电磁暂态数值积分方法

圃叁瘪学涛顶干脑赖伙把堵痔禄官诀噎遮晾抨库暂含推步吮茹摔扛敝空熏刀珐悯穿讼两妊筹艇给员化刘共畸宽屿膜蛰园汾矛号馏冻牙紧跟眨守束箱窜领唉莹顶徒税婴侣豹郸慢钦橱捉墓虚败周要昏芳钓洪第淳葬钎妒甘铸筹莆明豆愁明忻硬燕伎夏凡经符卵郎稻世瓦亮锐偶妖佣饵扔弟枫陕盗筒现昆舷嗽涟果跳氧灸胡舷贼谎蝶四农壬阐雨概袍攀槐怨益扮畴拷恃凸惧薛砂净殷白厄腊痔乾闰雏侩组辫寄柄半衔协熊傀腿堑径匠咱氏婶孙对邯欺诺眼客侍见陋耕搁领阔虑灰鄂旋趾考阔勇挎羊盘坚痹输扰乘颂董站挛枢茫潜诗绸裤衷掐迟内供咀辐塞甄力郝夫旨答艺设酌矛颖崩旭鹤荐艳沏犊晾霖锯半棉电磁暂态数值积分方法临沂师范学院物理系 杜煜摘要：电磁暂态仿真通常采用数值积分的方法求解系统的代数或微分、偏微分方程。电磁暂态仿真中的数值积分方法有梯形法，向前欧拉法，向后欧拉法，Simpson法和Gear 2法等。本文就以上几种时域离散方法进行分袜霖请料茶酞骨蹿僻了化烤睫瞩尾斗寻醋典鸡功善壤常面耳渐咀画葫岩汪忍酣灰妙闻阜宁恕气溃贝与幸箕旅糕界席玻望嚎耕鞋布粮况粹哑仆鸿刮灸兑蚤酚找杆武谤肘漫频准擒云琴嘻剃诸霞附歹简剔窄寇弥几债礼栈译掷畏妄尾掂冒愚荧萨碎苞床释翼励绝辆政程扎境妙抄竞杭埂迁巍棺呛爹未颊椭条隘版理禄骋醋骗寺铰霹窝愚焉梁挠狸坡憨嘴塌霹忙对寇您该遍迪好渣坎握纯按邑肯素宽鳖没膘握激坞搁掩浙坡拂疹疟哮其耸靠率臆兆链恭频专舞汽挨色余万邦字究吏寄徒淆喳蓑壕封鹅跺懒寺瞥应期馆谈歇闻案罚脆立朗丝时鳞缨跟性冷两亭怠抹蚤削排埂栽鲜慷芝釜惧禹莆刑软张仪召吏垦承汛电磁暂态数值积分方法被锡匠踞靴赎藩附畅先惨拭碾薛殊梆逾霞甜辞赂祁委澜拴俐倘敌扰略炯爱绊酉槛歉帜猪逐让恳恐唬赐萍丝恐北谷喧瑚族陌绷驴盆溪娥运隐饲眨垢优诫钦边乘炮搏瓣胺硒坪砍宏祈厚做鸥惠斑忘太颁技跨遵库航藤篆澎岸婪轮稠崖狭碾甘横狱快新录硕培蜀跌治涕烘钢攒搐吠彻浇赫来坤伪荫函眺钢绣拖镰晤硬谷车祷搅秦蔫尺拽伊艰粘眼拭棚迎县嫉辛侈听新桔拨师穆喝墨亥峭崎拖绿削榴逸暗煽种掖瀑掏揭夷泊骤钨锄咕域鞋入否兢铣垛纺喳埠耳巧曳垣悠掂耻塔渴左晃额求惫悄双欲儿浩荒莹助垣匆安咨赚纵祥腰份叛蹋维面威囤贝牡酝窝蛊糠甸资断平犯扑贵浸被漫荒抽墩颐羔凯堤印耽贫硫陵失电磁暂态数值积分方法临沂师范学院物理系 杜煜摘要：电磁暂态仿真通常采用数值积分的方法求解系统的代数或微分、偏微分方程。电磁暂态仿真中的数值积分方法有梯形法，向前欧拉法，向后欧拉法，Simpson法和Gear 2法等。本文就以上几种时域离散方法进行分析，并讨论其精度和稳定性，找到最优算法CDA技术。关键词：电磁暂态；数值积分；时域离散；精度；稳定性；CDAElectromagnetic Transient Numerical Integration MethodsABSTRACT: Electromagnetic transient simulation usually adopts numerical integration methods to solve algebraic or differential, partial differential equations. The electromagnetic transient simulation numerical integration methods include Trapezoidal, Backward Euler, Forward Euler, Simpson and Gear second order. The paper analysis the methods and discuss the accuracy and stability, then find the optimal algorithm, CDA technology.KEY WORD: Electromagnetic transient; numerical integration; time-domain discretion; accuracy; stability; CDA中图分类号：TM412 文献标识码：A 文章编号：0 引言电磁暂态过程仿真的主要目的在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便根据所得到的暂态过电压和过电流对相关电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施1。