第十八章勾股定理课堂课后练习(全面版)资料

第十八章勾股定理课堂课后练习（全面版）资料第十八章勾股定理3.在 ABC 中，/ BAC=120 , AB=AC= 10. 3cm,勾股定理（-一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当 P点18. 1一）移动多少秒时，PA与腰垂直。课堂练习1 .勾股定理的具体内容是:o2 .如图，直角 ABC的主要性质是：/ C=90 ,（用 几何语言表示）两锐角之间的关系： ;若D为斜边中点，则斜边中线 ;若/ B=30 ,贝U / B 的对边和斜三边之间的关系： 4. 已知：如图，在 ABC中，AB=AC , D在CB的 延长线上。求证： AD 2- AB 2=BD CD若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。AzADBC3. ABC的三边 a、b、c,若满足 b2= a2+ c2,则=90;若满足b2 c2 + a2,则/ B是角；若满足b2v c2+ a2,则/ B是角。4. 根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1. 已知在 Rt ABC 中，/ B=90 , a、b、c 是厶 ABC 的三边，则c=。（已知a、b,求 c） a=。（已知b、c,求 a） b=。（已知a、c,求 b）2. 如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c,有a v bv c,试根据表中已有数的规律，写出当 a=19时，b, c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。3、4、532+42=525、12、1352+122=1327、 24、 2572+242=2529、 40、 4192+402=41219, b、 c192+b2=c218. 1勾股定理（二）课堂练习1填空题在 Rt ABC，/ C=90 ,a=8 ,b=15,则 c=。在 Rt ABC , / B=90 , a=3, b=4 ,贝U c=。在 RtA ABC，/ C=90 , c=10, a： b=3: 4，则 a=, b=。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的 三边长分另寸为。已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,贝H第三边长为 。已知等边三角形的边长为2cm ,则它的高 为，面积为。2. 已知：如图，在厶ABC中，/ C=60 , AB= 4 3 ,AC=4 , AD是BC边上的高，求 BC的长。3已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。七、课后练习七、课后练习1 填空题在 RtA ABC，/ C=90 ,如果a=7, c=25，则b=。如果/ A=30 ，a=4,则 b=。如果/ A=45 , a=3,则 c=。如果 c=10, a-b=2，贝U b=。如果a、b、c是连续整数，则 a+b+c=。如果 b=8, a： c=3: 5，贝U c=。2. 已知：如图，四边形ABCD中，AD / BC , AD丄DC , AB 丄 AC，/ B=60 , CD=1cm，求 BC 的长。1 .如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点, 在江对岸取一点 A，使AC垂直江岸，测得 BC=50米， / B=60。，则江面的宽度为 。2 有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖 去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。3. 根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、 Q两点，PQ=16厘米，且 RPL PQ贝U RQ 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24米， / B= / C=30 , E、F分别为 BD、CD中点，试求 B、 C两点之间的距离，钢索 AB和AE的长度。（精确到1米）4题图七、课后练习1. 在 Rt ABC 中，Z C=90 , CD 丄BC 于 D, Z18. 1勾股定理（三）课堂练习1 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地 面的高度是米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4、3米,则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。2题图3 如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝 固定，两个固定点之间的距离是 。4. 如图，原计划从 A地经C地到B地修建一条高速 公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修 建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长为 2公里，隧道造价为 500万元，AC=80公里，BC=60公 里，则改建后可省工程费用是多少？18. 1勾股定理（四）、课堂练习1 . ABC 中,AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,则BC=, SA ABC =。2. ABC 中，若/ A=2 / B=3 / C, AC= 2. 3 cm，则Z A=度，Z B=度，Z C=度，BC=, SABC =。3. ABC 中，Z C=90 , AB=4 , BC= 2 3 , CD 丄AB 于 D，贝H AC=, CD=,BD=, AD=,SAabc=。4. 已知：如图， ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17 ,求 Sa ABC。A=60 , CD= 3 , AB=。2. 在 Rt ABC 中，/ C=90, Ssbc=30, c=13，且 av b,贝U a=, b=。3 .已知：如图，在 ABC 中，/ B=30 , / C=45 ,AC= 2 2，求(1) AB 的长；(2) 0 abc。4在数轴上画出表示5, 25的点。18. 2勾股定理的逆定理(一)、课堂练习1 .判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边 的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是30,那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和 等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。厶ABC的三边之比是 1: 1:2，则 ABC 是直角三角形。