微分方程讲义

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念教学要求：微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念难 点： 微分方程的概念；微分方程阶的概念教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 15分钟2 微分方程的问题举例 30分钟3 微分方程概念以及阶数练 45分钟课后作业参考资料定积分的概念与性质一、复习导数和高阶导数的概念二、微分方程问题举例及引出函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程). (1)此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时,y=2,简记为y|x=1=2. (2)把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解),即y=x2+C, (3)其中C是任意常数.把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得 2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):y=x2+1.例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式.(4)此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时,s=0,.简记为s|t=0=0,s|t=0=20. (5) 把(4)式两端积分一次,得; (6)再积分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2, (7)这里C1,C2都是任意常数. 把条件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2.把C1,C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t+20,(8)s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2502+2050=500(m). 解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,s=-0.4, 并且s|t=0=0,s|t=0=20. 把等式s=-0.4两端积分一次,得s=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是任意常数),再积分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2 (C1,C2都C1是任意常数). 由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t+20; 由s|t=0=0得0=C2,于是s=-0.2t2+20t. 令v=0,得t=50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2502+2050=500(m).二、微分方程的定义微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.x3 y+x2 y-4xy=3x2 ,y(4) -4y+10y-12y+5y=sin2x,y(n) +1=0,一般n阶微分方程:F(x,y,y,y(n) )=0.y(n)=f(x,y,y,y(n-1) ) .微分方程的解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,Fx,j(x),j(x),j(n) (x)=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y,y(n) )=0在区间I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.初始条件:用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如x=x0 时,y=y0 ,y= y0 .一般写成,.特解:确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y=f(x,y)满足初始条件的解的问题,记为.积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.例3验证:函数x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程 的解.解求所给函数的导数:,.将及x的表达式代入所给方程,得-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)0.这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足方程,因此所给函数是所给方程的解.例4 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解,求满足初始条件x| t=0 =A,x| t=0 =0的特解.解由条件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt,得C1=A.再由条件x| t=0 =0,及x(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt,得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中,得x=Acos kt.练习：1一曲线过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求该曲线的方程。解：设所求曲线的方程为，则它满足把方程两端积分，得 (是任意常数 )由初始条件，有由此定出故所求曲线的方程为2验证：函数(是任意常数)是微分方程 的通解。解：，显然故 是微分方程的解。因是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第二讲 可分离变量的微分方程教学要求：掌握可分离变量的微分方程的解法重 点：掌握可分离变量的微分方程的解法难 点： 可分离变量的微分方程的解法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 10分钟2 可分离变量的微分方程45分钟3 练习 35分钟课后作业参考资料如果一阶微分方程能化成的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例对于一阶微分方程只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分求不出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以，使方程变为这样，变量与被分离在等式的两端，然后两端积分得如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?直接验证：对方程两边关于求导，有可见，它确实是原方程的通解。下面讨论可分离变量微分方程的求解。假定函数和是连续的。设是方程的解，将它代入方程得到恒等式将上式两端积分有引入变量替换，得设及依次为及的原函数，于是有因此，方程的解满足关系式。反之，如果是式所确定的隐函数，那未在的条件下，据隐函数的直接求导法有因此，函数满足方程。综合上述讨论有如果可分离变量方程中的和连续，且，那么式两端积分后得到的关系式，它用隐式的形式给出了方程的解。由于式含有任意常数，故式叫做微分方程的隐式通解( 当时，式所确定的隐函数也可认为是方程的解)。【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时()速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。解：设伞下落速度为，在下落时，同时受到重力与阻力的作用，重力大小为，方向与一致;阻力大小为(为比例系数 )，方向与相反，从而伞所受外力为据牛顿第二运动定律，得到函数应满足微分方程方程是可分离变量的，分离变量得两端积分，有其中由初始条件 ，有于是所求的函数为【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度( 水面与孔口中心间的距离 )随时间变化的规律。解：由水力学知道，水从孔口流出的流量( 即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率 )可用下列公式计算这里，为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度。