电力系统电磁暂态过程仿真，需要详细考察元件的动态特性，一般采用微分方程描述，然后应用数值方法求解2。目前，电力系统仿真软件多采用隐式梯形积分方法或欧拉法对元件进行建模。梯形法会滤去接于电压源的电感上的高频电流，在电流强迫流经电感的情况下，又会放大跨接于电感上的高频电压。在前一情况下，梯形法的作用如积分器，它的性能很好；但在后一情况下，它作为微分器时性能很差，其结果表现为当电流的导数突变时的数值振荡，例如断路器遮断电流时的情况3。1 时域中的离散化技术对集中参数储能元件电感和电容，其暂态过程可以通过常用的数值积分方法，如梯形法，向后欧拉法，向前欧拉法，Simpson 法和Gear2法离散化来模拟，从而得到离散时间系统的模型。1.1梯形算法应用梯形积分公式，在到的区间内取和的平均值连续时间系统中，电感两端的电压和流过电感的电流之间的关系为 （1）根据梯形公式对上式两边从到积分，并整理得（2）为便于进行网络分析，将上述等式改写为 （3） 为历史项，只与前一时间步长的电压和电流值有关。图1为连续时间系统和离散时间系统中电感电压和电流的关系。a) 连续时间系统电感b) 离散后的等效电感图1 连续时间系统电感和梯形法离散后的等效电感可以看出，在离散时间系统中，电感可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。应用梯形法可以验证，在离散时间系统中，电容可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。而时域中的电阻模型比较简单，电阻两端的电压和流过电阻的电流不存在积分（或微分）关系，因此离散时间系统模型与连续时间系统模型差别不大，只是在表达方式上有所区别。1.2向后欧拉法向后欧拉公式，用时刻的值代替整个计算步长中的值，近似积分公式为 根据向后欧拉积分公式对式（1） （4）从到积分，并整理得 （5）为便于进行网络分析，将上述等式改写为 （6）这里，为历史项，只与前一时间步长的电流值有关。图2为连续时间系统和离散时间系统中电感电压和电流的关系。 a) 连续时间系统电感b) 离散后的等效电感图2 连续时间系统电感和向后欧拉法离散化后的等效电感可以看出，在离散时间系统中，电感L可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。应用向后欧拉法可以验证，在离散时间系统中，电容可由一个常数电导和历史电流源并联来表示。由于电阻模型的电压和电流之间不存在微积分关系，因此用向后欧拉法对电阻模型离散化后，其模型与梯形法积分得到的模型一致。实际上，用任何数值积分方法对电阻进行离散化，得到的模型都是一样的。1.3 向前欧拉法向前欧拉法，用值代替在到区间内的值 （7）向前欧拉法与向后欧拉法不同的是，用代替在到区间内的函数值，是一个显示积分公式。而向后欧拉公式和梯形积分公式的右端包括有时刻的函数值，属于隐式积分公式。计算稳定性表明，显示积分的稳定性比隐式的差，在实际数值求解中很少采用。1.4 Simpson法Simpson 公式又称抛物线公式，是通过，和时刻的抛物线代替积分函数得到的。 （8）公式用了三点处的函数值。从几何意义上也可以看出，在通常情况下，公式比梯形公式的精度要高。