高中数学第三章第2节古典概型知识精讲人教实验B版必修3

高二数学 第三章 第2节 古典概型人教实验B版必修3【本讲教育信息】一、教学内容：必修3 古典概型二、教学目标：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。三、知识要点分析：古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=；一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。【典型例题】例1. 一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？（3）摸出2个黑球的概率是多少？解：（1）从袋中摸出2个球，共有种不同的结果；（2）从3个黑球中摸出2个黑球，共有种不同的结果；（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，又因为在这6种结果中，摸出2个黑球的结果有3种，所以，从中摸出2个黑球的概率. 例2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。解析：每次取出一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A=（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=。点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。例3. 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为2，3，4，12，故共有11种基本事件，所以概率为P=；剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有（1，1）一种，而点数之和为6有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种. 事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=。例4. 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？错解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。正解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的可能结果是个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。（2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？错解：甲、乙中甲抽到判断题的种数是69种，乙抽到判断题的种数是69 种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为129；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是109，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。剖析：显然概率值不会大于1，这是错解。该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数。正解：甲、乙二人一次各抽取一题的基本事件的总数是109=90；方法一：只有甲抽到了选择题的事件数是：64=24；只有乙抽到了选择题的事件数是：64=24；甲、乙同时抽到选择题的事件数是：65=30；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。方法二：利用对立事件事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙二人都未抽到选择题”是对立事件。事件“甲、乙二人都未抽到选择题”的基本事件个数是43=12；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。例5. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球. （）求取出的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件. 由于事件相互独立，且，. 故取出的4个球均为黑球的概率为. （）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件. 由于事件互斥，且，. 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为. 例6. 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B（）芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。（）芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。点评：高考对概率内容的考查，往往以实际应用题的形式出现。这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向，考生要以课本概念和方法为主，以熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律。本讲涉及的数学思想、方法 1. 使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，必须做到不重复不遗漏。2. 复习这部分内容及解答此类问题首先必须明确判断两点：（1）对于每个随机实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；（2）出现的所有不同的实验结果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用古典概型计算公式P（A）=m/n得出的结果才是正确的。3. 在应用题的背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是分析问题、解决问题的重要环节。预习导学案（几何概型，随机数的含义）（一）预习前知1. 频率与概率的关系是怎样的？2. 什么是几何概型？（二）预习导学探究反思探究反思的任务：几何概型，随机数的含义1. 几何概型的定义把事件A理解为区域的某一个子区域A。如果A的概率只与子区域A的几何度量（_、_或_）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型。2. 几何概型的计算公式P（A）=（其中表示区域的几何度量，表示区域A的几何度量）。3. 几何概型试验的两个基本特点（1）无限性（2）等可能性反思：古典概型与几何概型有何区别？4. 均匀随机数的产生（1）上均匀随机数的产生（2）上均匀随机数的产生【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 在一次射击中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）2. 一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率为（ ）3. 在平面直角坐标系中，从六个点：，F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（ ）A.B.C.D.*4. 将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）A.B.C.D.5. 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示. 根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）人A. 300B. 360C. 420D. 450*6. 一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7. 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为_. *8. 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_. 9. 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）三、解答题10. 假设车站每隔 10 分钟发一班车，乘客随机地到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？*11. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率. *12. 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽出3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；（）抽出的3张卡片中有2张卡片上的数字是3的概率；（）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。【试题答案】1. A解析：设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生. 故目标被击中的概率为1P（）=12. B 3. C 4. A 5. B 6. D7. 解析：由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。8. 解析：因为每组人数为13人，因此，每组选1人有C种方法，所以所求概率为P=.答案：9. 0.310. 解：以两班车出发间隔 （ 0，10 ） 区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，p= 0.3 。11. 解：（1）我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B. 显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P（AB）=P（A）P（B）=0.60.6=0.36答：两人都击中目标的概率是0.36（2）同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P（A）=P（A）P（）=0.6（10.6）=0.60.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P（B）=P（）P（B）=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生的，即事件A与B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P（A）+P（B）=0.24+0.24=0.48答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48. （3）两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率为P=P（AB）+P（A）+P（B）=0.36+0.48=0.84答：至少有一人击中目标的概率是0.84. 12. 解析：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意得：；（II）“抽出的3张卡片中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则；（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为，所以.用心 爱心 专心