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考 点 考 情 超几何分布1.高考对本节的考查，一般借助实际生活背景进行考查，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验和二项分布的概率模型，离散型随机变量的分布列及其性质，均值与方差是高考热点，如重庆T18,福建T16.2试题难度中档，涉及概率问题时主要是古典概型、独立重复试验及条件的相互独立性，与频率分布直方图和茎叶图等交汇的超几何分布是近几年高考热点，如广东T17.事件的相互独立性独立重复试验与二项分布均值与方差的实际应用 1(20xx广东高考)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率解：(1)样本均值为22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为，故推断该车间12名工人中有124名优秀工人(3)设事件A：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A).2(20xx福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大1独立重复试验的概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.2超几何分布的概率一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件(Xk)发生的概率为P(xk)(k0,1,2，m)(mM，mn，MN)3离散型随机变量的均值、方差(1)均值E(X)x1p1x2p2xipixnpn；(2)方差D(X)xiE(x)2pi.4两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)5均值与方差的性质(1)E(axb)aE(x)b；(2)D(axb)a2D(x)热点一超几何分布问题例1(20xx浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列； (2)求X的数学期望E(X)自主解答(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).规律总结在超几何分布中，随机变量X取每一个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键1某学校为了调查本校学生9月份“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)解：(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75，健康上网天数超过20天的学生人数是40(10.75)400.2510.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).Y的分布列为Y012PE(Y)012.热点二事件的相互独立性例2(20xx陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望自主解答(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C).X可能的取值为0,1,2,3，则P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( B C)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.规律总结(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解2某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率；(2)记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)，P(A2)，P(A3).该选手被淘汰的概率P1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)1.(2)的所有可能取值为1,2,3.则P(1)P(1)，P(2)P(A12)P(A1)P(2)，P(3)P(A1A2)P(A1)P(A2)，的分布列为123PE()123.热点三独立重复试验与二项分布例3(20xx辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望自主解答(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20.所以X的分布列为X0123P所以E(X)01232.规律总结1注意辨别独立重复试验的基本特征：(1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；(2)在每次试验中，事件发生的概率相同2牢记公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含义3甲、乙两人参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如下：(1)指出学生乙成绩的中位数，并说明如何确定一组数据的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为派哪位学生参加，成绩比较稳定？(3)若将频率视为概率，对学生甲在今后三次数学竞赛中的成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为，求的分布列及数学期望E()解：(1)依题意得84，则学生乙成绩的中位数是84.它是这组数据中最中间位置的一个数或最中间位置两个数的平均数，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给数据中(2)派甲参加比较合适，理由如下：甲(70280490298842153)85.乙(70180490353525)85.s35.5，s41，甲乙，且ss，甲的成绩比较稳定(3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A).依题意，得B.P(k)Ck3k，k0,1,2,3.的分布列为0123PE()0123.热点四均值与方差的实际应用例4某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由自主解答(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花规律总结求离散型随机变量的均值与方差的方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算若随机变量服从二项分布，则可以直接使用E()np，D()np(1p)求解4根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X()对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13，D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X300)0.7，又因为P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
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