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题组层级快练(六十二)1若椭圆1过点(2,),则其焦距为()A2B2C4 D4答案D解析椭圆过(2,),则有1,b24,c216412,c2,2c4.故选D.2已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2y22x150的半径,则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析圆C的方程可化为(x1)2y216.知其半径r4,长轴长2a4,a2.又e,c1,b2a2c2413.椭圆的标准方程为1.3已知曲线C上的动点M(x,y),向量a(x2,y)和b(x2,y)满足|a|b|6,则曲线C的离心率是()A. B.C. D.答案A解析因为|a|b|6表示动点M(x,y)到两点(2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线C是椭圆且长轴长2a6,即a3.又c2,e.4已知椭圆1的离心率e,则m的值为()A3 B3或C. D.或答案B解析若焦点在x轴上,则有m3.若焦点在y轴上,则有m.5已知圆(x2)2y236的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|PN|.又AM是圆的半径,|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆6(2015广东韶关调研)已知椭圆与双曲线1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于()A. B.C. D.答案B解析因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为1(ab0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a10a5,则c4,e,故选B.7(2015广东广州二模)设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若PF1F230,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案D解析设PF1的中点为M,连接PF2,由于O为F1F2的中点,则OM为PF1F2的中位线,所以OMPF2.所以PF2F1MOF190.由于PF1F230,所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理,得|F1F2|PF2|.由椭圆定义,得2a|PF1|PF2|3|PF2|a,2c|F1F2|PF2|c.所以椭圆的离心率为e.故选D.8(2015河北邯郸一模)已知P是椭圆1(0bb0)与圆C2:x2y2b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A,1) B,C,1) D,1)答案C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB最小,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需APB90,即APO45.sinsin45,解得a22c2,e2.即e.而0e1,eb0)e,.根据ABF2的周长为16得4a16,因此a4,b2,所以椭圆方程为1.12椭圆1上一点P到左焦点F的距离为6,若点M满足(),则|_.答案2解析设右焦点为F,由()知M为线段PF中点,|(106)2.13已知动点P(x,y)在椭圆1上,若点A坐标为(3,0),|1,且0,则|的最小值是_答案解析0,.|2|2|2|21.椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|min2,|min.14已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆1上一动点,则|MA|MB|的最大值为_答案102解析显然A是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A1(4,0),连接BA1并延长交椭圆于M1,则M1是使|MA|MB|取得最大值的点事实上,对于椭圆上的任意点M有:|MA|MB|2a|MA1|MB|2a|A1B|(当M1与M重合时取等号),|MA|MB|的最大值为2a|A1B|25102.15.如右图,已知椭圆1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且2,求椭圆的方程答案(1)(2)1解析(1)若F1AB90,则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|,即bc.所以ac,e.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由2,解得x,y.代入1,得1.即1,解得a23.所以椭圆方程为1.16(2014新课标全国)设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|5|F1N|,求a,b.答案(1)(2)a7,b2思路本题主要考查椭圆的方程与基本量,考查椭圆的几何性质与离心率的计算,考查直线与椭圆的位置关系,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力(1)将M,F1的坐标都用椭圆的基本量a,b,c表示,由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然后由b2a2c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到离心率e的二次方程,由此解出离心率若能抓住MF1F2是“焦点三角形”,则可利用MF1F2的三边比值快速求解,有:|F1F2|2c,|MF2|2cc,则|MF1|c,由此可得离心率e.(2)利用“MF2y轴”及“截距为2”,可得yM4,此为一个方程;再转化条件“|MN|5|F1N|”为向量形式,可得到N的坐标,代入椭圆得到第二个方程两方程联立可解得a,b的值解析(1)根据c及题设知M,2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4,即b24a.由|MN|5|F1N|,得|DF1|2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0)的焦点分别为F1,F2,b4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为()A10 B12C16 D20答案D解析如图,由椭圆的定义知ABF2的周长为4a,又e,即ca,a2c2a2b216.a5,ABF2的周长为20.2椭圆1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c.若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案A解析由d1d22a4c,e.3设e是椭圆1的离心率,且e(,1),则实数k的取值范围是()A(0,3) B(3,)C(0,3)(,) D(0,2)答案C解析当k4时,c,由条件知;当0k4时,c,由条件知1,解得0k3,综上知选C.4已知点M(,0),椭圆y21与直线yk(x)交于点A,B,则ABM的周长为_答案8解析直线yk(x)过定点N(,0),而M,N恰为椭圆y21的两个焦点,由椭圆定义知ABM的周长为4a428.5已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(2,0),且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围答案(1)1(2)1m4解析(1)由题意知解之得椭圆方程为1.(2)设P(x0,y0),且1,|2(x0m)2yx2mx0m212(1)x2mx0m212(x04m)23m212(4x04)|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为4m.由题意知,当x04时,|2最小,4m4,m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,1m4.
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