BCC1B1面面ABCD,所以两个二面角的平面角不一定相等或所以两个二面角的平面角不一定相等或互为补角互为补角;命题是错误的命题是错误的,设两条异面直线为设两条异面直线为A,B,在直线在直线A上上任取一点任取一点A,过点过点A作直线作直线B,使使BB,设设B与与A确定平面确定平面,在在内取不在直线内取不在直线A上的一点上的一点P,则则过点过点P是不可能作一个与两异面直线都平行的平面是不可能作一个与两异面直线都平行的平面,故选故选D.3.如图所示如图所示,棱长为棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中中,E,F是侧是侧面对角线面对角线BC1,AD1上一点上一点,若若BED1F是菱形是菱形,则则BED1F在底面在底面ABCD上投影四边形的面积是上投影四边形的面积是( )13232A. B. C. D.2424答案答案:B4.(2009江西江西)如图如图,正四面体正四面体ABCD的顶点的顶点A,B,C分别在两分别在两两垂直的三条射线两垂直的三条射线OX,OY,OZ上上,则在下列命题中则在下列命题中,错误的错误的为为( )A. OABC是正三棱锥是正三棱锥B.直线直线OB平面平面ACDC.直线直线AD与与OB所成的角是所成的角是45D.二面角二面角DOBA为为45答案答案:B解析解析:设设OA=A,OB=B,OC=C,由题意由题意,A2+B2=A2+C2=B2+C2A=B=C,OABC为正三棱锥为正三棱锥,故故A正确正确.O在正三角形在正三角形ABC上的射影为它的中心上的射影为它的中心,由由A的结论正确的结论正确,可可知知OD平面平面ABC交交ABC的中心于的中心于E,连结连结BE并延长交并延长交AC于于F,则则F为为AC的中点的中点,连结连结DF,若若OB解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 垂直关系的考查垂直关系的考查例例1已知已知A,B是两条直线是两条直线,是两个平面是两个平面,给出下列命题给出下列命题:若直线若直线A垂直于垂直于内两条相交直线内两条相交直线,则则A;若直线若直线B垂直于平面垂直于平面内的无数条直线内的无数条直线,则则B;若若A,B ,则则AB;若若A,B ,AB,则则.其中正确的命题是其中正确的命题是_.答案答案:解析解析:由线面垂直的判定定理可知由线面垂直的判定定理可知,正确正确,错误错误,当直线当直线B与与平面平面内的无数条直线垂直内的无数条直线垂直,而这无数条直线是相互平行的直而这无数条直线是相互平行的直线时线时,B与与不一定垂直不一定垂直.由由A,.A,又又B ,AB.故正确故正确.若若A,AB,则则B,又又B ,故正确故正确.点评点评:解决这类问题的关键就是分清线面位置关系的判定定理解决这类问题的关键就是分清线面位置关系的判定定理和性质定理的条件和性质定理的条件,并结合长方体模型或实际空间位置作出正并结合长方体模型或实际空间位置作出正确的判断确的判断.变式变式1:(1)对于直线对于直线M,N和平面和平面、,能得出能得出的一个条件的一个条件是是( )A.MN,M,NB.MN,=M,N C.MN,N,M D.MN,M,N答案答案:C解析解析:(1)如图所示如图所示,选一个正方体选一个正方体ABCDA1B1C1D1,把把AD看看做直线做直线M,BB1看做直线看做直线N,把平面把平面BB1C1C作为平面作为平面,平面平面AA1C1C作为平面作为平面,A虽然满足虽然满足MN,M,N,但但不垂不垂直于直于,从而否定从而否定A;类似地可否定类似地可否定B和和D,因此选因此选C.题型二题型二 垂直关系的证明垂直关系的证明例例2(2009海南宁夏海南宁夏)如图所示如图所示,在三棱锥在三棱锥PABC中中,PAB是等边三角形是等边三角形,PAC=PBC=90.(1)证明证明:ABPC;(2)若若PC=4,且平面且平面PAC平面平面PBC,求三棱锥求三棱锥PABC的体积的体积.解解:(1)证明证明:因为因为PAB是等边三角形是等边三角形,PAC=PBC=90,所以所以RTPBC RTPAC,可得可得AC=BC.