高等数学教案

普洱市职业教育中心教师备课本科 目： 高 等 数 学 班 级：_任课教师： 周 文 德 日 期：_云南开放大学普洱开放学院 高等数学（上册第一分册）一元函数微积分柳重堪 主编1.函数2.极限与连续3.导数与微分4.导数的应用5.不定积分6.定积分及其应用 初等数学与高等数学的根本区别用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。 关于数学应用的评价“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。华罗庚“数学处于人类智能的中心领域”冯.诺依曼“数学是调节理论和实践、思想和经验之间的差异的工具。它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学”。希尔伯特第1章 函数（教案）第1章 函 数本章教学内容:1.1 实数1.2 函数1.3 初等函数1.4 建立函数关系举例【课题】1.1 实数 1.2 函数【教学目标】（1）理解区间的概念，学会用区间表示不等式的解集；（2）理解函数的概念，学会求函数值和定义域；（3）了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）【教学重点】函数的概念及其性质 【教学难点】函数的概念及其性质【教学设计】（1）本次课内容旨在复习中专数学内容，温故知新，以自主学习为主；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.1实数一、实数 创设情景 兴趣导入人们在幼童时期就学会了数东西，那就是自然数的一种应用，此后，在记账时为了表示收入和支出，需要用到正数和负数；在标明商品价格、测量物体长度和重量时要用到小数或分数；边长为1米的正方形，由勾股定理知其对角线的长为米，这就导致无理数。数的概念的逐步拓展，一方面是出于实践的需要，另一方面也完善了关于数的理论。 实数包括有理数和无理数两大类。1) 有理数是能表示为两个整数相除的形式的数，或者等价地，有理数就是有限小数或无限循环小数。2) 凡是不能表示成两个整数相除的数称为无理数，或者等价地，无理数是无限不循环小数。 在几何上，可以用数轴上的点来表示实数。这样，就可以建立起全体实数和数轴之间一一对应的关系。换句话说，任意给定一个实数，总可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应，反之，在数轴上的每一个点也必定唯一地对应一个实数。二、区间 创设情景 兴趣导入1、问题资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时速旅客列车在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间如何表示列车的运行速度的范围？2、解决不等式：200v3503、区间概念一般地，给定两个数a和b（假定ab），我们把所有大于a且小于b的数的全体记为(a，b)，把所有不小于a且不大于b的数的全体记为a，b，并引入记号“”如下：x(a，b)表示ax9解：|x|9等价于x9或x-9因此x(-,-9)或x(9,+)例3 解不等式|u-2|0.1解：|u-2|0.1等价于-0.1 u-20.1，即1.9 u2.1,因此u(1.9,2.1)思考：| u -a|a，|x|b的不等式和|x-a|0，使得对任一xD，有xTD且下列等式成立：f(xT)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数思考：周期函数的周期唯一吗？4.单调性 如果当任意的x1,x2(a,b)，且x1x2时，恒有f(x1)f(x2),则称函数在(a,b)上单调增加，区间(a,b)称为单调增区间；类似地，如果当任意的x1,x2(a,b)，且x1f(x2), 则称函数在(a,b)上单调减少，区间(a,b)称为单调减区间单调增区间或单调减区间统称为单调区间课堂练习：练习1.2 2小结：1.函数的概念；2.函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性布置作业：练习1.1 5 练习1.2 3、4、5（1）-（4）选做12【课题】1.3 初等函数 1.4 建立函数关系举例【教学目标】1.掌握基本初等函数的图形和性质,培养数形结合的数学思想；2.理解复合函数的概念；3.掌握复合函数的构成过程.【教学重点】复合函数的构成过程 .【教学难点】复合函数的分解【教学设计】（1）实例引入知识，提升学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，培养学生的思维能力；（3）实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】1.3 初等函数一、基本初等函数在初等数学中，我们学习过下列六种函数，它们统称为基本初等函数.1.常值函数 y=c，其定义域为（-，+），图形是一条平行于x轴的直线.2.幂函数 y=x,为常数.思考：当分别等于-1，1/2，1，2，3时的定义域、图形.3.指数函数 y=(a0，a1，a为常数).当a1时是增函数；当0a0，a1，a为常数). 当a1时是增函数；当0a0，总存在自然数N，使得当nN时不等式|xn-a|+时和当x-时函数的极限定义2.2（x-+时的极限）定义2.3（x-时的极限）规定： x从x的左右两侧无限接近于x,记x x x从x的左侧无限接近于x,记x x x从x的右侧无限接近于x,记x x x无限增大时，用记号x + x无限减小时，用记号x 无限增大时，用记号x 二、xx0时函数的极限举例说明：时，函数无限接近于多少？观察：当：x 1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x 1时，g(x)=，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义2.4 如果当x x时,函数无限趋近于一个确定的常数, 则称为函数当 x x时的极限,记作f(x)=A或 (当 x x时).