2. A ABC中/A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列命题中的假命题是()A .如果/ CZ B= / A，则 ABC 是直角三角 形。B .如果c2= b2a2，则 ABC是直角三角形，且Z C=90 。C.如果(c+ a) (c a) =b2，则 ABC是直角三 角形。D .如果Z A : Z B : Z C=5 : 2: 3，则 ABC 是 直角三角形。3. 下列四条线段不能组成直角三角形的是()A. a=8, b=15, c=17B. a=9, b=12, c=15C. a=，5 , b= 3 , c= - 2D. a: b: c=2: 3: 44. 已知：在 ABC中，Z A、Z B、Z C的对边分别 是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是直角 三角形？并指出那一个角是直角？ a= . 3 , b= 2 2 , c= . 5 ; a=5, b=7, c=9; a=2, b= . 3 , c= . 7 ; a=5, b= 2 6 , c=1。七、课后练习，1 .叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果a3 0，那么a2 0;如果三角形有一个角小于90,那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2 .填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理在 ABC 中，若a2=b2 c2 ,则 ABC 是 三角形，是直角；若 a2 v b2 c2,则Z B 是。若在 ABC 中，a=m2 n2, b=2mn, c= m2+ n2, 则厶ABC是三角形。1113. 若三角形的三边是 1、-. 3、2；，一，-；3 4 532, 42, 52 9, 40, 41； (5)( m+ n) 2 1, 2 (m + n), (m + n) 2 + 1;则构成的是直角三角形的有 ()A. 2 个 B. 3个C. 4个D. 5个4. 已知：在 ABC中，Z A、Z B、Z C的对边分 别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是直 角三角形？并指出那一个角是直角？ a=9, b=41 , c=40; a=15, b=16, c=6; a=2, b= 2 3 , c=4 a=5k, b=12k, c=13k (k 0)。18. 2勾股定理的逆定理(二)课堂练习1 .小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m ,再走100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走 60m的方向是。2 .如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿， 早晨测得它的影长为 4米，中午测得它的影长为 1米， 则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3 .如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国 海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13海里的A、B两个基地前去拦截，六分 钟后同时到达 C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120海里，乙巡逻艇每小 时航行50海里，航向为北偏西 40,问：甲巡逻艇的 航向？2. 若厶 ABC 的三边 a、b、c,满足 a： b: c=1 : 1 ： 2 ,试判断 ABC的形状。3 133. 已知：如图，四边形 ABCD ,AB=1 ,BC= ,CD=,4 4AD=3，且AB丄BC。求：四边形 ABCD的面积。七、课后练习1. 一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为。2. 一根12米的电线杆 AB，用铁丝AC、AD固定， 现已知用去铁丝 AC=15米，AD=13米，又测得地面上 B、 C两点之间距离是 9米，B、D两点之间距离是 5米，则 电线杆和地面是否垂直，为什么？4. 已知：在厶 ABC 中，/ ACB=90 , CD 丄 AB 于 D , 且 CD2=AD BD。求证： ABC中是直角三角形。七、课后练习，1 . 若 ABC 的三边 a、 b、 c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求 ABC 的面积。3. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种 了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计 算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13 米，DA=12 米，又已知/ B=90 。2. 在厶 ABC 中，AB=13cm , AC=24cm ,中线 BD=5cm。 求证： ABC是等腰三角形。E18. 2勾股定理的逆定理（三）、课堂练习1. 若 ABC 的三边 a、b、c,满足（a- b） （a2+ b2 c2） =0,则厶 ABC 是（ ）A 等腰三角形；B .直角三角形；C .等腰三角形或直角三角形；D 等腰直角三角形。3. 已知：如图，/仁/2, AD=AE , D为BC上一点， 且 BD=DC , AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。4 .已知 ABC的三边为a、b、c,且 a+b=4, ab=1, c= 14 ,试判定 ABC的形状。则 S,、S2、S3的关系是（A)(A) S1S2S3(B)S12S22S32(C) S1S23(D)S2S34、若厶 ABC 中，AB=13,AC=15,高 AD=12 ,则BC的长是（C)D )S3 ,第3题图）第十八章勾股定理单元测试题（时间：45分钟总分：100分）班级:姓名:一、选择题（每小题4分，共32分，答案填写到表格里，题目中选答无效）1. 在 Rt ABC 中，/ B = 90, a= 6, b = 8,贝U c 的长为（C ）.A. 4 7 B. 10 C. 2 7 D. 2 2在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（A、a=9b=41 c=40B、a=b=5 c=5 2C、a： b: c=3: 4: 5D、a=11 b=12 c=153、如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S、S2、A.14B.4C.14或4D.以上都不是5、点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（ C）(A)40 cm ( B)20 2 cm (C)20 cm ( D) 10 2 cm6、 一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为( c :(A)4(B)8(C)10(D)127、若等边 ABC的边长为2cm那么 ABC的面积为( A ).