如图如图,取取AB中点中点D,连结连结PD,CD,则则PDAB,CDAB,又又PDDC=D,所以所以AB平面平面PDC,所以所以ABPC.(2)解解:作作BEPC,垂足为垂足为E,连结连结AE.因为因为RTPBC RTPAC,所以所以AEPC,AE=BE.由已知平面由已知平面PAC平面平面PBC,AEB=90.因为因为RTAEB RTPEB,所以所以AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形.由已知由已知PC=4,得得AE=BE=2,AEB的面积的面积S=2.因为因为PC平面平面AEB,8PC.3 1PABCVS3所以三棱锥的体积点评点评:在证明垂直关系时在证明垂直关系时,要利用转化思想要利用转化思想,依据垂直的判定定依据垂直的判定定理、性质定理等理、性质定理等,将线与线、线与面、面与面之间的垂直与平将线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行相互转化行相互转化.例例3如图如图,在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中,ABBC,BCBC1,AB=BC1,E,F,G分别为线段分别为线段AC1,A1C1,BB1的中点的中点,求证求证:(1)平面平面ABC平面平面ABC1;(2)EF平面平面BCC1B1;(3)FG平面平面AB1C1.解解:(1)ABBC,BCBC1,ABBC1=B,BC平面平面ABC1,又又BC 平面平面ABC,平面平面ABC平面平面ABC1.(2)在在AA1C1中中,E、F分别为分别为AC1,A1C1的中点的中点,EFAA1,几何体几何体ABCA1B1C1为三棱柱为三棱柱,BB1AA1,EFBB1,BB1 平面平面BCC1B1,EF 平面平面BCC1B1,EF平面平面BCC1B1.(3)在在AA1C1中中,E,F分别为分别为AC1,A1C1的中点的中点,1/ /,2,1/ /,2/ /,BE,11111111EFAA EFAAABCA B CGBBBGAA BGAAEFBGEFBGBEFG在三棱柱中为的中点且连接四边形为平行四边形变式变式2:(2010安徽模拟安徽模拟)已知已知P在矩形在矩形ABCD边边CD上上,AB=2,BC=1,F在在AB上且上且DFAP,垂足为垂足为E,将将ADP沿沿AP折起折起,使点使点D位于位于D位置位置,连连DB、DC得四棱锥得四棱锥D-ABCP.(1)求证求证DFAP;(2)若若PD=1并且平面并且平面DAP平面平面ABCP,求四棱锥求四棱锥D-ABCP的体积的体积.证明证明:(1)APDE,APEF,又又DE,EF是面是面DEF内两相交直线内两相交直线,AP平面平面DEF,APDF.(2)PD=1,四边形四边形ADPF是边长为是边长为1的正方形的正方形,ABCP2EDEEF,2,AP,ABCP,13() 1,2212.34 ABCPDABCPDD APABCP DEDES12VDE S梯形梯形平面平面平面题型三题型三 垂直关系的综合应用垂直关系的综合应用例例4(2009浙江浙江)如图如图,平面平面PAC平面平面ABC,ABC是以是以AC为斜边的等腰直角三角形为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为分别为PA,PB,AC的中的中点点,AC=16,PA=PC=10.(1)设设G是是OC的中点，证明的中点，证明:FG平面平面BOE;(2)证明证明:在在ABO内存在一点内存在一点M,使使FM平面平面BOE,并求点并求点M到到OA,OB的距离的距离.解解:(1)证明证明:如图所示如图所示,设设PE的中点为的中点为H,连结连结HG,HF.因为点因为点E,O,G,H分别是分别是PA,AC,OC,PE的中点的中点,所以所以HGOE,HFEB.因此平面因此平面FGH平面平面BOE.因为因为FG在平面在平面FGH内内,所以所以FG平面平面BOE.(2)解解:在平面在平面OAP内内,过点过点P作作PNOE,交交OA于点于点N,交交OE于于点点Q.如图所示如图所示.连结连结BN,过点过点F作作FMPN,交交BN于点于点M.