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第1讲等差数列、等比数列做小题激活思维1在数列an中，an1an2，a25，则an的前4项和为()A9B22C24D32C依题意得，数列an是公差为2的等差数列，a1a223，因此数列an的前4项和等于43224，选C.2(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22nA设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.3如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7等于()A14B21C28D35Ca3a4a512，3a412，a44.a1a2a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a47a428.4已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于_由3an1an0，a2得an成首项为1，公比q的等比数列，S10.5在等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于_因为a2a8a4a66，又a4a65，联立，解得或(舍)，所以.扣要点查缺补漏1判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an1and，d为常数，则an为等差(比)数列，如T1，T4.(2)中项公式法(3)通项公式法2等差数列的通项公式及前n项和公式(1)ana1(n1)dam(nm)d；(2)Snna1d.如T2.3等比数列的通项公式及前n项和公式(1)ana1qn1amqnm(q0)；(2)Sn如T4.4等差数列与等比数列的性质(1)在等差数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.如T3.(2)若an是等差数列，则也是等差数列(3)在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列(4)在等比数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.如T5.(5)在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列(n为偶数且q1除外).等差(比)数列的基本运算(5年9考)高考解读高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目标，对等差(比)数列的五个基本量的计算进行考查，体现方程思想和转化与化归思想的应用.预测2020年命题风格不变.1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12B设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B.2一题多解(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a1，aa6，则S5_.法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.法二：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.3(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)设Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.教师备选题1(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63D84Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.2(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6Can是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.等差(比)数列基本运算的解题途径(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体代换，以减少运算量提醒：抓住项与项之间的关系及项的“下角标”之间的关系巧用性质解题，可达到事半功倍的效果1(数列与数学文化)中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A174斤B184斤C191斤D201斤B用a1，a2，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，8a117996，解得a165.a865717184.选B.2(基本量的运算)设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若a32，S45S2，则q_.1或2由a32知，若q1，则S48，而5S220，不合题意，所以q1.若q1，则a3a1q2a12，an2(1)n1，此时，S2S40，满足S45S2.当q1时，由a32，S45S2，得a15a1，解得q2或2，满足题意综上，q的值为1或2.3(等差、等比数列的交汇问题)设等比数列an的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a83，则a5的值为_6设等比数列an的公比为q.S3，S9，S6成等差数列，2S9S3S6，且q1.，即2q6q310，q3或q31(舍去)a83，a56.等差(比)数列的性质及应用(5年3考)高考解读高考对该点的考查体现了在知识交汇处命题的思想，即把数列的通项an和前n项和Sn都看作关于“n”的函数，要学会用函数的思想解决此类问题.预测2020年会加大与函数的交汇.1(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.教师备选题1(2013全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_49设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3，(nSn)n2，令(nSn)0，解得n0(舍去)或n.当n时，nSn是单调递增的；当0n时，nSn是单调递减的，故当n7时，nSn取最小值，(nSn)min7349.2(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)an是等差数列，设公差为d，又a110，且a210，a38，a46成等比数列(a38)2(a210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：由a110，d2，得：Sn10n2n211n，n5或n6时，Sn取最小值30.法二：由(1)知，an2n12.所以，当n7时，an0；当n6时，an0.所以，Sn的最小值为S5S630.与数列性质有关问题的求解策略(1)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用1(下角标性质的应用)已知数列an满足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则a1a6()A6B7C8D9B由2anan1an1(n2)可知数列an是等差数列，a2a4a63a412，a1a3a53a39，a33，a44.所以a1a6a3a4437.故选B.2(和的性质的应用)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A40B60C32D50B由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，选B.3(奇数项与偶数项的性质)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有，则()A. B.C. D.A，故选A.等差(比)数列的判断与证明(5年2考)高考解读高考对该点的考查以解答题第(1)问为主，立足双基，主要考查等差(比)数列的证明，其中定义法及等差(比)中项法是解决此类问题的常用方法.预测2020年会加大对数列证明的考查.1(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.2(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得数列a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；数列a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列教师备选题(2014全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.点评重视数列中的证明不等式，特别是不能直接求和时，需先放缩后求和的，放缩通项后转化为公式法求和，裂项求和.,常用放缩：.1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为同一常数；(2)利用等比中项，即证明aan1an1(n2，an0)1(数列与不等式的交汇)数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：.解(1)证明：(用转化法证明)an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以Snn2.证明：1.2重视题(数列与概率的交汇)棋盘上标有第0,1,2，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败集中营)时游戏结束设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1)求P3的值；(2)证明：Pn1Pn(PnPn1)(2n99)；(3)求P99、P100的值解(1)棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此P3.(2)(用构造法证明)易知棋子先跳到第n2站，再掷出反面，其概率为Pn2；棋子先跳到第n1站，再掷出正面，其概率为Pn1，因此有Pn(Pn1Pn2)，即PnPn1(Pn1Pn2)，也即Pn1Pn(PnPn1)(2n99)(3)由(2)知数列PnPn1(n1)是首项为P1P01，公比为的等比数列因此有PnPn1 (P1P0).由此得到P991.由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有P100P98.
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