(A) J3cnf( B) 2 J3 cm2 ( C) 3 cm( D) 4cm28、在厶 ABC中,AB=12cm BC=16cm, AC=20cm,则厶ABC的面积是（A2(A) 96cm (B) 120cm(C) 160cm(D) 200cm、填空题（每小题5分，共35分）1、 等腰 ABC的底边BC为16,底边上的高 AD为6，则腰长AB的长为_10。2、 若正方形的面积为 18cm2，则正方形对角线长为 6cm。V3，如右图，一个无盖的纸盒，底面是面积为100c/的正方形，高是15cm.小丽将一小木棒如图 11放置,量得露出纸盒外面部分长是2cm.小木棒总长度为22.6CM.（精确到0.1cm）:4已知直角三角形的周长是30,斜边长是13,求它的面积为 _30。/；00兼5、在厶 ABC中，/ C=90,若 AB= 5,贝U AB2 + AC2+BC2=506、 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是：_ （答案不惟一）它是假 （填入“真”或“假”）命题。7、 一个直角三角形的两边长分别为6cm和8cm,则第三边的长为 _ 10CM或者7 CM。 三、解答题B、 C的对边（如1、（ 9 分）在 Rt ABC 中，/ C= 90 , a、b、c 分别表示 A、图）。已知c= 25,b= 15,求a。20已知 a= y6，/ A= 60，求 b、c。, 2寸221、（12分）如图所示，矩形纸片ABCD中，把矩形沿 BD折叠，与AD相交于点E,已25知：BC=8 , BE= 。求 AB6CM423、（12分）如图所示，在四边形B 90，求 DAB的度数。ABCD中，已知:135AB : BC : CD : DA第十八章勾股定理测试题满分:100分，姓名：班级：学号一、精心选一选（每小题4分,共40分1. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（A.5, 12, 13 B.4, 5, 7 C.2, 3, 5D. 1,2, 32. 有五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，其 中正确的摆放是（7242520715202415252024(AJn(B(CA点爬行到M点的最短距离c分别是/ A、/ B、/7. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为 M , 只蚂蚁从为（A. B. C.5 D.2+58. 若三角形 ABC 中，/ A ：/ B ：/ C=2 : 1 : 1,a、 bC的对边，则下列等式中，成立的是（BBACABC-2 -第14题图20(第15题图A. 222c b a =+ B.222c a = C.222a c = D.222b c = 9. 在厶 ABC 中,/ C=90。，如果 AB=10,BC : AC=3 : 4,则BC=( A.6 B.8 C.10 D、以上都不对 10.将一根长 24厘米的筷子，置于底面 直径为6厘米,高为10厘米的圆柱形水杯中，则 筷子露在杯子外面的长度至少为(C厘米A.14 B.16 C.24 - D.24+二、细心填一填(每空3分，满分18分11. 有一个三角形的两条边长分别为3、 4,要使三角形为直角三角形，则 第三边为.12. 等边三角形的边长为6,则它的高是.13. 命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等”，它的逆命题是 . 14.女口 图, 校园内有一块长方形花圃，为了从A走到B ,有极少数同学为了避开拐角而走捷 径”，在花圃内走出了一条 路” AB ,他们仅仅少走了 m的路，去卩踩伤了花草.这种不文明现象应纠正哦.15. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，81、 400分别为所在正方形的面积，则图中字母A16. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 20dm、3dm、2dm , A和B 是 这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台 阶面 爬到B点最短路程是 dm;三、耐心做一做:(本大题共4题，共42分17.(10分 在数轴上作出表示 29的点.18. (10分 如图，一艘帆船由于风向的原因，先向正东方航行了160千米 撚后向正北方航行了 120千米,这时它离出发点有多远 ？19. (10分 如图一梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B与墙角C 的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端 A下落了多少米？A BECD第19题第17题图x20. (12分已知：如图，直线y =kx+b与双曲线 y =3在第一象限内相交于点M(1, a和N(3,b,与x轴和y轴分别相交与点 A和B , 0C丄AB，垂足为C.求线段 AB的长 度;求0C的长.T7啟1加0第20题答案13.到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；14.2; 15.481; 16.25.17. 略; 18.407 千米;19.0. 5 米;20.a=3, b=1,直线:y =-x+4, A (4, 0 , B (0, 4 AB=42; OC=22。第十八章勾股定理18.1勾股定理第一课时勾股定理（一）一、回眸历史，感悟辉煌【显示投影片1】内容1：公元前572前492年，古希腊著名的哲学家、 数学家、？天文学家毕达哥拉斯, 他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关 系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a）, ?你能发现什么呢？（图片见课本图 P72）.Bit 令令令笔套 0箋Ii 歹企11但是等腰直角三角形是一种特(0 13. 1-2)【活动方略】教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片,发现问题.学生活动：观察、听取老师的讲述，从中发现图片a?中含有许多大大小小的等腰直角三角形.内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现.教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18. 1-1中的等腰直角三角形有什么性 质吗？学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18. 1-1右边的三个正方形Si=Sn , Sm =Si+Sn , ?即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.