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课时达标检测（三十）课时达标检测（三十）数列的综合问题数列的综合问题小题常考题点小题常考题点准解快解准解快解1(20 xx安徽六安一中月考安徽六安一中月考)已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为 an5n，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，将数列将数列an的的前前 4 项抽去其中一项后项抽去其中一项后， 剩下三项按原来顺序恰为等比数列剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的的前前 3 项项， 记记bn的前的前 n 项和为项和为 Tn.若存在若存在 mN*，使对任意使对任意 nN*，SnTm恒成立恒成立，则实数则实数的取值范围是的取值范围是()A2，)B(3，)C3，)D(2，)解析：解析：选选 D依题意得依题意得 Sn 45n n2n 9n 2，根据二次函数的性质，根据二次函数的性质，n4,5 时，时，Sn取得最大值为取得最大值为 10.另外另外，根据通项公式得数列根据通项公式得数列an的前的前 4 项为项为 a14，a23，a32，a41，观察易知抽掉第二项后观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列余下的三项可组成等比数列所以数列所以数列bn中中，b14，公比公比 q12，所以所以 Tn4112n1128112n，所以所以 4Tn8.因为存在因为存在 mN*，对任意对任意 nN*，SnTm恒恒成立，所以成立，所以 102.故选故选 D.2(20 xx北京景山学校段测北京景山学校段测)已知数列已知数列an满足满足 a11，P(an，an1)(nN*)在直线在直线 xy10 上，如果函数上，如果函数 f(n)1na11na21nan(nN*，n2)，那么函数，那么函数 f(n)的最小的最小值为值为()A.13B14C.712D512解析解析：选选 C将点将点 P 的坐标代入直线方程的坐标代入直线方程，得得 an1an1，所以所以an是首项为是首项为 1，公差公差为为 1 的等差数列的等差数列， 所以所以 ann， 所以所以 f(n)1n11n21nn， f(n1)1n21n31nn2，所以，所以 f(n1)f(n)1nn11nn21n112n212n21n10，所，所以以 f(n)单调递增，故单调递增，故 f(n)的最小值为的最小值为 f(2)712，故选，故选 C.3(20 xx江西金溪一中月考江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为为200%， 以后每年的增长率为前一年的一半以后每年的增长率为前一年的一半若饲养若饲养 5 年后年后， 鱼的质量预计为原来的鱼的质量预计为原来的 t 倍倍下下列选项中，与列选项中，与 t 值最接近的是值最接近的是()A11B13C15D17解析：解析：选选 B设鱼原来的质量为设鱼原来的质量为 a，饲养，饲养 n 年后鱼的质量为年后鱼的质量为 an，q200%2，则，则 a1a(1q)， a2a11q2 a(1q)1q2 ， ， a5a(12)(11)112 1122112340532a12.7a，即，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选倍，故选 B.4(20 xx湖北襄阳四校联考湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著我国古代数学名著九章算术九章算术中中，有已知长方形面积求有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列第一步：构造数列 1，12，13，14，1n.第二步：将数列第二步：将数列的各项乘以的各项乘以n2，得到一个新数列，得到一个新数列 a1，a2，a3，an.则则 a1a2a2a3a3a4an1an()A.n24B n1 24C.n n1 4Dn n1 4解析：解析：选选 C由题意知所得新数列为由题意知所得新数列为 1n2，12n2，13n2，1nn2，所以，所以 a1a2a2a3a3a4an1ann241121231341 n1 nn24112 1213 1314 1n11nn2411n n n1 4，故选，故选 C.5(20 xx辽宁盘锦高中月考辽宁盘锦高中月考)数列数列an满足满足 a114，an1144an，若不等式若不等式a2a1a3a2an2an1n对任何正整数对任何正整数 n 恒成立，则实数恒成立，则实数的最小值为的最小值为()A.74B34C.78D38解析：解析：选选 A因为数列因为数列an满足满足 a114，an1144an，所以反复代入计算可得，所以反复代入计算可得 a226，a338，a4410，a5512，由此可归纳出通项公式由此可归纳出通项公式 ann2 n1 ，经验证经验证，成立成立所以所以an1an11n n2 1121n1n2 ，所以所以a2a1a3a2an2an1n1121121n21n3 n74121n21n3 .