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11第一节第一节函数及其表示函数及其表示考纲传真(教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(对应学生用书第 8 页)基础知识填充1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应名称把对应关系f叫作定义在集合A上的函数称这种对应为从集合A到集合B的映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：数集A叫作函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集知识拓展1函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系2分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是特殊的映射()(2)函数y1 与yx0是同一个函数()(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点()(4)分段函数是两个或多个函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数y 2x31x3的定义域为()A.32，B(，3)(3，)C.32，3(3，)D(3，)C C由题意知2x30，x30，解得x32且x3.3如图 211 所示，所给图像是函数图像的有()图 211A1 个B2 个C3 个D4 个B B(1)中，当x0 时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当xx0时，y的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x的值对应唯一的y值，因此(3)(4)是函数图像，故选 B.4设函数f(x)x21，x1，2x，x1，则f(f(3)_.139f(3)23，f(f(3)2321139.5(20 xx全国卷)已知函数f(x)ax32x的图像过点(1,4)，则a_.2f(x)ax32x的图像过点(1,4)，4a(1)32(1)，解得a2.(对应学生用书第 9 页)求函数的定义域(1)(20 xx济南一模)函数f(x)2x123x1的定义域为_(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)f2xx1的定义域是_(1)(1，)(2)0,1)(1)由题意得2x120，x10，解得x1，所以函数f(x)的定义域为(1，)(2)由 02x2，得 0 x1，又x10，即x1，所以 0 x1，即g(x)的定义域为0,1)规律方法函数定义域问题的类型及求解策略1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解.2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解.3抽象函数：若已知函数fx的定义域为a，b，其复合函数fgx的定义域由不等式agxb求出；若已知函数fgx的定义域为a，b，则fx的定义域为gx在xa，b时的值域.已知fx定义域为m，n，求fhx定义域，先求x值域a，b，令ahxb，解出x即可.跟踪训练(1)函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是()A.13，1B.13，C.13，13D.，13(2)已知函数f(2x)的定义域为1,1，则f(x)的定义域为_.【导学号：79140019】(1 1)A A(2 2)1 12 2，2 2(1)由题意可知1x0，3x10，解得x1，x13，13x1，故选 A.(2)f(2x)的定义域为1,1，122x2，即f(x)的定义域为12，2.求函数的解析式(1)已知fx1xx21x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x1lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)2f1xx(x0)，求f(x)的解析式解(1)由于fx1xx21x2x1x22， 令tx1x， 当x0 时，t2x1x2，当且仅当x1 时取等号；当x0 时，tx1x2，当且仅当x1 时取等号，f(t)t22t(，22，)综上所述f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)(2)令2x1t，由于x0，t1 且x2t1，f(t)lg2t1，即f(x)lg2x1(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32，f(x)12x232x2.(4)f(x)2f1xx，f1x2f(x)1x.联立方程组fx2f1xx，f1x2fx1x，解得f(x)23xx3(x0)规律方法求函数解析式的常用方法1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.2换元法：已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3构造法：已知关于fx与f1x或fx的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx.跟踪训练(1)已知f(x1)x2x，求f(x)的解析式；(2)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0 有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解(1)法一：(换元法)设x1t(t1)，则xt1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)x21(x1)法二：(配凑法)f(x1)x2x(x1)21，又x11，所以f(x)x21(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，所以a1，b2，f(x)x22xc.又因为方程f(x)0 有两个相等的实根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.分段函数及其应用角度 1求分段函数的函数值(20 xx全国卷)设函数f(x)1log22x，x1，2x1，x1，则f(2)f(log212)()A3B6C9D12C C21，f(log212)2log21211226.f(2)f(log212)369.故选 C.角度 2已知分段函数的函数值求参数(20 xx成都二诊)已知函数f(x)log2x，x1，x2m2，x1，若f(f(1)2，则实数m的值为()A1B1 或1C. 3D. 3或 3D Df(f(1)f(1m2)log2(1m2)2，m23，解得m 3，故选 D.角度 3解与分段函数有关的方程或不等式(20 xx全国卷)设函数f(x)x1，x0，2x，x0，则满足f(x)fx12 1 的x的取值范围是_14，当x0 时，原不等式为x1x121，解得x14，14x0.当 01，显然成立当x12时，原不等式为 2x2x121，显然成立综上可知，x的取值范围是14，.规律方法1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值.2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时， 应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.跟踪训练(1)(20 xx山东高考)设f(x)x，0 x1，2x1，x1.若f(a)f(a1)，则f1a()A2B4C6D8(2)(20 xx北京西城区二模)函数f(x)2x，x0，log2x，x0，则f14 _；方程f(x)12的解是_(3)已知函数f(x)x22ax，x2，2x1，x2，若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_.【导学号：79140020】(1)C C(2)2 2或 1(3)(1,3)(1)若 0a1，由f(a)f(a1)得a2(a11)，a14，f1af(4)2(41)6.若a1，由f(a)f(a1)得 2(a1)2(a11)，无解综上，f1a6.(2)f14 log2142；当x0 时，由f(x)log2(x)12，解得x 2，当x0 时，由f(x)2x12，解得x1.(3)由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a.由f(f(1)3a2，得 96a3a2，即a22a30，解得1a3.
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