此时也称存在。如果当x x时, 函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在。如 ： ，又如= 2注意 ： f(x)=在x=1处无定义, 但当 x=1时,函数f(x)=无限趋近于一个确定的常数2,所以=2。 1、描述性定义 函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。（1）当x时，函数f(x)的极限此种情况与数列极限类似，不同处在于n-+是整序变量，即n只取1，2，3，等孤立的正整数点变到+，而x-+时，自变量x连续地取实数值变到+，函数f(x)无限接近于一个常数a（2）当xx0时，函数f(x)的极限 当x无限接近于常数x0时，函数f(x)无限接近于常数a结论：函数当 x x时的极限是否存在，与在点处是否有定义无关. 如上举例f(x)=在x=1处无定义, 但 = 2. 2、左右极限 右极限 当x x，有 左极限 当x x，有函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。定理 极限存在的充分必要条件 函数 当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即 注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。三、极限运算法则设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：法则1、f(x)g(x)= f(x) g(x)法则2、f(x)g(x)= f(x)g(x)法则3、=（g(x)0）(1)直接代入求值例1 求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例2 求解：= -例3 求解：=小结：时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）举例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、5、 6、（2）型例4 求解：=课堂小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之课堂练习:P.594、（1）、（3）、（5） 5、(1)、（3）、(5)布置作业：P.59 4、（2）、（4） 5、(2)、（4）、（8)【课题】2.3 两个极限存在定理及其应用 【教学目标】1.了解两个极限存在定理；2.识记两个重要极限，会用两个重要极限求极限.【教学重点】两个重要极限 【教学难点】两个重要极限的应用【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】 创设情景 兴趣导入考察极限观察与思考：当x0时函数的变化趋势x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.当x取正值趋近于0时，1，即=1； 当x取负值趋近于0时，-x0, -x0, sin(-x)0于是 一、夹逼定理两个重要极限：1、=1 （证明略） 特点：它是“”型 （三角形代表同一变量） 思考：吗？例1 求解：=例2 求解：=例3求解：原式=注：1、乘积的极限写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。二、单调数列存在定理定理 单调有界数列一定有极限（证明从略）例4（略）例5 数列的极限观察与思考：当n+时函数的变化趋势n1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3即当n+时， 是趋近于一个确定的无理数e2.718281828.2、可以证明： （2-3-14）若令 （2-3-15）特点：（） ，即1型；（）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数， 公式（2-3-14）和（2-3-15）常用来求1型的幂指函数的极限.例6 求解：令1+，于是=例7 求解：，为了利用公式（2-3-14），令于是=课堂练习：P.69 1、（1）、（3）2、（1）、（2）、（3）课堂小结掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限。布置作业 p.69 1、（4）2、（4）、（5）、（6）【课题】2.4无穷小量与无穷大量 2.5 函数的连续性 【教学目标】1.了解无穷小量的概念、运算及其与无穷大量的关系；2.了解函数连续性的定义；3.了解函数间断点的概念；4.记住初等函数在其定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质.【教学重点】1.无穷小量的概念及运算；2.函数连续性的定义 【教学难点】函数连续性的定义【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】一、无穷小量概念定义2.5 极限为零的量称为无穷小量注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。2、数零是唯一可作为无穷小的常数。3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。4、当xa（或）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当xa（或）时，f(x)是无穷小量。若数列的极限为0，则是无穷小量。例如：，所以，当x0时，sin x 是无穷小量。同样，当x0时 (0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。当x+时， ，所以是无穷小量.定理2.1 若 （2-4-1）则 （2-4-2）其中.逆命题也成立，也就是说式（2-4-1）与（2-4-2）等价.