教师小结：从图18-1-1 ,我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系： 斜边的平方等于两直角边的平方和.教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质， 殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢?请同学们观察图18. 1-2 ,设定每个小方格的面积均为1, （ 1） ?分别计算图中正方形 A B、C A、B、C的 面积；（2 ）观察其中的规律，你能得出什么结论？ ？与同伴 交流.学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看 法.思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积， 等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面积.【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代 文明的成就.在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐 藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲.二、合作探究，体验发现【问题牵引】猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.（命题1） 教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本 P74图18. 1-3 ）, ?解释“命读理解” 阅读与填空：（显示投影片3） 全世界许多的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法.下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330前275年）给出的证明.为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空.为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析：图中的四边形 BHJC是正方形，作 HMLAB,交AB的延长线于 M,在厶BHM中,/ BC=BH / CBK玄 （填/ BHN , / CKB玄 BMHCBKA BHM（）（填 AAS）. ? BK=HM现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的.这位几何大师的出发点， 与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的 （填：正方形的面积）从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”，分别以Rt ABC的三边为边向三角形外作正方形（如图）欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的E LD位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向 BD移动时， 一定有一个时刻，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b.上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大概是 注意到了图形中一个极为特殊的点一一点C,决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线.于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点C作CL丄ED,交AB于K,交ED于L.下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继 续进行探索的结晶.连结CH AH KD,则由/ ACB=90及四边形 CBHJ 知AC/ BH点A?与点C?到直线BH的距离（填：相等），又因为 ABH与 CBH有公共边（填BH ,所以Smbh=&cbh（）（填：等底等高面积相等）；再把 ABH看作是以AB?为底的三角形，则其高为 （填HM,由于 AB=（填 BD） , HM=?（填：BK）,所以，Saabh=Sbdk （）（等1 21底等高面积相等），.S BDF&CBH （） （ ?填：等量代换）而 SCBHF a , SBDK= S 矩形 DBKL,2 22 2 a =S 矩形DBKL 同理可证，b=S 矩形aelK.把相加，就得到a2+b2=S 学生活动：阅读填空，从中吸引勾股定理的证明方法，加深对勾股定理的领悟.【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分 析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明， 再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理 解勾股定理的目的.三、联系实际，应用所学 【显示投影片4】问题探究1 : 一个门框的尺寸如课本图形18. 1-4所示，一块长3m宽2.2m?的薄木板能否从门框内通过？为什么？思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无 法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度.只要测出AC或BD,与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过.【活动方略】教师活动：拿出教具：如图18. 1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考.学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5,AC= 5 - 2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！ 问题探究2:如图18. 1-5，一个3cm长的梯子，AB斜靠在一竖直的墙 A0上，这时A0的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也 外移0.5m吗？思路点拨：从BD=0D-0可以看出，必需先求 OB OD因此，？可以通过勾股定理在 Rt AOB Rt COD 中求出OB和OD最后将BD求出.【活动方略】 教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观 察、应用勾股定理，提问个别学生.学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt AOBRt COD以此为基础应用勾股定理求得OB和OD【课堂演练】 演练题：在 Rt ABC中，已知两直角边 a与b的 和为pcm,斜边长为qcm,求这个三角形的面积.1思路点拨：因为 Rt的面积等于 丄ab,所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p, c=q ,2?