因为要求因为要求a2a1a3a2an2an11，a11，且，且 2a2，a4,3a3成等差数成等差数列列(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)记记 bn2nan，求数列，求数列bn的前的前 n 项和项和 Tn.解：解：(1)由由 2a2，a4,3a3成等差数列可得成等差数列可得 2a42a23a3，即即 2a1q32a1q3a1q2，又又 q1，a11，故，故 2q223q，即即 2q23q20，得，得 q2，因此数列因此数列an的通项公式为的通项公式为 an2n1.(2)bn2n2n1n2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1.得得Tn222232nn2n1，Tn2 2n1 21n2n1，Tn(n1)2n12.2(20 xx山东高考山东高考)已知已知xn是各项均为正数的等比数列，且是各项均为正数的等比数列，且 x1x23，x3x22.(1)求数列求数列xn的通项公式；的通项公式；(2)如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，依次连接点依次连接点 P1(x1，1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线得到折线 P1P2Pn1，求由该折线求由该折线与直线与直线 y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积所围成的区域的面积 Tn.解解：(1)设数列设数列xn的公比为的公比为 q，由已知得由已知得 q0.由题意得由题意得x1x1q3，x1q2x1q2.所以所以 3q25q20.因为因为 q0，所以，所以 q2，x11，因此数列，因此数列xn的通项公式为的通项公式为 xn2n1.(2)过过 P1，P2，Pn1向向 x 轴作垂线轴作垂线，垂足分别为垂足分别为 Q1，Q2，Qn1.由由(1)得得 xn1xn2n2n12n1，记梯形，记梯形 PnPn1Qn1Qn的面积为的面积为 bn，由题意得，由题意得 bn nn1 22n1(2n1)2n2，所以，所以 Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又又 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得得Tn321(2222n1)(2n1)2n1322 12n1 12(2n1)2n1.所以所以 Tn 2n1 2n12.3(20 xx河北二市联考河北二市联考)在等比数列在等比数列an中，中，an0(nN*)，a1a34，且，且 a31 是是 a2和和 a4的等差中项，若的等差中项，若 bnlog2an1.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列cn满足满足 cnan11b2n1b2n1，求数列，求数列cn的前的前 n 项和项和解：解：(1)设等比数列设等比数列an的公比为的公比为 q，且，且 q0，在等比数列在等比数列an中，由中，由 an0，a1a34 得，得，a22，又又 a31 是是 a2和和 a4的等差中项，的等差中项，所以所以 2(a31)a2a4，把把代入代入得，得，2(2q1)22q2，解得解得 q2 或或 q0(舍去舍去)，所以所以 ana2qn22n1，则则 bnlog2an1log22nn.(2)由由(1)得，得，cnan11b2n1b2n12n1 2n1 2n1 2n1212n112n1 ，所以数列所以数列cn的的前前n项项和和Sn2222n12 113 1315 12n112n12 12n 1212112n12n12n2n1.4(20 xx河北定州中学阶段性检测河北定州中学阶段性检测)已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 Snn223n2.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足满足 bnan2an1an2an，且数列，且数列bn的前的前 n 项和为项和为 Tn，求证：，求证：Tn2n512.解：解：(1)因为因为 Snn223n2，所以当所以当 n2 时，时，Sn1 n1 223 n1 2，所以由所以由两式相减得两式相减得 anSnSn1n223n2 n1 223 n1 2n1.又因为又因为 n1 时，时，a1S12 适合适合 ann1，所以所以 ann1.(2)证明：由证明：由(1)知知 bnn3(n1)1 n3 n1 2121n11n3 ，所以所以 Tnb1b2b3bn2n12121413151n11n32n1212131n21n32n512121n21n3 2n512.
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