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第六节第六节双曲线双曲线1双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点平面内与两个定点 F1， F2的的距离的差的绝对值等于非零距离的差的绝对值等于非零常数常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中，其中 a，c 为常数且为常数且 a0，c0.2双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形图形性性质质范围范围xa 或或 xa，yRya 或或 ya，xR对称性对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点顶点顶点顶点坐标：顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线渐近线ybaxyabx离心率离心率eca，e(1，)a，b，c 的关的关系系c2a2b2实虚轴实虚轴线段线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长若将双曲线的定义中的若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数差的绝对值等于常数”中的中的“绝对值绝对值”去掉去掉， 则点的集合是双则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定设双曲线上的点设双曲线上的点 M 到两焦点到两焦点 F1，F2的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为 2a，则则 02a|F1F2|，这一这一条件不能忽略条件不能忽略若若 2a|F1F2|，则点，则点 M 的轨迹是分别以的轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线；为端点的两条射线；若若 2a|F1F2|，则点，则点 M 的轨迹不存在；的轨迹不存在；若若 2a0，则点，则点 M 的轨迹是线段的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线的垂直平分线.熟记常用结论熟记常用结论1双曲线的焦点到其渐近线的距离为双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.2 若若 P 是双曲线右支上一点是双曲线右支上一点， F1， F2分别为双曲线的左分别为双曲线的左、 右焦点右焦点， 则则|PF1|minac， |PF2|minca.3同支的焦点弦中最短的为通径同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为其长为2b2a；异支的弦中最异支的弦中最短的为实轴，其长为短的为实轴，其长为 2a.4若若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点分别为双曲线的左、右焦点，则则 SPF1F2b2tan2，其中，其中为为F1PF2.5若若 P 是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)右支上不同于实轴端点的任意一点右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左、右焦点，I 为为PF1F2内切圆的圆心，则圆心内切圆的圆心，则圆心 I 的横坐标为定值的横坐标为定值 a.6等轴双曲线等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线双曲线(2)性质性质：ab；e 2；渐近线互相垂直渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项是它到两焦点距离的等比中项7共轭双曲线共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线双曲线互为共轭双曲线(2)性质：性质：它们有共同的渐近线；它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平它们的离心率的倒数的平方和等于方和等于 1.小题查验基础小题查验基础一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”)(1)平面内到点平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线的点的轨迹是双曲线()(2)方程方程x2my2n1(mn0)表示焦点在表示焦点在 x 轴上的双曲线轴上的双曲线()(3)双曲线方程双曲线方程x2m2y2n2(m0， n0， 0)的渐近线方程是的渐近线方程是x2m2y2n20， 即即xmyn0.()(4)若双曲线若双曲线x2a2y2b21(a0， b0)与与x2b2y2a21(a0， b0)的离心率分别是的离心率分别是 e1， e2， 则则1e211e221.()答案：答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题二、选填题1双曲线双曲线 2x2y28 的实轴长是的实轴长是()A2B2 2C4D4 2解析：解析：选选 C双曲线双曲线 2x2y28 的标准方程为的标准方程为x24y281，故实轴长为，故实轴长为 4.2若双曲线方程为若双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D( 3，0)解析：解析：选选 C原方程可化为原方程可化为x21y2121，a21，b212，c2a2b232，右焦点坐标为右焦点坐标为62，0.3若方程若方程x22my2m11 表示双曲线，则表示双曲线，则 m 的取值范围是的取值范围是_.