二、无穷小量的性质1、 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。例如，当x0时，x+sinx也是无穷小量2、 无穷小量与有界量之积是无穷小量。例如，当x0时，xsinx也是无穷小量。3、任一常数与无穷小量之积是无穷小量。例如，当x0时，3sinx也是无穷小量。4、有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）三、无穷小量的比较无穷小量的商不一定是无穷小量四、无穷大量当x（或）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x（或）时，f(x)是无穷大量。记作 f(x)=,或f(x).关于无穷大量几点说明: 1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念; 2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作或. 3.若数列当n+时，它项的绝对值无限增大，则是无穷大量。4.如果当x（或）时，函数f(x)是无穷大量，那么就是当x（或）时的无穷小量，反过来，如果当x（或）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么就是当x（或）时的无穷大量。 即无穷大量的倒数是无穷小量。无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。 因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0， 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。课堂练习 p.73 练习2.4 1 、2、3（1）(3)2.5 函数的连续性一、函数在一点的连续与间断定义2.6 设函数f(x)在x=x0的一个邻域内有定义，且等式成立，则称f(x)在点x0处连续，x0称为函数的连续点.注：f(x)在点x0处连续必须同时满足三个条件：(1)存在；(2)存在；(3).只要有一个条件不满足，则点就是函数f(x)的间断点。例1 证明f(x)=x2在其定义域的每一点处均连续。解：启发讲解例2 证明函数在x=0处是连续的.解：已知f(0)=0，而由此可知，即f(x)在x=0处连续.如果函数f(x)在x0及x0的右边附近有定义，且，则称f(x)在x0处右连续. 类似地，若，则称f(x)在x0处左连续二、间断点的分类设是的一个间断点，如果：（1）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当，则称为的跳跃间断点（2）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当存在，但不等于，则称为的可去间断点（3）除（1）（2）以外的，称为的第二类间断点，当=，称为的无穷间断点。三、初等函数的连续性如果函数f(x)在一个区间的每一点处都是连续的，则称f(x)在该区间上连续.可以证明，六类基本初等函数在其定义域内是连续的.定理2.2 如果一个初等函数在某个区间内有定义，则它在该区间内是连续的.四、利用连续函数求极限注意到函数连续的公式可以写成：这表明，对于连续函数f(x)而言，函数符号f与极限符号lim可以交换.这在求极限时是很有用的.例3 解：=例4 求解：略五、闭区间上连续函数的性质定理2.3 （最大值最小值存在定理）在闭区间上连续函数必定在该区间上达此函数的最大值和最小值.这个定理要求达到两个条件：（1）区间是闭的；（2）函数是连续的.缺一不可定理2.4 （零点定理） 设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0且a1.解： y=logax=因此即 （3-2-6）三、除法求导法则定理3.4 设函数u=u(x)与v=v(x)在点x处可导，则也在点x处可导，且特别，当u(x)=c (c为常数)时，有注：商的导数等于导数的商（证明从略）例4 求y=tanx的导数。 因此 类似可得例5 求y=sec x的导数.解:(非弦函数化成弦函数) 类似可得:课堂练习：p125 练习3.2 1 （1）（6）四、复合函数求导法则思考：设y=，如何求？ y=可看成由复合而成。又 综上所述，复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.定理3.5 如果在点x处可导，函数y=f(u)在对应的点处可导，那么复合函数也在点x处可导，且有或证 设自变量x有增量，则相应的中间变量有增量，从而有增量（） 在x处可导 在x处连续，可知时，必有又已知， 则有即 或以上法则也可用于多次复合的情形。例如：设都可导，则或记为 (3-2-15)例6 求y=cot3x的导数.解：函数y的复合形式为：y=u3,u=cotx因此例7 证明对数函数的导数公式证明：当x0时，即为（3-2-6），当x0) (3-2-18)确定了y与x之间的一个函数关系；方程sin(xy)-ln(x+y)=0 （3-2-19）也确定了y与x之间的一个函数关系.这种由方程所确定的函数称为隐函数.下面举例说明隐函数的求导方法.例11 求方程（3-2-18）所确定的函数y=y(x)的导数.解法一 由x2+y2=R2解得解法二 不具体地解出y来，而仅将y看成是x的函数y=y(x)，这个函数由方程x2+y2=R2所确定.方程两边同时对自变量x求导，得由此可得解法二所用的方法称为隐函数求导法.例12 、例13（选讲）课堂练习：p126 4 (1)、(2)要求学生牢记六类基本初等函数的导数公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；六、初等函数求导例14 设解： 例15、例16（选讲）课堂练习：练习3.2 3 （7）、（8）课堂小结：要求学生牢记16个基本初等函数的求导公式以及和差积商的求导法则.布置作业：练习3.2 1、（5）(8) 3 、(5)、（6）【课题】3.3 微分 3.4 高价导数 【教学目标】1.理解微分的概念，熟记微分的基本公式和四则运算法则.2.