2018年河南省南阳市高中三年级期终质量评估数学（理）试题（解析版）

2018届河南省南阳市高中三年级期终质量评估数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知：如图，集合为全集，则图中阴影部分表示的集合是A. U B. U C. U D. U【答案】C【解析】因为，所以图中阴影部分表示的集合是 U，选C.2. 已知是关于的方程 （）的一个根，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程两根， ，选A.3. 已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线的方程是：，所以设双曲线的方程 因为过点，所以 ，选D.4. 已知：，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 因此 ，选B.5. 已知各项均为正数的等比数列，若，则=_A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，其中，则，故，由可得，故,选B.6. 已知：，则目标函数A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C【解析】如图：,显然过C点，无最小值，选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 设，、，且，则下列结论必成立的是A. B. +0 C. D. 【答案】D【解析】，故是偶函数，而当时，即在是单调增加的.由，可得，即有，即，选D.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积=A. B. C. D. 【答案】B【解析】该多面体如图示，外接球的半径为,为外接圆的半径，故，选B.9. 执行如图的程序框图，若输出的值是，则的值可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】，；，；，；，；，故必为的整数倍.选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：作一个正方形；以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；以为圆心，以长为半径作；以为圆心，以长为半径作交于，则为黄金三角形。根据上述作法，可以求出A. B. C. D. 【答案】B11. 已知抛物线：（），过其焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】，即，不妨设，则，即有，又因为，故：，选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12. 已知：，若方程有唯一的实数解，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】将方程整理得，设，则由题意，直线是函数的一条切线，不妨设切点为，则有：，解之得：，,选B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：13. _（小数点后保留三位小数）。【答案】【解析】14. 已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角的大小是_.【答案】120【解析】由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)c，cos，其中为ab与c的夹角，60.aba，ab与a方向相反，a与c的夹角为120.15. 已知：，则的取值范围是_【答案】. . . . . .故，.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.16. 在四边形中，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=_.【答案】1【解析】的外接圆恰好过AD,CD中点E,F，所以公共弦长 三、解答题：17. 已知数列的前项和为，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系，得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果（2）因为 ，所以利用分组求和法求偶数项的和，再根据奇数项与偶数项关系得奇数项的和，最后根据规律合并，得数列的前项和试题解析：解：（1）当时，解得当时，两式相减得，化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得 （2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，所以数列的前项和点睛：本题采用分组转化法求和，当项数为偶数时将原数列转化为一个等差数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）18. 如图1，在平行四边形中，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿 折起如图2所示，连接、（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取的中点，计算可得，即得平面，从而可证（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，根据向量数量积得两个法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果试题解析：证明：（1）取的中点，连接，在平行四边形中，、分别为、的中点，为正三角形，则，又，平面， 平面； ，、分别为、的中点， ，则，则三角形为直角三角形，则， 以为原点，以，为轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，0），C1（1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，），=（1，0，），设平面AB1C的法向量为，则， 令，则， 则，设平面A1B1A的法向量为，则，令，则，即， 则 二面角的正弦值是.19. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望【答案】(1) 丙(2) 【解析】试题分析：（1）运用相关系数进行判别推理；（2）运用贝努力分布的几何分布求解期望.试题解析：（1）因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.（）由题意可知，于是，（）由题意可知的分布列为故.考点：线性相关系数及数学期望等知识的综合运用20. 平面直角坐标系中，已知椭圆 （）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、求证：；求面积的最大值【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析：（）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由结合（）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问题得证；（ii）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解试题解析：解：（1）， 又，所以所以椭圆的标准方程为（2）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得，则，所以，即（ii）当且仅当，即（此时适合0的条件）取得等号三角形面积的最大值是方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，设，联立，整理得，则，所以，即（ii）点到直线的距离为，=令，则，当且仅当，即（此时适合0的条件）时，即三角形面积的最大值是考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可21. 已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直（1）求；（2）求证：当时，【答案】(1) ，；(2)见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据切线与直线垂直得，根据，解方程组可得；（2）将不等式化为两个函数大小比较:， ,利用导数求两个函数取值范围,根据范围可证不等式试题解析：（1）因为，故，故；依题意，；又，故，故，联立解得，； （2）由（1）得，要证，即证；令， 令， ，故， 在上单调增加，在单调减少。而，当时，当时，故当时，； 而当时，故函数所以，当时，即.22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程（2）将直线的参数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果解析：(1)(2)证明：把得证。23. 已知，函数的最小值为（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立【答案】(1)2(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得,即得的值（2）因式分解可由得,同理可得,若同时成立则有,与(1)矛盾,即证试题解析：（1），由题设条件知， 证明：（2），而，故.假设与同时成立即与同时成立,，则，这与矛盾，从而与不可能同时成立点睛：形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.14第页