解析：解析：因为方程因为方程x22my2m11 表示双曲线，表示双曲线，所以所以(2m)(m1)0，即，即 m1 或或 m2.答案：答案：(，2)(1，)4若双曲线若双曲线 x2y2m1 的离心率为的离心率为 3，则实数，则实数 m_.解析：解析：由已知可得由已知可得 a1，c 1m，所以所以 eca 1m 3，解得，解得 m2.答案：答案：25双曲线双曲线 C 的焦点分别为的焦点分别为(6,0)，(6,0)，且经过点，且经过点(5,2)，则该双曲线的标准方程为，则该双曲线的标准方程为_解析：解析：由题意得由题意得 2a| 56 222 56 222|4 5，所以，所以 a2 5，又，又 c6，所以所以 b2c2a2362016，所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为x220y2161.答案：答案：x220y2161考点一考点一双曲线的标准方程双曲线的标准方程基础自学过关基础自学过关题组练透题组练透1(2019绵阳联考绵阳联考)已知双曲线已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 y34x，且其且其右焦点为右焦点为(5,0)，则双曲线，则双曲线 C 的标准方程为的标准方程为()A.x29y2161B.x216y291C.x23y241D.x24y231解析解析：选选 B由题意得由题意得ba34，c2a2b225，所以所以 a4，b3，所以所求双曲线的标准所以所求双曲线的标准方程为方程为x216y291.2与椭圆与椭圆x24y21 共焦点且过点共焦点且过点 P(2,1)的双曲线标准方程是的双曲线标准方程是()A.x24y21B.x22y21C.x23y231Dx2y221解析：解析：选选 B法一：法一：椭圆椭圆x24y21 的焦点坐标是的焦点坐标是( 3，0)设双曲线标准方程为设双曲线标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因为双曲线过点因为双曲线过点 P(2,1)，所以所以4a21b21，又，又 a2b23，解得解得 a22，b21，所以所求双曲线标准方程是，所以所求双曲线标准方程是x22y21.法二：法二：设所求双曲线标准方程为设所求双曲线标准方程为x24y211(14)，将点将点 P(2,1)的坐标代入可得的坐标代入可得44111，解得解得2(2 舍去舍去)，所以所求双曲线标准方程为所以所求双曲线标准方程为x22y21.3过双曲线过双曲线 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点作的右顶点作 x 轴的垂线，与轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于的一条渐近线相交于点点 A.若以若以 C 的右焦点的右焦点 F 为圆心、半径为为圆心、半径为 4 的圆经过的圆经过 A，O 两点两点(O 为坐标原点为坐标原点)，则双曲线，则双曲线 C的标准方程为的标准方程为()A.x24y2121B.x27y291C.x28y281D.x212y241解析：解析：选选 A因为渐近线因为渐近线 ybax 与直线与直线 xa 交于点交于点 A(a，b)，c4 且且 4a 2b24，解得解得 a24，b212，因此双曲线的标准方程为，因此双曲线的标准方程为x24y2121.4经过点经过点 P(3,2 7)，Q(6 2，7)的双曲线的标准方程为的双曲线的标准方程为_解析解析： 设双曲线方程为设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)， 因为所求双曲线经过点因为所求双曲线经过点 P(3,2 7)， Q(6 2，7)，所以，所以9m28n1，72m49n1，解得解得m175，n125.故所求双曲线标准方程为故所求双曲线标准方程为y225x2751.答案：答案：y225x27515焦点在焦点在 x 轴上，焦距为轴上，焦距为 10，且与双曲线，且与双曲线y24x21 有相同渐近线的双曲线的标准方程有相同渐近线的双曲线的标准方程是是_解析解析：设所求双曲线的标准方程为设所求双曲线的标准方程为y24x2(0)，即即x2y241，则有则有 425，解解得得5，所以所求双曲线的标准方程为，所以所求双曲线的标准方程为x25y2201.答案答案：x25y2201名师微点名师微点求双曲线标准方程的求双曲线标准方程的 2 种方法种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程的方程并求出并求出 a，b，c 的值与双曲线的值与双曲线x2a2y2b21 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2y2b2(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定的值，由定点位置确定 c 的值的值提醒提醒求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为线方程为 mx2ny21(mn0)求解求解(如第如第 4 题题)考点二考点二双曲线的定义及其应用双曲线的定义及其应用师生共研过关师生共研过关典例精析典例精析(1)已知圆已知圆 C1：(x3)2y21 和圆和圆 C2：(x3)2y29，动圆动圆 M 同时与圆同时与圆 C1及圆及圆 C2相外相外切，则动圆圆心切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为的轨迹方程为_(2)已知已知 F1，F2为双曲线为双曲线 C：x2y22 的左的左、右焦点右焦点，点点 P 在在 C 上上，|PF1|2|PF2|，则则 cosF1PF2_.