第六章 不等式习题

资料来源： 第一节：不等式的性质 第二节：算术平均数与几何平均数 第三节：不等式的证明 第四节：不等式的解法举例 第五节：含绝对值的不等式第一节：不等式的性质 1比较两式的大小比较下列各式的大小。（1） 与 （2） 与 （ ）（3） 与 （ ）解法1： 当 时 当 时 当 时 （2） 当 时 当 时 （3） 解法2：（1）、（2）得，现解（3） 注意此题在于巩固读者学过的乘法公式。2判断命题真假的题目例1判断下列命题是否正确，并说明理由。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （ ） 解答：（1）命题成立，可由性质 直接推出。（2）命题不成立，因为 不成立。如 ，显然有 ，但推不出 （3）命题不成立。当 时，有 （4）命题成立。可由性质 （5）命题不成立。其中 ，可由性质直接推出，而 则不成立，例如： 时就不成立。（6）命题不成立，例如 时就不成立。（7）命题成立。由性质 ，可直接证得 ；而由性质 可以证得 （8）命题成立。由性质 可直接证得 点评关于基本性质方面的总量主要有三类：一类是基本性质，包括互逆性和传递性类是与加减运算有关的性质；另一类是与乘、除、乘方、开方运算有关的性质。3求代数式范围的题目设 ，那么 的范围是（）（A） （B） （C） （D） 答案D4考查不等式性质的选择题综合运用不等式的性质，请完成以下题目：（1）若 ，则下列不等关系中不能成立的是（）A B C D （提示： 是一个有用的小结论。）（2）如果 ，那么下列不等式 ； ； ； 其中恒成立的是（）ABCD（3）若 、 是任意实数，且 ，则（）A B C D （4）若 且 ，则下面的不等式中正确的是（）A B C D （5）若 和 是实数， 是有理数，满足下面哪个条件必有 （）A B C D 5应用不等式的性质解题的综合题目题目 设 且 ，比较 与 的大小。分析：待比较两式带有绝对值符号，因此应设法去掉绝对值，才能便于作差或商的变形。解法1：当 时，由 知 ， ，从而 故 解法2：平方作差： 故 解法3：作商比较 ， ，故 由 知 及 ，故 评注：本例含有两个变元 ，乍一看必须要对 进行分类讨论，如解法1；然而再通过多角度审视却回避了讨论，得到了巧妙的解法2与解法3。第二节：算术平均数与几何平均数 第三节：不等式的证明 一、选择题1设 都是正数，且 ，则下列各不等式中恒不成立的是（ ）A B C D 答案：B2若 ， ， ， ，则A B C D 答案：B（提示： ， 又 ，选B）3若 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）A B C D 答案：B（提示： 时，B不成立）二、填空题1若 ，写出 的大小关系 。答案：1 （提示： 又 ， ， ， ， 2若正数 满足 ，则 的取值范围是 。答案：2 （提示： ， ，即 ， ， ， ， ， 三、解答题1用比较法证明（1）若 为不全相等的正数，求证： ；（2） ；（3）若 ，求证： 答案：1（1）左右 （ 且不全相等，故上式中总有一项非零）（2） （ 与 不能同时成立）（3） ， ， ， ， ， 2用综合法证明：若 ，求证： 答案： ， ， ，三式相加得 ， ，即 ， 3用分析法证明：（1）若 ，求证： ；（2）已知 ，求证： （3）若 ，求证： ；（4） 答案：（1）由 ，故只需证明 即 ，展开得 ，即只需证 ，即 ，最后不等式显然成立，故原不等式成立。（2）欲证 （ ） 由于 ，故最后的不等式成立，因而原不等式成立。（3） ，欲证 显然成立，故原不等式成立。（4）注意到 设 则欲证 显然成立，故原不等式成立。第四节：不等式的解法举例 一、选择题1下列各对不等式中同解的是（ ）A 与 B 与 C 与 D 与 2下列不等式中： 和 和 和 和 不等价的是（ ）A B C和 D、和3若不等式 的解集是 ，不等式 的解集是 ，则不等式组 的解集是（ ）A B C D 4若方程 只有正根，则 的取值范围是（ ）A 或 B C D 答案：1D 2B 3A 4B二、填空题不等式 的解集是_. 若 且 ，则不等式 的解集为_. 不等式 的解集是_. 答案： 三、解答题解不等式 . 解不等式 . 解不等式 答案：原方程等价于 或 ，故解集为 ；原方程等价于 ，因为 ，所以 ，得解集 ；原方程等价于 且 ，所以解集为 . 第五节：含绝对值的不等式一、选择题1设实 满足 ，则下列不等式成立的是（ ）A B C D 2若 = 成立， ，则有（ ）A B C D 3已知 ，那么（ ）A B C D 4不等式 成立的充分必要条件是（ ）A 都不为零 B C 为非负数 D 中至少一个不为零答案：1B 2C 3C 4D二、填空题1对于实数 ， 中等号成立的条件是_. 2若 ， ，则 与2的大小关系是_. 3若 ，则 恒为正数的充分必要条件是_. 答案：1 2 3 三、解答题1若 ， ，求证 . 2若 ，求证： 和 中必有一个大于1，而另一个小于1. 3若 ，求证： . 答案：1 2 ，所以 中必有一个大于1，另一个小于1，即 中必有一个大于1，而另一个小于1。3