下证下证FM平面平面BOE.由题意由题意,得得OB平面平面PAC,所以所以OBPN.又又PNOE,所以所以PN平面平面BOE.因此因此FM平面平面BOE.所以点所以点N在线段在线段OA上上.因为因为F是是PB的中点的中点,所以所以M是是BN的中点的中点,因此点因此点M在在AOB内内,点点M到到OA,OB的距离分别为的距离分别为119O B4,O N.224点评点评:在应用线面关系的定理过程中要学会找平面做媒介在应用线面关系的定理过程中要学会找平面做媒介,注注意线面、面面的相互转化意线面、面面的相互转化.(),.11115 2009ABCA B CAB1 ACAA3ABC60例陕西 如图 在直三棱柱中(1)证明证明:ABA1C;(2)求二面角求二面角AA1CB的正切值的正切值.解解:(1)证明证明:三棱柱三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱为直三棱柱,ABAA1.在在ABC中中,AB=1,AC= ,ABC=60,由正弦定理得由正弦定理得ACB=30,BAC=90,即即ABAC.AB平面平面ACC1A1,又又A1C 平面平面ACC1A1,ABA1C.3(2)解解:如图所示如图所示,作作ADA1C交交A1C于于D点点,连结连结BD,又又ABA1CA1C平面平面ABDBDA1C,ADB为二面角为二面角AA1CB的平面角的平面角.在在RTAA1C中中,点评点评:计算二面角的关键是准确作出二面角的平面角计算二面角的关键是准确作出二面角的平面角.从分析从分析构成二面角的图形结构入手构成二面角的图形结构入手,从中发现一些线、面、体的特殊从中发现一些线、面、体的特殊位置关系位置关系,找到二面角的平面角找到二面角的平面角.变式变式3:如图如图,四棱锥四棱锥PABCD的底面为正方形的底面为正方形,PA平面平面ABCD,PA=AB,F为为PA上的点上的点.(1)求证求证:无论点无论点F在在PA上如何移动上如何移动,都有都有BDFC;(2)若若PC平面平面FBD,求二面角求二面角FBDA的余弦值的余弦值.解解:(1)设设ACBD=O,底面底面ABCD为正方形为正方形,ACBD.又又PA平面平面ABCD,PABD,又又PAAC=A,BD平面平面PAC,由于由于F为为PA上的点上的点,FC 平面平面PAC.BDFC.即无论点即无论点F在在PA上如何移动上如何移动,都有都有BDFC.(2)由条件由条件PC平面平面FBD,F点即为点即为PA的中点的中点,又由得又由得,BD平面平面PAC,BDAO,BDFO,FOA为二面角为二面角PBDA的平面角的平面角.不妨设正方形的边长为不妨设正方形的边长为1,笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关考考 向向 精精 测测1.已知直线已知直线L平面平面,直线直线M 平面平面,有下面四个命题有下面四个命题LM;LM;LM;LM.其中正确的是其中正确的是( )A.B.C.D.答案答案:D2.如图如图,四棱台四棱台ABCDA1B1C1D1的直视图和三视图的直视图和三视图,底面底面ABCD是边长为是边长为2的的形形,BAD=60,A1A=D1D=A1D1=1,M,N分别为分别为A1D1,AD的的中点中点.(1)由三视图判断平面由三视图判断平面AA1D1D与平面与平面ABCD的位置关系的位置关系(只只须作出判断须作出判断);(2)求证求证:BC平面平面MNBB1;(3)求二面角求二面角A1ABD的余弦值的余弦值.解解:(1)平面平面AA1D1D平面平面ABCD.(2)由条件知四边形由条件知四边形AA1D1D为等腰梯形为等腰梯形.M,N为上下底边的中点为上下底边的中点,MNAD.又又AN= AB=1,BAD=60,ABN为直角三角形为直角三角形,BNAD.又又MNBN=N,AD平面平面MNBB1.ADBC,BC平面平面MNBB1.12(3)如图作如图作A1HAD于点于点H,在底面在底面ABCD上作上作HEAB于点于点E,连接连接A1E.平面平面AA1D1D平面平面ABCD,A1H平面平面ABCD,HEAB,A1EAB.A1EH为二面角为二面角A1ABD的平面角的平面角.