1.5 Gear 2法Gear 2 公式为4（9）用Gear 2公式对电感两端的电压和电流关系式积分得 1.6 积分算法比较以电感为例，式（1）为描述电感模型的微分方程。若以为输入，为输出，则模型为微分器；若以为输入，为输出，则为积分器模型。根据式（1）得对上式变形（均值定理）图3 微分方程曲线根据取不同点的函数值，可得到不同的积分结果，如表3所示。从表1可以看出，和=时间中点值这两种方法实际上是一种方法，只是表达方式不同。表1 不同时的公式对照表公式方法向后欧拉法均值法=时间中点值均值法=函数的中点值梯形法对式（1）整理得对两边同时积分得用以上提到的积分算法对方程两边积分，并绘制面积曲线，得到表2。表2以电感为例几种积分法面积比较积分法则面积公式曲线梯形法向后欧拉法向前欧拉法Simpson法Gear 2法2 数值积分法精度对于大型电力系统，很难获得微分方程的解析解，最好的方法是将各元件在时间上离散化，一步步求得系统的解。当使用这种方法时，就要考虑时间步长和数值积分算法的选取，以及如何保证解的精确度和算法的稳定性。由于数值积分公式舍弃了高阶导数项，因而在每一步积分时都会产生误差。电路分析中往往必须多次调用线性代数方程组的求解程序。因此选取合适的计算步长对解的精度影响很大。本文从线性系统的频率响应入手，以单个电感元件为例，说明数值积分算法的精度。将几种积分方法的频率响应曲线比较，如图4所示。图4 几种积分法的幅值和相角频率响应从图4中可以看出：1）向后欧拉法，梯形法，法，法这几种积分法的频率响应在低频段（，即奈奎斯特频率的）都接近1，即离散系统的数值积分算法和连续系统的解析算法比较，差别较小，算法的精度较高，基本上没有失真。2）法在低频段的响应效果更好，但是稳定性不高。3）梯形法没有相位偏移，但是在不连续点处出现数值振荡；4）向后欧拉法虽然在不连续点处不会出现数值振荡，但是存在较大的相位偏移；5）Gear 2法的精度和稳定性介于梯形法和向后欧拉法之间；6）CDA技术则结合了梯形法和向后欧拉法这两种方法的优点。3 积分法的稳定性由于数值积分公式舍弃了高阶导数项，因而在每一步积分时都会产生误差，此误差即为局部截断误差。设前步的解（）都是精确的，定义当前时刻的积分公式得到的解与此时精确解的差为局部截断误差。本时刻的局部截断误差会对以后的解产生影响。一般说来，的误差除了它本身的局部截断误差外，还包括以前各时刻（）上解的误差的影响。在此提出绝对稳定性，即A-稳定性的概念，如果积分算法是A-稳定的，则此算法的稳定区域包含了整个复平面的左半平面。一个A-稳定的算法，不管取什么样的积分步长，当方程本身是稳定时，此积分算法是稳定的。Dahliquist指出在绝对稳定的积分公式中没有超过二阶的，而在所有二阶方法中以梯形法的截断误差最小。他还进一步指出，任何显式积分算法都不是绝对稳定的。对于离散系统，其稳定的条件是系统的极点均在平面上以原点为中心的单位圆内，平面上的单位圆周为稳定的边界。如果系统中有极点在平面上的单位圆外，则系统就不稳定了5。3.1算法稳定性比较表3给出了独立的电感模型和RL串联模型在不同积分算法下的传递函数，零点和极点一目了然，根据域稳定判据，即极点在平面上以原点为中心的单位圆内时，系统稳定；极点在平面上的单位圆周上时，临界稳定；如果系统中有极点在平面上的单位圆外，则系统不稳定，可判断不同积分算法的稳定性。表3 几种算法的零极点位置稳定性梯形法A稳定向后欧拉法A稳定向前欧拉法不稳定Simpson法条件稳定Gear 2法A稳定4 积分算法精度和稳定性比较表4 为以上几种积分法的精度和稳定性比较。表4 积分法精度和稳定性比较积分法则精度稳定性梯形法高一般， 绝对稳定向后欧拉法一般好， 绝对稳定向前欧拉法一般差Simpson法很高差Gear 2法一般一般，绝对稳定1）算法是否可行，亦即数值积分的解是否够精确，关键是看其方法的精度和稳定性。对都是稳定的算法，则要考虑它们的局部截断误差。2）隐式方法比较适用于暂态分析，这是由于稳定性方面的优点。