知道一价微分形式的不变性.3.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二价导数方法.【教学重点】微分的概念，微分基本公式，二阶导数【教学难点】微分的概念【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】4课时(180分钟)【教学过程】3.3 微分 创设情景 兴趣导入微分是微分学的一个重要概念,它与导数既密切相关又有本质区别.导数反映函数在某点变化的快慢程度,而微分则描述函数的增量的近似程度.图3-3-1在许多实际问题中,要求研究函数因自变量的微小改变而引起的函数值的改变.例如考察一个例子.设有一正方形铁片,当受热膨胀时,其边长由x0变到x0+x,求其面积改变量的近似值. 解 设正方形的边长为,面积为y,则 y=x2,当边长由x0变到x0+x时,面积y对应的增量为 上式右边第一项是x的线性函数,第二项是当时比高阶的无穷小量.因此当|x|很小时,面积的改变量y可近似地用第一项（线性主部）代替,即. 动脑思考 探索新知一、微分与可微定义 设函数y=f(x)在点x0处可导，x是自变量x的改变量，称为函数f（x）在点x0处关于x的微分，记为dy= (3-3-1)微分的几何意义：图3-9设函数在点可微.如图,是曲线上点处的切线,它的倾角为,当横坐标有增量时,相应地曲线的纵坐标有增量,对应曲线上的点.如图所示 , ,则 ,即 .因此函数的微分是曲线在点处切线的纵坐标的相应增量.而是曲线在点处纵坐标的相应增量.用近似代替,产生的误差:是的高阶无穷小,也就是说在点附近可用切线段近似代替曲线段,即“以直代曲”一般地，如果函数y=f(x)在点x0处的改变量可表为 （3-3-6）其中A与x无关，则称函数y=f(x)在点x0处是可微的.注：可微与可导是等价的.二、微分在近心计算中的应用（选讲）三、微分公式与微分运算法则微分可以通过导数来计算.我们把自变量改变量x写成dx，也就是说，自变量的微分定义为自变量的改变量.因此可导函数f(x)在任一点x的微分写成 （3-3-12） 所以根据导数公式和导数运算法则，就得到相应的微分公式和微分运算法则10微分基本公式 20函数的和、差、积、商的微分运算法则例5 求y=xlnx的微分解法一 dy=lnxdx+xd(lnx)=(lnx+1)dx解法二 dy=四、微分形式不变性我们来考察关于复合函数的微分法则.设y=f(u),u=g(x),且函数g在x可导，函数f在相应的点u处可导，则 （3-3-13）注意到u无论是自变量还是中间变量，式（3-3-13）均成立，这一性质称为微分形式不变性.例6 求y=exsin2x的微分.解：dy=d(exsin2x)=exd(sin2x)+sin2xdex=excos2xd(2x)+ exsin2xdx=ex(2cos2x+sin2x)dx例7（选讲）五、参数方程表示的函数的微分法（选讲）课堂练习：p.134 练习3.3 10 （1）、（2） 113.4 高阶导数设y=(x)在某区间上可导，即有 存在，如果也可导，则称 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 , 或 , , 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫四阶导数，一般地，函数f(x)的 n-1阶导数叫做n阶导数，分别记做 , , ., , ., 或， ，,且有 或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数一、y=f(x)的高阶导数求法例1 求y=ex的n阶导数解： 例2 求y=xn的n阶导数（n是自然数）.解：！例3 求y=xlnx的二阶导数解： 二、参数方程表示的函数的二阶导数（选讲）三、隐函数的二阶导数（选讲）课堂练习：p140 1 课堂小结：高阶导数概念布置作业：p158 自我检测题 （一）1、2、3 （二）5、7、8第4章 导数的应用（教案）第4章 导数的应用本章教学内容：4.1 中值定理4.2 洛必塔法则4.3 函数的单调性和极值4.5 曲线的凹凸【课题】4.1 中值定理【教学目标】1.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论.2. 知道柯西定理的条件和结论.【教学重点】罗尔定理、拉格朗日中值定理【教学难点】拉格朗日中值定理【教学设计】（1）通过实例引入，提高学生的求知欲；（2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华；（3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学【教学备品】教学课件【课时安排】2课时(90分钟)【教学过程】 创设情景 兴趣导入导数可用业研究函数的性态，例如判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极限，求函数的大最值最小值，等等，本章将介绍这些内容.本节将介绍微分学中的几个基本定理，它们是导数应用的基础. 动脑思考 探索新知1. 罗尔定理定理4.1 （罗尔定理）设函数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得 （4-1-1）定理的三个条件：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b).三者缺一不可.严格证明从略.教学中给出直观的几何解释. 将罗尔定理中的特殊条件“f(a)=f(b)”删除，得到拉格朗日定理.2. 拉格朗日定理定理4.2 （拉格朗日定理）设函数f（x）在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则在（a,b）内至少存在一点，使得 （4-1-2）数值表示在区间a,b上曲线y=f(x)两端连线AB的斜率.拉格朗日定理表明在定理的条件下，曲线y=f(x)上必有一点，在该点处曲线的切线平行于直线AB.定理证明从略.推论1 设函数f(x)在(a,b)内可导，