联想勾股定理a2+b2=c2,将几何问题转化为代数问题.由a+b=p, a2+b2=q2求出ab.教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形.学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示.解：a+b=p， c=q，a2+b2=q2 (勾股定理)2 2 2 2.a +2ab+b = (a+b) =p，2 2.2ab=p -q2 2 2(p -q ) cm1 1RtAABC= ab=2 4再通过设置的演练题来灵活【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理, 学生的思维.四、随堂练习，巩固深化.课本P76“练习” 1, 2.【探研时空】(1) 若已知 ABC的两边分别为3和4,你能求出第三边吗？为什么？(2) 如图，已知：在厶ABC / A=90 , D、E分别在 AB AC上，你能探究出 cD+bEbC+dE吗？(提示：bW+cD=aD+aC+aB+aE=五、课堂总结，发展潜能1 .勾股定理：Rt ABC中，/ C=90, a2+b2=c2.2 .勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，？已知任意两边的长都可以求出第三边的长.六、布置作业，专题突破1 .课本 P77 习题 18. 1 1 , 2, 3, 4, 5.2 选用课时作业优化设计七、课后反思第一课时作业优化设计【驻足“双基”】1 .在 Rt ABC中，/ C=90, BC=12cm SAABC=30cmf，贝U AB=2 .等腰 ABC的腰长AB=?10cm?底BC?为16cm?则底边上的高为 ,?面积为.3 .一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.4 . ABC中，/ ACB=90 , AC=12 BC=5 M, N在 AB上，且 AM=AC BN=BC 贝U MN的 长为（?）.A . 2 B . 26 C . 3 D . 45 .等腰三角形腰长32cm, ?顶角的大小的一个底角的 4?倍，？求这个三角形的面积 .【提升“学力”】6.某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC跨度AB=24m上弦AC=13m求中柱CD. （ D为底AB的中点）7.如图，折叠长方形的一边 求EC的长.【聚焦“中考”】8. （1994年天津市中考题）如图，在BD=AD=10 / ADC=60，求 ABC面积.Rt ABC中，/ C=90, D是 BC边上一点，？且AD,点D落在BC上的点F处，已知 AB=8cm BC=?10cm第一课时作业优化设计（答案）1. 13cm 2 . 6cm； 48cm2 3 .6、8、10 4 . D 5 . 256、. 3 6 . 5cm 7 . 3; 8 . 7532第二课时勾股定理(二)一、回顾交流，小测评估【课堂小测题】(投影显示)1 填空题(1) 等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是 (?填：2 77)(2) 在 Rt ABC中，/ C=90,若 a=b=2cmm Saab(= (填：2cm)2 选择题(1) 在厶 ABC中，/ C=90,Z A=Z B,贝U BC: AC: AB= (A) A 1： 1 :2 B 1: 1: 2 C 1: 1: 1 D .以上结论都不对(2) 等边三角形面积为 8cm,它的边长(D) A 2 , 2 cm B 4 . 2 cm C 8 cm D 以上结论都不对【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用学生活动：独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解【设计意图】 采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本 节课解决二、数形结合，应用所学【显示投影片2】问题探究3:大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，？请你在数轴上画出表示 13的点思路点拨：可以利用勾股定理在数轴上作出13的线段，做法如下：(1) ?在数轴上找到一点A,使OA=5 (2)过A作AT垂直于数轴，垂足为 A,在AT上截取AB=12 ( 3) ?连结 OB (4)以0为圆心，0B为半径作弧，弧与数轴的交点 C即为的点.【活动方略】教师活动：操作投影仪，在黑板上演示13的作法.学生活动：在练习本上画图，做出在数轴上表示13的点.教师活动：提出问题.1 请同学们归纳出如何在数轴上画出表示13的点的方法？2 你能在数轴上作出表示.20的点吗？试一试！学生活动：借助课本图 18. 1-7的数字，在数轴上画出.20的点M.【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点.问题探究 4:如图， ABC中，/ B=90, AC=12cm BC=4cm D?在 AC?上 ?且 AD=8cm1E在AB上，且 AED的面积是 ABC面积的，求 AE和DE的长.4思路点拨：求AE的长时，可过 D作DEL AB于F,可2 8求出 DF= BC=3 , ?3 3这样先把AF?求出AF=2 AB623 31 4再由面积公式 Saaecf AE- DF先求出DF=AE,2 3由 SAD= SaaB(=4 J 2 ，求出 AE=3.2 ,4因而! ,?应用勾股定理求DE=3 2 .3?然后请两?踊跃上台教师活动：操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考， 位学生上台演示，纠正.学生活动：小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题, 发言，“板演”.三、随堂练习，巩固深化1 .课本P77“练习” 1, 2.2 .【探研时空】（1）已知，如图：在 ABC 中，/ ACB=90 , CDLAB 于 D点， 求证：abaDcD+beJ.（提示：AE2=ACJ+BC2=AE2+CC）+CD2+BE2=AE2+2CCJ+BE2）（2）有一正方形ABCD也塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出 水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，？向水深和芦苇长各是多少？（提示：设水深 EF=x尺，芦苇EG=（x+1 ）尺，贝U EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建 EFG再应用勾股定理得（x+1） 2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为 13 尺）.