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第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式)1. （2013江西理10）如图，半径为的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，,与半圆相交于两点，与三角形两边,相交于两点，设弧的长为，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）.2（2013四川理7）函数的图象大致是（ ）3. （2013山东理8）函数的图像大致为（ ）.134.（2014 福建理4）若函数的图像如图所示，则下列函数正确的是（ ）. A.B.C.1131111D.-1-35.（2014 新课标1 理 6） 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图像大致为（ ）.1A.1B.1C.1D.6.(2015安徽理9)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.， B.，C.， D.，6. 解析 由题可得，所以，即令，则，所以令，则，所以，所以故选C7.（2016全国乙理7）函数在的图像大致为（ ）. A. B. C. D.7. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.解析 设，由，可排除A（小于），B（从趋势上超过）；又时，所以在上不是单调函数，排除C.故选D.评注 排除B选项的完整论述，设=，则.由，可知存在使得且时，所以在是减函数，即时切线斜率随的增大而减小，排除B.题型28 作函数的图像暂无题型29 函数图像的应用1.（2013江苏理13）在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .2. (2013湖南理5）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）.A3 B2 C1 D0 3. (2013重庆理6）若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）.A. 和内 B. 和内 C. 和内 D. 和内4. (2013辽宁理11）已知函数，.设，表示中的较大值，表示中的较小值，记得最大值为，得最小值为，则（ ）.A. B. C. D. 5.(2013湖南理20）在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”.如图6所示的路径与路径都是到的“路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处. 现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心.（1）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（2）若以原点为圆心，半径为的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点 的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小.6. (2013安徽理8）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7.（2014 山东理 8）已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.7.（2014 江苏理 13）已知是定义在上且周期为的函数，当时，若函数在区间上有个零点（互不相同），则实数的取值范围是 8.（2014 天津理 14）已知函数，.若方程恰有个互异的实数根，则实数的取值范围为_.8.（2014 浙江理 15）设函数，若，则实数的取值范围是_.9.（2015北京理14）设函数（1）若，则的最小值为 ；（2）若恰有两个零点，则实数的取值范围是 .9. 解析 （1）若，.函数的值域为，因此的最小值为.（2）依题意，函数至多有一个零点.若函数恰有两个零点，则有两种情形：函数，无零点，函数，有两个零点；函数，有1个零点，函数，有一个零点.当函数满足情形时，可得，解得.当函数满足情形时，可得，解得.综上，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是.10.（2015湖南理15）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是 .10. 解析 利用数形结合解题. 问题等价于函数与有两个交点时的取值范围. 令=, 解得或.当，时的的图像分别如图（1）（2）（3）所示，上下平移可知，图（1）和图（3）与有两个交点. 所以的取值范围为. 图（1） 图（2） 图（3）11.（2015江苏13）已知函数，则方程实根的个数为 11. 解析 解法一（逐步去绝对值）：当时，故，（舍）或，即在上有一解为当时，故，当时，不妨设，对恒成立，故单调递减，根据绝对值函数的性质分析，在上有一解；当时，不妨设，则对恒成立，故单调递增，又，根据绝对值函数的性质分析，在上有两解综上所述：方程实根的个数为解法二（直接去绝对值）：设，则，下仿照解法一分析或者通过分析的解亦可解法三（图像转化）：因为，所以，从而，即或先分别画出与的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究与的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有个交点图形分析 图形分析评注 本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年12.（2015天津理8）已知函数 ，函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D.12. 解析 由得，所以，即，所以恰有个零点等价于方程有个不同的解，即函数与函数的图像的个公共点，由图像可知.13.（2015山东理10）设函数,则满足的的取值范围是( ).ABCD13.解析 因为，所以当时，解得；当时，解得综上所述，故选C14.(2015北京理7)如图所示，函数的图像为折线，则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 14. 解析 函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出及的图像，如图所示.可知的解集为.故选C. 15.（2015全国I理12）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）.A B C D15.解析 由，且，知.所以满足题意的.又.当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增.因此，若存在唯一整数，使得，则，即，解得，又，所以的取值范围是.故选D.16.（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_.16.解析 因为，即.由图像变换可作出与的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.17.（2017山东理10）已知当时，函数的图像与的图像有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）.A. B.C. D.17.解析 解法一：过点且对称轴为.当时，从而在区间上单调递减，函数与的草图如图所示，此时有一个交点；当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.若函数与有一个交点，草图如图所示，则，解得；当时，函数与显然在区间有且只有一个交点为.综上所述，的取值范围是.故选B.解法二：若，则的值域为；的值域为，所以两个函数的图像无交点，故排除C、D；若，则点是两个函数的公共点.故选B.题型33 函数中的创新题1.(2015全国II理10)如图所示，长方形的边，是的中点，点沿着边与运动，.将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ） A. B. C. D.1. 解析 由已知可得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即，时， ；当时，； 当点在边上运动时，即时，.从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且轨迹非直线型.故选B.2.（2015四川理13）某食品的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位：)满足函数关系 (为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是 .2. 解析 由题意可得，即，所以当时，3.（2015四川理15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，现有如下命题：对于任意不相等的实数，都有；对于任意的及任意不相等的实数，都有；对于任意的，存在不相等的实数，使得；对于任意的，存在不相等的实数，使得.其中真命题有_(写出所有真命题的序号).3. 解析 .由得.令，则，故不单调.当时，为单调递减函数，不符合题意.当时，,由于是值域为的单调递增函数，故必存在一个，使得.且当时，.当时，.即不单调.所以正确.由得.令，则，即对任意的，不单调.取，则。此时对任意的，都不单调.所以不一定有.错误.若，则，即.令，则不单调.令，得要有根.令则，是值域为的增函数.所以存在，使得.所以在单调递减，在上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的，不一定有根.所以错误.若，则，即.令,则不单调.令，得要有根.而是值域为的减函数，所以一定会有根.所以对任意的，存在不相等的实数，使得.正确.所以真命题为，.4.（2016山东理10）若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.A. B. C. D.4. A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.5.（2016全国甲理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）.A. B. C. D.5. B解析 由得，关于对称，而也关于对称，所以对于每一组对称点有，所以.故选B.6.（2016上海理18）设是定义域为的三个函数，对于命题：若，均为增函数，则中至少有一个为增函数；若，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.A.和均为真命题 B.和均为假命题 C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为真命题6.解析 不成立，可举反例.增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.如：， .故错误.由题意，前两式求和后与第三式作差得，同理可得，.故正确.故选D.评注 按照的逻辑，得到有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.7.（2016四川理15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称.若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .7. 解析 对于，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是.故错误；对于，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上.故正确；对于，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以正确；对于，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆.故错误.所以正确的序号为.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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