(3)已知已知 F 是双曲线是双曲线x24y2121 的左焦点的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线右支上的一动点是双曲线右支上的一动点， 则则|PF|PA|的最小值为的最小值为_解析解析(1)如图所示，设动圆如图所示，设动圆 M 与圆与圆 C1及圆及圆 C2分别外切于点分别外切于点 A 和点和点 B，根据两圆外切，根据两圆外切的充要条件，得的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为因为|MA|MB|，所以所以|MC2|MC1|BC2|AC1|3126.这表明动点这表明动点 M 到两定点到两定点 C2，C1的距离的差是常数的距离的差是常数 2 且小于且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知，动点根据双曲线的定义知，动点 M 的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支(点点 M 到到 C2的距离大，到的距离大，到 C1的距的距离小离小)，且，且 a1，c3，则，则 b28，设点，设点 M 的坐标为的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为，则其轨迹方程为 x2y281(x1)(2)由双曲线的定义有由双曲线的定义有|PF1|PF2|2a2 2，|PF1|2|PF2|，|PF1|4 2，|PF2|2 2，则则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2| 4 2 2 2 2 24224 22 234.(3)因为因为 F 是双曲线是双曲线x24y2121 的左焦点的左焦点，所以所以 F(4,0)，设其右焦点为设其右焦点为 H(4,0)，则由双曲则由双曲线的定义可得线的定义可得|PF|PA|2a|PH|PA|2a|AH|4 41 2 04 2459.答案答案(1)x2y281(x1)(2)34(3)9解题技法解题技法双曲线定义的应用策略双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值距离之差的绝对值；2a|F1F2|；焦焦点所在坐标轴的位置点所在坐标轴的位置过关训练过关训练1(2019唐山模拟唐山模拟)已知已知 F1，F2是双曲线是双曲线x24y21 的两个焦点，的两个焦点，P 在双曲线上，且满足在双曲线上，且满足F1PF290，则，则F1PF2的面积为的面积为()A1B.52C2D. 5解析：解析：选选 A不妨设不妨设|PF1|m，|PF2|n，则由双曲线的定义可知，则由双曲线的定义可知|PF1|PF2|mn|4.又因为又因为F1PF290，所以所以|PF1|2|PF2|2(2c)220，即即 m2n220.又又|PF1|PF2|2|mn|216，所以，所以 mn2.所以所以F1PF2的面积为的面积为 S12mn1，故选，故选 A.2已知已知ABC 的顶点的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 内切圆的圆心在直线内切圆的圆心在直线 x2 上上，则顶点则顶点 C的轨迹方程是的轨迹方程是()A.x24y2211(x2)B.y24x2211(y2)C.x221y241D.y24x221解析：解析：选选 A如图，如图，ABC 与内切圆的切点分别为与内切圆的切点分别为 G，E，F.|AG|AE|7，|BF|BG|3，|CE|CF|，所以所以|CA|CB|734.根据双曲线定义，所求轨迹是以根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为为焦点，实轴长为 4 的双曲线的双曲线的右支，方程为的右支，方程为x24y2211(x2)考点三考点三双曲线的几何性质双曲线的几何性质全析考法过关全析考法过关考法全析考法全析考法考法(一一)求双曲线的离心率求双曲线的离心率(或范围或范围)例例 1(1)已知点已知点 F 是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶是该双曲线的右顶点，过点，过 F 作垂直于作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲是锐角三角形，则该双曲线的离心率线的离心率 e 的取值范围是的取值范围是()A(1，)B(1,2)C(2,1 2)D(1,1 2)(2)设双曲线设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为的左焦点为 F，直线，直线 4x3y200 过点过点 F 且与且与双曲线双曲线 C 在第二象限的交点为在第二象限的交点为 P，O 为原点，为原点，|OP|OF|，则双曲线，则双曲线 C 的离心率为的离心率为()A5B. 5C.53D.54解析解析(1)若若ABE 是锐角三角形是锐角三角形，只需只需AEF45，在在 RtAFE 中中，|AF|b2a，|FE|ac，则，则b2aac，即，即 b2a2ac，即，即 2a2c2ac0，则，则 e2e20，解得，解得1e2，又又 e1，则，则 1e2，故选，故选 B.(2)根据直线根据直线 4x3y200 与与 x 轴的交点轴的交点 F 为为(5,0)，可知半可知半焦距焦距 c5，设双曲线设双曲线 C 的右焦点为的右焦点为 F2，连接，连接 PF2，根据，根据|OF2|OF|且且|OP|OF|可得，可得，PFF2为直角三角形，为直角三角形，如图，过点如图，过点 O 作作 OA 垂直于直线垂直于直线 4x3y200，垂足为，垂足为 A，则易知，则易知 OA 为为PFF2的中的中位线，位线，又原点又原点 O 到直线到直线 4x3y200 的距离的距离 d4， 所以所以|PF2|2d8， |PF| |FF2|2|PF2|26，故结合双曲线的定义可知，故结合双曲线的定义可知|PF2|PF|2a2，所以，所以 a1，故，故 eca5.