四、课堂总结，发展潜能?通过两个“探究”领会勾股定理的（2 ）感受勾股本节课主要学习的内容是：（1）勾股定理的应用，应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等.定理的历史.五、布置作业，专题突破.课本 P78 习题 18. 1 7 , 8, 9, 11, 12, 13.选用课时作业优化设计六、课后反思第二课时作业优化设计【驻足“双基”】1 .请写出满足勾股定理 a2+b2=c2的三组数值 .2 要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m至少需要m长的梯子.3 .一艘轮船以16海里/?时的速度离开 A?港向东南方向航行，？另一艘轮船同时以 12海里/时的速度离开 A港向西南方向航行，经过 1.5小时后它们相距 海里.4 .如图，长方形 ABCD中, 痕EF的长为（）.A. 3.74 B . 3.75AB=3, BC=4若将该矩形折叠，使点 C与点A?重合，？则折C . 3.76 D . 3.772倍，其对角线的长是5 .一个长方形的长是宽的cm C . 2 茜 cm2ABCD中, / BAD=90 , AD=45cm则长方形的长是（）.A . 2.5cm B6.如图，在四边形D .5 cm【提升“学力”】7.已知，如图，2求证：BD+CD=2AD.Rt ABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是 BC?上任意一点,2 2【聚焦“中考”】8 . （2003年贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行到达，至U达后必须立即卸货，此时，接到气 象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：1.4 ,3 1.7 ）2 . 13 3 . 30 4 . B 5 . C 6 . 169 7 .提示: (2) 3.8小时第二课时作业优化设计(答案)1. 3、4、5, 5、12、13, & 15、17过A作AEL BC于E 8 . (1) B处会影响，18.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理(一)一、创设问属情境，引入新课活动1(1)总结直角三角形有哪些性质.设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结， 为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力. 师生行为(2) 个三角形，满足什么条件是直角三角形联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆.能否积极主动地回忆，本活动，教师应重点关注学生：“温故知新”.生：直角三角形有如下性质： 方和等于斜边的平方： (4)在含 半.师生生师总结前面学过的旧知识；能否(1)有一个角是直角；30角的直角三角形中,(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平30 的角所对的直角边是斜边的一那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？有一个内角是 90 ,那么这个三角形就为直角三角形. 如果一个三角形，有两个角的和是90 ，那么这个三角形也是直角三角形.前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a, b斜边c具有一定的数量关系即a2+ b2= c2,我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为 直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做 ？二、讲授新课活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的 13个结,然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直 角.3、4、5.有下面的关系32+ 42 =这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为52” .那么围成的三角形是直角三角形.画画看，如果三角形的三边分别为 2.5cm ,6cm ,6.5cm，有下面的关系，“ 2.52+ 62= 6.52, 画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm .再试一试.设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a, b, c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动.教师参与此活动，并给学生以提示、启发.在本活动中，教师应重点关注学生： 能否积极动手参与.能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论.学生是否有克服困难的勇气.生：我们不难发现上图中，第 (1)个结到第(4)个结是3个单位长度即 AC = 3;同理BC =4, AB = 5.因为32+ 42= 52 .我们围成的三角形是直角三角形.生：如果三角形的三边分别是 2.5cm, 6cm, 6.5cm .我们用尺规作图的方法作此三角形， 经过测量后，发现 6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+ 62= 6.52.再换成三边分别为 4cm, 7.5cm , 8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有 42+ 7.52 = 8.52.是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c5, 12, 13; 7, 24, 25; 8, 15, 17.(1) 这三组效都满足a2+ b2= c2吗？(2) 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件.师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明.本活动教师应重点关注学生：对猜想出的结论是否还有疑虑能否积极主动的操作，并且很有耐心.生：(1)这三组数都满足a2+ b2= c2. (2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形.师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论.命题2如果三角形的三边长 a, b, c满足a2+ b2= c2那么这个三角形是直角三角形. 