课时作业课时作业(四十三四十三) 空间中的垂直关系空间中的垂直关系一、选择题一、选择题1.已知平面已知平面平面平面,=C,直线直线A ,直线直线B ,A,C不垂不垂直直,且且A,B,C交于同一点交于同一点P,则则“BC”是是“BA”的的( )A.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件B.充分不必要条件充分不必要条件C.必要不充分条件必要不充分条件D.充要条件充要条件答案答案:D解析解析:BC,B ,B.又又A ,BA.反之如图反之如图:在在A上取一点上取一点A,作作ABC,则有则有AB,ABB.又又BA,AAB=A.B.BC,即这是一个充要条件即这是一个充要条件.2.已知两条不同的直线已知两条不同的直线M,N,两个不同的平面两个不同的平面,则下列命题则下列命题中正确的是中正确的是( )A.若若M,N,则则MNB.若若M,N,则则MNC.若若M,N,则则MND.若若M,N,则则MN答案答案:A3.如图如图,正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是的各棱长都是2,E、F分别是分别是AB、A1C1的中点的中点,则则EF与平面与平面ABC所成角的正弦值为所成角的正弦值为( )13A.B.222 52 7C. D.57解析解析:如图所示如图所示,取取AC的中点的中点G,连结连结EG、FG,则易得则易得FG平平面面ABC,FEG即为直线即为直线EF与平面与平面ABC所成的角所成的角,易知易知FG=2,EG=1, ,C.2 5EF5 sin FEG5选答案答案:C4.若平面若平面平面平面=A,平面平面平面平面,平面平面平面平面,则则A在平在平面面内的射影是内的射影是( )A.一条线段一条线段B.一条直线一条直线C.一个点一个点D.不能确定不能确定答案答案:C解析解析:如图如图,在在内取一点内取一点O A,=B,=C,过过O作直线作直线OAB,OBC.又又,OA,OB,OAA,OBA,A.故故A在平面在平面内的射影是一个点内的射影是一个点.5.在正四面体在正四面体PABC中中,D、E、F分别是分别是AB、BC、CA的中的中点点,下列结论不成立的是下列结论不成立的是( )A. BC平面平面PDFB. DF平面平面PAEC.平面平面PDE平面平面ABCD.平面平面PDF平面平面PAE答案答案:C解析解析:如图如图,DFBC,DF 平面平面PDF,BC平面平面PDF,A正确正确;PB=PC,AB=AC,PEBC,AEBC,则则BC平面平面PAE.又又DFBC,DF平面平面PAE,B正确正确.DF 面面PDF,平面平面PDF平面平面PAE,D正确正确.故选故选C.6.在四面体在四面体PABC中中,若若PA=PB=PC,则点则点P在平面在平面ABC内的内的射影是射影是ABC的的( )A.外心外心B.内心内心C.垂心垂心D.重心重心答案答案:A解析解析:P在平面在平面ABC内的射影为内的射影为O,由由PA=PB=PC,则对应的则对应的射影射影OA=OB=OC,故故O为为ABC的外心的外心.选选A.二、填空题二、填空题7.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,二面角二面角C1ABC的平面的平面角等于角等于_.答案答案:45解析解析:如图如图,正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,AB平面平面BCC1,BCAB,BC1AB,则则C1BC是二面角是二面角C1ABC的平面角的平面角,又又BCC1是等腰直角三角形是等腰直角三角形,则则C1BC=45.8.四边形四边形ABCD是正方形是正方形,PA平面平面ABCD,在平面在平面PAB、PBC、PCD、PDA和和ABCD中中,互相垂直的平面一共有互相垂直的平面一共有_对对.答案答案:5解析解析:如图如图,已知已知PA平面平面ABCD,PA 面面PAB,PA 面面PDA,平面平面PAB平面平面ABCD,平面平面PDA平面平面ABCD.又又BCAB,BC面面PAB,ADAB,AD面面PAB.