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第第6464讲讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布知识梳理第第6464讲讲 离散型随机变量的均值与方差的概念离散型随机变量的均值与方差的概念x1x2xixnPp1p2pipn1离散型随机变量的均值与方差的概念离散型随机变量的均值与方差的概念若离散型随机变量若离散型随机变量的分布列为的分布列为(1)期望：称期望：称E_为随机随机变量变量的均值或的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的，它反映了离散型随机变量取值的_(2)方差：称方差：称D_为随机变量为随机变量的方差，它刻画了的方差，它刻画了随机变量随机变量与其均值与其均值E的的_，其算术平方根为随机，其算术平方根为随机变量变量的标准差的标准差x1p1x2p2xipixnpn数学期望数学期望平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度第第6464讲讲 知识梳理知识梳理第第6464讲讲 知识梳理知识梳理5正态曲线的特点正态曲线的特点(1)曲线位于曲线位于x轴上方，轴上方，_；(2)曲线是单峰的，它关于曲线是单峰的，它关于_；(3)曲线在曲线在x处达到峰值处达到峰值_；(4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为_；(5)当当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定，曲线随着确定，曲线随着的变化而沿的变化而沿_平移；平移；(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由_确定，确定，越小，曲线越越小，曲线越“瘦瘦高高”，表示总体的分布越，表示总体的分布越_；越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越表示总体的分布越_与与x轴不相交轴不相交直线直线x对称对称1x轴轴集中集中分散分散63原则原则(1)3原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量的随机变量X只取只取_之间的值，并简称之为之间的值，并简称之为3原则原则(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：若若XN(，2)，则有，则有P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974.(3)正态总体在正态总体在(3，3)外取值的概率：外取值的概率：正态总体几乎总取值于区间正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以之内，而在此区间以外取值的概率只有外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生能发生第第6464讲讲 知识梳理知识梳理(3，3)要点探究 探究点探究点1求离散型随机变量的期望与方差求离散型随机变量的期望与方差第第6464讲讲 要点探究要点探究例例1 2010青岛模拟青岛模拟 某中学选派某中学选派40名同学参加上海世博会青名同学参加上海世博会青年志愿者服务队年志愿者服务队(简称简称“青志队青志队”)，他们参加活动的次数统计如表，他们参加活动的次数统计如表所示所示活动次数活动次数123参加人数参加人数51520(1)从从“青志队青志队”中任意选中任意选3名学生，求这名学生，求这3名同学中至少有名同学中至少有2名名同学参加活动次数恰好相等的概率；同学参加活动次数恰好相等的概率；(2)从从“青志队青志队”中任选两名学生，用中任选两名学生，用表示这两人参加活动次表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望的分布列及数学期望E.第第6464讲讲 要点探究要点探究第第6464讲讲 要点探究要点探究第第6464讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点2期望与方差的应用期望与方差的应用第第6464讲讲 要点探究要点探究例例3 某公司要将一批海鲜用汽车运往某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，将多万元，每提前一天送到，将多获得获得1万元，每迟到一天送到，将少获得万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示第第6464讲讲 要点探究要点探究(1)记汽车走公路记汽车走公路1时公司获得的毛利润为时公司获得的毛利润为(万元万元)，求，求的分布的分布列和数学期望列和数学期望E；(2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？获得的毛利润更多？第第6464讲讲 要点探究要点探究第第6363讲讲 要点探究要点探究第第6363讲讲 要点探究要点探究第第6464讲讲 要点探究要点探究点评点评求数学期望，首先要求出随机变量的分布列，求分求数学期望，首先要求出随机变量的分布列，求分布列的关键是正确求出随机变量可以取哪些值，并计算出随机布列的关键是正确求出随机变量可以取哪些值，并计算出随机变量取每个值对应的概率；概率计算的关键是理清事件的关系，变量取每个值对应的概率；概率计算的关键是理清事件的关系，正确转化为和事件、积事件或古典概型求数学期望或方差要正确转化为和事件、积事件或古典概型求数学期望或方差要注意观察随机变量的概率分布特征，若是二项分布，用二项分注意观察随机变量的概率分布特征，若是二项分布，用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单布的期望与方差公式计算，则更为简单第第6464讲讲 要点探究要点探究 2010深圳模拟深圳模拟 上海世博会深圳馆上海世博会深圳馆1号作品号作品大芬丽莎大芬丽莎是由大芬村是由大芬村507名画师集体创作的名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画幅油画组合而成的世界名画蒙娜丽莎蒙娜丽莎，因其诞生于大芬村，因此被命名为，因其诞生于大芬村，因此被命名为大芬丽大芬丽莎莎某部门从参加创作的某部门从参加创作的507名画师中随机抽出名画师中随机抽出100名画师，测得名画师，测得画师的年龄情况如下表所示画师的年龄情况如下表所示分组(单位：岁)频数频率20,25)50.05025,30)0.20030,35)3535,40)300.30040.45)100.100合计1001.00第第6464讲讲 要点探究要点探究(1)频率分布表中的、位置应填什么数据？并补全频率分布频率分布表中的、位置应填什么数据？并补全频率分布直方图直方图(如图如图K641)，再根据频率分布直方图估计这，再根据频率分布直方图估计这507个画师中个画师中年龄在年龄在30,35)岁的人数岁的人数(结果取整数结果取整数)；(2)在抽出的在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工名画师担任解说员工作，记这作，记这2名画师中名画师中“年龄低于年龄低于30岁岁”的人数为的人数为，求，求的分布列及的分布列及数学期望数学期望第第6464讲讲 要点探究要点探究第第6464讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点3正态分布正态分布第第6464讲讲 要点探究要点探究第第6464讲讲 要点探究要点探究规律总结第第6464讲讲 规律总结规律总结1 1求期望、方差的基本方法求期望、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义按定义(公式公式)求解；求解；(2)已知随机变量已知随机变量的期望、方差，求的期望、方差，求的线性函数的线性函数ab的期的期望、方差和标准差，可直接用望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；的期望、方差的性质求解；(3)如能分析出所给的随机变量是服从常用的分布如能分析出所给的随机变量是服从常用的分布(如两点分布、如两点分布、二项分布等二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解，在没有准，可直接利用它们的期望、方差公式求解，在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式确判断概率分布模型之前不能乱套公式第第6464讲讲 规律总结规律总结2期望、方差的应用期望、方差的应用对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差，再分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差，再根据求得的数值先比较期望，期望相同或相差无几的条件下，根据求得的数值先比较期望，期望相同或相差无几的条件下，再比较方差，作出结论再比较方差，作出结论3正态分布中的概率计算的常用方法正态分布中的概率计算的常用方法一是利用正态曲线的对称性求解；二是利用一是利用正态曲线的对称性求解；二是利用3原则，将随原则，将随机变量的取值转化到三个特殊区间中机变量的取值转化到三个特殊区间中
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