同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天一一人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般总是成 90 ,怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线 MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或 测绳的0和12尺处，固定在 C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在 MN上定出A点，再由 一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结 BC,就是MN的垂线.374建筑工人用了 3, 4, 5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如 7, 24, 25; 8, 15, 17等.据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.活动4 问题：命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+ b2= c2.命题2如果三角形的三边长分别为 a, b, c,满足a2 + b2= c2那么这个三角形是 直角三角形.它们的题设和结论各有何关系？设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题.教师认真倾听学生的分析.教师在本活动中应重点关注学生；能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系.能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题.生：我们可以看到命题 2与命题1的题设.结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题1当成原命题，那么命题 2是命题1的逆命题.生：我们前面学过平行线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角 相等，两直线平行”是互逆命题.“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题.生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆 命题勾股定理的逆定理（二）一、创设问题情境，引入新课活动1以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 （填序号）,能构成直角三角形的是.3, 4,5 1, 3, 44,4,66,8, 105,7, 213,5,127,25, 24设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件.师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果.在此活动中，教师应重点关注：学生是否熟练地完成填空；学生是否积极主动地完成任务.生：能构成三角形的是：，能构成直角三角形的是；二、讲授新课活动2问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？设计意图：由特例猜想得到的结论， 会让一些同学产生疑虑， 我们的猜想是否正确，必须有 严密的推理证明过程，才能让大家用的放心.通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑 推理能力师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路.本活动中，教师应重点关注学生：能否在教师的引导下，理清思路能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论.师： ABC的三边长a, b, c满足a2 + b2= c2 .如果 ABC是直角三角形，它应与直 角边是a, b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 ABC，使BC = a, AC = b，/ C = 90 （如下图）把画好的厶 ABC剪下，放在 ABC上，它们重合吗？生：我们所画的 Rt ABC , AB = a2 + b2,又因为 c2= a2 + b2,所以 AB 2= c2,即卩 AB =c ABC和厶ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，/C=Z C= 90.A ABC为直角三角形.即命题 2是正确的.师：很好，当我们证明了命题 2是正确的，那么命题就成为一个定理.由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理.师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是 对顶角”不成立.师：你还能举出类似的例子吗 ？生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等.逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等.显示原命题成立，而逆命题不成立.活动3练习：1 .如果三条线段长a, b, c满足a2= c2- b2.这三条线段组成的三角形是不是直角 三角形？为什么？2. 说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗？两条直线平行，内错角相等.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.(3) 全等三角形的对应角相等.在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.设计意图进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力.师生行为：学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导.在此活动中，教师应重点关注学生.学生对勾股定理的逆定理的理解.学生对互为逆命题的掌握情况.学生面对困难，是否有克服困难的勇气.师：我们先来完成练习第 1题.生：a2= c2-b2,移项得a2+ b2= c2,所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形.生：2. (1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立.(2) 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立.(3) 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立.逆命题：至蛹两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立.三、巩固提高活动4例1一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中/A和/DB