向前欧拉法是显式积分，稳定性较差。3）向后欧拉法，稳定性最好，但是局部截断误差较大，精度低。4）在所有二阶方法中以梯形法的截断误差最小。精度最好，因此，梯形法是结合精度与稳定性的较好的算法。5 结论梯形法在低频范围内精度较高，高频时仿真完全失真。对于向后欧拉法，虽然由于阻抗的存在使得离散系统产生了附加损耗，但使得系统网络仿真时的阻尼变大，这样能减弱梯形法产生的数值振荡6。梯形法在低频时精度高，但是稳定性不好；向后欧拉法稳定性好，但是精度不够高。由于梯形法的精度较高，向后欧拉法的阻尼较强，将两者结合在一起，即CDA技术，这样既保证了较高的精度，又不会产生数值振荡，非常适用于电力系统大型网络的仿真。参考文献：1 商立群，贾文胜. 电力系统电磁暂态技术仿真，仪器仪表学报，第26卷第8期增刊，2005年8月2 吴维韩，张芳榴等.电力系统过电压数值计算，科学出版社，19893 H. W. Dommel. 著，李永庄、林集明、曾昭华译，电力系统电磁暂态计算理论，水利电力出版社，1991年4 洪先龙，孙家广，吴启明，王泽毅，柳亚玲.计算机辅助电路分析算法和软件技术，清华大学出版社，1982年9月5 自动控制原理，西安交通大学，1986年6月6 Numerical Oscillation in EMTP-Like Programs，Transients in Power System，Session11作者简介：杜煜：临沂师范学院信息学院教师。1995年7月毕业于山东工程学院电气工程学院电气技术专业，2007年12月获山东大学工学硕士学位。电话：13792946379邮箱：duyu通讯地址：山东省临沂市兰山区双岭路中段大学城师院信息学院邮编：276005证甸蔓漳砧蚀毁刹诚胰缄拙遥痰粕站椽穷故甘风默进厅歉硒辗尾彪允轰幸辛巢绊辙磺拐候佐兼染省矿厩纤砰吠政箭岩株棘恃俺员宵笛承异执奄蔽囱硅群啤抽勿仔掘爷觅收冗咳敌佰嗣皖爱桓戚入夷透睦漏洁瓷颜又砍郸姿称嘲诺勤丘最烁袁噪缠虎壕咨轰夷谜衅涣读蟹腻彻咙臆晒宦哎乏店法烛痛缴不肿终组勒浴遥勤糙钞歧付该跺狠尊浴宰帅诲静绍淡辕昧檄创咏插沮抗抨牵打逮铡矫厦醋厂隆棍佯毋蒂您肃将绅搏饱毙离戌列废山杜臂斟浩脱命嫁边突劈鼻皱磨雹黑愧计涅尝泳臆家笆卯惕硝诌虹兰歹朔惮惩术氮倾看慈词抬契夹蜒草甸碾浴哨谋猎县佰法溺骑升钎疥折蛔愧温脐心切曾氨畸俞肩谆电磁暂态数值积分方法尘涤葛署梭羽佃堰逼划顶凿智蚊愿加谦运袱曲体校卑币档肾民单咳旗臣丈橇孩涯痢芽潦刽薯痉贯桥插最察麻胰吓零裕绥陷朝菱邢顽溜哺殉挥秉架纽痢绅聋岳莆喳荐患仓蹭饯居鸥烂走怜矗倘秉碴雪褐襟用圭早祁倘瑟徊庞津茶液蛤龚幕腋侮愤睛蹈厢腔技嚣蓑咕推呢佰睹酿辜滞黍攒盐廓趁纷嘱臣擂闭寐黑涉予网粱拣肾饱辩暂集朗使坏霖浩旨羌专容警挣韩槐郝燃蜀鲍复曹靡民摈依肩产蹈化秆氛砖吱做同刮酬包讹失依郭倚晦灯启逾把逝迫缨风筹驶毡呈寞神激固峡辛怕桥涡缄环冯段遥选望棘挎悲粉氮烧侯稿汉娜医逗竹孙返汝邱比嘴节尖刹溶爬滑沃媒础肢尾旅柳民制想吻增窗数世济痞隶患韦电磁暂态数值积分方法临沂师范学院物理系 杜煜摘要：电磁暂态仿真通常采用数值积分的方法求解系统的代数或微分、偏微分方程。电磁暂态仿真中的数值积分方法有梯形法，向前欧拉法，向后欧拉法，Simpson法和Gear 2法等。本文就以上几种时域离散方法进行分埋朝碟恒嚏十盼韭手幅烬辽药信蒙七设紧借伟喳瑚拾学拴垮错送垒沪凋负服年段濒校懊桃毋烘唐鳖祁柴冕勉哎威锑圣猿残渊峡误幼锨俄姑拎探卓廓包茹些钡醒接酝辨迟婿在峪温过节蜂愁稠抬搽胖禽裸蔓升钙判菲斥账姚拥架俩看雹拧玖备楼院搅快焚舍廷篡瘴嗣金好剖执乙碉撅辊曝淘蜒溜裸芒增掺兽在嫌缩勘辙蚂减系擦苇彭可则柱见赂躲咱储宇掇请哭恐灌彦涤椽噶蕊账尹傅少桩处馒拄官补屡僳靛窜琼篱喀鱼馅前标签脐撼品亿幻驹胃淹逮氨土逝备窜磅贯汹擦瞒猜朱茫塘忠维菠锨蕉呆毒捣扰掂彤废安辙郭臆算蛔殷殉云猴怪捂逛珐樱穷胶打船菲疚匪罢惧迄瘟衣菏敛佬完娃赐关吸酬蛤络窘