答案答案(1)B(2)A考法考法(二二)求双曲线的渐近线求双曲线的渐近线例例 2(2019武汉调研武汉调研)已知双曲线已知双曲线 C：x2m2y2n21(m0， n0)的离心率与椭圆的离心率与椭圆x225y2161 的离心率互为倒数，则双曲线的离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线方程为的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0 或或 3x4y0D4x5y0 或或 5x4y0解析解析由题意知，椭圆中由题意知，椭圆中 a225，b216，椭圆的离心率椭圆的离心率 e1b2a235，双曲线的离心率为双曲线的离心率为1n2m253，nm43，双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 ynmx43x，即即 4x3y0.故选故选 A.答案答案A考法考法(三三)求双曲线的方程求双曲线的方程例例 3已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为的左焦点为 F，离心率为离心率为 2.若经过若经过 F 和和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24y241B.x28y281C.x24y281D.x28y241解析解析由离心率为由离心率为 2，可知，可知 ab，c 2a，所以所以 F( 2a,0)，由题意知由题意知 kPF400 2a 42a1，所以所以2a4，解得，解得 a2 2，所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为x28y281.答案答案B规律探求规律探求看看个个性性考法考法(一一)：求双曲线的离心率时求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量量a，b，c 的方程或不等式，利用的方程或不等式，利用 c2a2b2和和 eca转化为关于转化为关于 e 的方程的方程(或不等式或不等式)，通，通过解方程过解方程(或不等式或不等式)求得离心率的值求得离心率的值(或范围或范围)；考法考法(二二)：求渐近线时求渐近线时，利用利用 c2a2b2转化为关于转化为关于 a，b 的方程的方程双曲线渐近线的斜率双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：与离心率的关系：kbac2a2ac2a21 e21；考法考法(三三)：求双曲线的方程时求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于于 a，b，c 的关系式，结合的关系式，结合 c2a2b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程线方程找找共共性性求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：过关训练过关训练1 (2018全国卷全国卷)双曲线双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的离心率为的离心率为 3， 则其渐近线方程为则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy22xDy32x解析：解析：选选 Aecaa2b2a 3，a2b23a2，b 2a.渐近线方程为渐近线方程为 y 2x.2(2018全国卷全国卷)设设 F1，F2是双曲线是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左的左、右焦点右焦点，O 是坐是坐标原点标原点过过 F2作作 C 的一条渐近线的垂线的一条渐近线的垂线，垂足为垂足为 P.若若|PF1| 6|OP|，则则 C 的离心率为的离心率为()A. 5B.2C. 3D. 2解析：解析：选选 C不妨设一条渐近线的方程为不妨设一条渐近线的方程为 ybax，则则 F2到到 ybax 的距离的距离 d|bc|a2b2b.在在 RtF2PO 中，中，|F2O|c，所以所以|PO|a，所以，所以|PF1| 6a，又又|F1O|c，所以在，所以在F1PO 与与 RtF2PO 中，中，根据余弦定理得根据余弦定理得cosPOF1a2c2 6a 22accosPOF2ac，即即 3a2c2( 6a)20，得得 3a2c2，所以所以 eca 3.3已知已知 M(x0，y0)是双曲线是双曲线 C：x22y21 上的一点上的一点，F1，F2是双曲线是双曲线 C 的两个焦点的两个焦点若若MF1MF20，则，则 y0的取值范围是的取值范围是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33解析：解析：选选 A由题意知由题意知 a 2，b1，c 3，设设 F1( 3，0)，F2( 3，0)，则则MF1( 3x0，y0)， MF2( 3x0，y0)MF1MF20，( 3x0)( 3x0)y200，即即 x203y200.点点 M(x0，y0)在双曲线在双曲线 C 上，上，x202y201，即，即 x2022y20，22y203y200，33y033.
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