面面PAD面面PAB,面面PBC面面PAB.又又CDAD,CDPA,CD面面PAD.平面平面PCD平面平面PDA,故共有故共有5对互相垂直的平面对互相垂直的平面.9.已知直线已知直线L平面平面,直线直线M 平面平面,有下面四个命题有下面四个命题:LM;LM;LM;LM.其中正确的命题是其中正确的命题是_.答案答案:解析解析:,L,L.又又M ,LM.故对故对.中中L有可能平行于有可能平行于M,也可能与也可能与M异面异面.中中L,LM,M.又又M ,.故对故对.L,LM,M,.错错.正确的命题是正确的命题是.10.已知正三角形已知正三角形ABC的边长为的边长为10,以过以过ABC的中心且平行的中心且平行于于BC的直线的直线EF为棱为棱,将三角形折成直二面角将三角形折成直二面角AEFB,折起折起后后A、B间的距离是间的距离是_.:.3610答案三、解答题三、解答题11.(2009山东山东)如图如图,在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,底面底面ABCD为等腰梯形为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分分别是棱别是棱AD,AA1的中点的中点.(1)设设F是棱是棱AB的中点的中点,证明证明:EE1平面平面FCC1;(2)证明证明:平面平面D1AC平面平面BB1C1C.证明证明:(1)如图如图(1),取取A1B1的中点为的中点为F1,(1)连结连结FF1,C1F1,由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即为平面即为平面C1CFF1,连结连结A1D,F1C,/ /CD,/ /C.11111111A FD CA DCFA DF由于所以四边形为平行四边形因此又又EE1A1D,得得EE1F1C,而而EE1 平面平面FCC1,F1C 平面平面FCC1,故故EE1平面平面FCC1.(2)如图如图(2),连结连结AC,在在FBC中中,FC=BC=FB,(2)又又F为为AB的中点的中点,所以所以AF=FC=FB,因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1,且且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1C1C,而而AC 平面平面D1AC,故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.12.在四棱锥在四棱锥PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB=60,且边长且边长为为A的菱形的菱形,侧面侧面PAD为正三角形为正三角形,其所在平面垂直于底面其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若若G为为AD边的中点边的中点,求证求证:BG平面平面PAD;(2)求证求证:ADPB;(3)若若E为为BC边的中点边的中点,能否在棱能否在棱PC找到一点找到一点F,使平面使平面DEF平面平面ABCD,并证明你的结论并证明你的结论.解解:(1)菱形菱形ABCD中中,DAB=60,G为为AD的中点的中点,BGAD,又平面又平面PAD平面平面ABCD,平面平面PAD平面平面ABCD=AD,BG平面平面PAD.(2)连结连结PG,PAD为正三角形为正三角形,G为为AD的中点的中点,PGAD,由由(1)知知BGAD,PGBG=G,PG 平面平面PGB,BG 平面平面PGB,AD平面平面PGB.PB 平面平面PGB,ADPB.(3)当当F为为PC的中点时的中点时,平面平面DEF平面平面ABCD,证明证明:在在PBC中中,FEPB,又在菱形又在菱形ABCD中中,GBDE,而而FE 平面平面DEF,DE 平面平面DEF,EFDE=E,平面平面DEF平面平面PGB,由由(1)知知,PG平面平面ABCD,而而PG 平面平面PGB,平面平面PGB平面平面ABCD,平面平面DEF平面平面ABCD.
展开阅读全文