幂级数的应用

幂级数的应用将函数展开成幕级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幕级数 的前n项部分和是x的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幕级数代 替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。 正是由于这个原因，函数 的幕级数展开式有着应泛的应用。一、函数值的近似计算利用函数的幕级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上, 函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.例1 计算常数e,精确到小数第四位.比xn 利用ex- 心n!，令X =1，有e= 丄 1 1 丄-.n 卫 n!2!3!为达到这个精确度，可观察余项1 n! (n 1)!1仆丄+1n! i n +1 (n +1)(n + 2)1 n!1.J2n n1(n _1)(n _ 1)!1 1若取n =8，则r8- 匚，故计算出7 7!10111e=1 12.7183.2! 3!8!例2 计算5 245精确到小数第四位.12 535 .解因为V245 =243+2 =%35 +2 =3和 +彳=3 1 + 三!113 I ：2 1令尹，得出 !AQAA封245 = 3 1 +1 X 二一 _X 亠 +532!53 丿由于这是一个交错级数，故其误差可利用|rn|：un1确定.取n = 2,这时,故得出I2 | :32352 31012 104f i 2、V245 肚 3 1 + 汉飞 3.0049 .535 .丿例3 计算In 2的值，精确到小数第四位.解 如果利用In(1 x)的展开式：1 1 1 In 2 = 1 n(1 1) =1 -23 4理论上可计算In 2,但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第n 1项的值丄.欲使|rnJ 1二丄，门至少要取9999项，这太麻烦了，需要去 n+1|n+1| 104掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替.234用I r1tx) X+xx +234234减去I n1十 x) = X -xxx .234其差是1 +x/3 x5 xIn =2x +1 -x35令=二2，解出xE代入上式，得In 2 =2 131 1+x2n -12n -13其误差rn(x)二 22n +1 3+ - +222n 3 32n 3L 2(2n 1)32n 11#丄342(2n 1)32n14(2 n 1)32nI I 11 .丄|r437 二 78732 岂而故得出In 2 =2357：0.6931.V333 3535737丿二、定积分的近似计算利用幕级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幕级数，那么把这个幕级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值.例410匹dx，精确到小数第四位.x解 由于lim 匹 =1，因此所给积分不是广义积分，如果定义皿在x = 0T Xx处的值为1,那么它在积分区间0,1上连续.由于匹的原函数不能用初等函数x表示，因此需要通过幕级数展开式来计算.35利用正弦函数的展开式sinx*,計两边同除以x，得到.24sin x . x x1 -x35!再逐项积分1 1 sin x13xdx 二 dx dx dx -00 3!0 5!-1丄丄3 3!5 5!7 7!这是收敛的交错级数，其误差| rn卜:un 1，取n =3,有r37 7!1沁dx“-丄+丄 0 x3 3!5 5!0.9461 .1 x2edx，精确到小数第三位.解2x易见的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幕级数展开式计例5计算；。算.利用展开式故有旳xnex八一，得en卫n!-2-J(1)nX2n=Ln!2n1 x212dx = J 1 _00 kx2x22 oe 2 dx ：,Jk 0.3412 .2二.6403366x2 3 22!23! 2, 1 =1 - 2 32! 253! 27取前四项的和作为近似值，误差为11 rn 匚 2二 4!24 9 ：盲故得出以上例题说明，幕级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用.对于用幕级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似 求值的思路相似.对于用幕级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函 数不能用初等函数表示时，便显示出幕级数方法的优越性.利用幕级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数 n 这可通过估计余项rn的误差得到：一种方法是将余项式子的各项放大，使之 成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定 n值（如例1，例3），另一种方法 是利用收敛的交错级数的特点：|rn卜:Un1，由此来确定n值（如例2,例4,例 5）.三、欧拉公式最后应用复变量的指数函数的幕级数展开式， 说明数学中重要的欧拉公式的 形成与推导过程.在复变量的理论中，我们定义指数函数e气z为复变量）为23nez=1Z.三.三. .Z_ !；- 1!2!3!n!（|z|： :，即z属于整个复平面） 当z =xi时，上式成为exi才“曲.曲，.K1!2!3!n!注意到 r = _1,i = _i,i4 =1,i5 = i,，从而xi2 x4 x6 、 x3 x5 x7、xe =1 -+十iX-+十2!4!6!丿k3!5!7!丿=cosx i sin x即有exi 二cosx isinx.(1)把上式x换成-x，又有e * = cosx -i sin x .(2)将(1)(2)两式两边相加且同除以2,得xi_xie 亠ecosx(3)2将(1)(2)两式两边相减且同除以2i，得xi-xie -e sin x(4)2i上述的(1)都称为欧拉公式，它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系.在(1)中，取x F，可得1 =0(5)克莱茵(Klein,1849-1925,德国)认为，这是数学中最漂亮的公式之一.有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0，1，i，兀，e用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来，它可以从几种得到解释，如：0:正负数的分界；1:任一自然数与它的后继数之差；i : x20的根，属于代数；二：圆周长与直径之比，属于几何；(1 xne :1+ (nT时的极限，属于分析.I n丿