现在，孔口横截面面积为课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，可得到其中是时刻时的水面半径，右端置负号是由于，而。如图，得到微分方程及初始条件方程是可分离变量的方程将初始条件代入，定出常数。本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第三节 可分离变量的微分方程把值代入并化简，得【注记】本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种方法称为微小量分析法。教学要求：1.理解换元积分法2.会用换元积分法求解积分课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第三节 可分离变量的微分方程教学要求：1理解齐次方程的概念；2掌握齐次方程的解法；重 点：常数变异法难 点： 常数变异法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 15分钟2 齐次微分方程45分钟3 例题及练习 30分钟课后作业参考资料如果一阶微分方程中的可写成的函数，即，称此方程为齐次方程。例如是齐次方程，因为在齐次方程中，引入变量替换有，将它们代入齐次方程，得分离变量，得两边积分，得求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的隐式通解。【例1】解方程解：原方程可写成因此是齐次方程，令，则于是原方程变为分离变量， 得两边积分，得以代替， 得到原方程的通解注记:齐次方程的求解实际上是通过变量替换，将方程化为可分离变量的方程。变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换。【例2】求下列微分方程的通解1、2、解1、令,则原方程化为即解2、令，原方程可化为(其中 )【例3】设河边点的正对岸为点，河宽，两岸为平行直线，水流速度为。有鸭子从点游向点，设鸭子(在静水中)的游速为，且鸭子游动方向始终朝着点，求鸭子游过的迹线。解：设水流速度为，鸭子游速为，则鸭子实际运动速度为。取为坐标原点，河岸朝顺水方向为轴，轴指向对岸，设在时刻鸭子位于点。设鸭子运动速度为， 故有而 ，从而由此得到微分方程即令，则，代入上面的方程有分离变量得积分得 ， ， 以条件时代入上式，得，故鸭子游过的迹线为本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第四节 一阶线性微分方程教学要求： 1.理解一阶线性微分方程的概念；2掌握一阶线性微分方程解法；重 点：1常数变异法；2一阶线性微分方程的解法难 点： 1常数变异法；2一阶线性微分方程的解法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 15分钟2 一阶线性微分方程45分钟3 例题及练习 30分钟课后作业参考资料一、线性方程方程叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果，则方程称为齐次的；如果不恒等于零，则方程称为非齐次的。首先，我们讨论式所对应的齐次方程的通解问题。分离变量得两边积分得或其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程的通解。将的通解中的常数换成的未知函数，即作变换两边乘以得两边求导得代入方程得 ， 于是得到非齐次线性方程的通解将它写成两项之和不难发现：第一项是对应的齐次线性方程的通解；第二项是非齐次线性方程的一个特解。由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。【例1】求方程的通解。解：由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第五节 一阶线性微分方程教学要求：1.理解伯努利方程的概念和伯努利方程的解法；重 点：伯努利方程的解法难 点： 伯努利方程的解法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 15分钟2 伯努利方程的概念和解法40分钟3 例题及练习 35分钟课后作业参考资料二、贝努利方程方程叫做贝努利方程。 当时，它是一阶线性非齐次微分方程当时，它是一阶线性齐次微分方程当时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。具体解法如下：令 ，方程化为关于的一阶线性非齐次微分方程【例2】求贝努利的通解。解 ： ，课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第六讲 可降阶的高阶微分方程教学要求：1.理解定积分的元素法2.会用元素法求解平面图形面积重 点：元素法求解平面图形面积难 点： 元素法求解平面图形面积教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习定积分的概念 10分钟2 定积分的微元法 15分钟3 平面图形面积问题 20分钟4 例题及练习 45分钟课后作业参考资料一、型的微分方程微分方程的右端仅含有自变量，只要把作为新的未知函数，那么就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个阶的微分方程同理依此类推，连续积分次，便得到了方程的含有个任意常数的通解。【例1】求的通解。解：其中是任意常数。二、型的微分方程微分方程的右端不显含有未知函数。如果作变量替换，则方程可化为这是一个关于变量的一阶微分方程，设其通解为其中是任意常数。【例2】求微分方程满足初始条件的特解。解：设，将之代入方程，得分离变量由，又得以一个一阶微分方程因此，方程的通解为其中是任意常数。【例2】求微分方程满足初始条件的特解。解：设，将之代入方程，得分离变量两边积分，得由条件，得从而 再积分，得又由条件，得故所求特解为注记：求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解.课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第七讲 可降阶的高阶微分方程教学要求：掌握可降阶的高阶微分方程解法重 点：掌握可降阶的高阶微分方程解法难 点： 掌握可降阶的高阶微分方程解法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 10分钟2 可降阶的高阶微分方程解法 40分钟3 例题及练习 40分钟课后作业参考资料三、型微分方程微分方程的右端不显含自变量。作变量替换，利用复合函数求导法则，可将写成如下形式方程可化成这是一个关于变量的一阶微分方程，设求出它的通解为从而有分离变量，再积分，便可得到方程的通解。【例3】求的通解。解：设，则分离变量，得两边积分有，分离变量，再积分，得其中是任意常数。【例4】一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间( 不计空气阻力 )。解：取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球中心在原点。设物体的质量为，物体下落时与地球中心的距离为，地球半径为，在时刻物体所在位置为。于是，速度，据万有引力定律，有以下微分方程其中：为地球质量，为引力常数，因，且当时，(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与轴的正向相反)，故 ， 于是方程可写成初始条件是 ， 先求物体到达地面的速度，由，则代入原方程，得分离变量，得再求积分，得将初始条件，代入得于是在式中令， 得到物体到达地面时的速度为这里取负号是由于物体运动方向与轴的正向相反。下面再求物体落到地面所需时间分离变量，得两端积分，得由条件，得于是上式成为在上式中令，便得到物体到达地面所需的时间为课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容：定积分的计算要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第八讲二阶常系数齐次线性微分方程教学要求：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.重 点：1二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程；2二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。 难 点： 二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1 复习 10分钟2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 15分钟3 例题及练习 45分钟课后作业参考资料一、二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式方程其中是常数，称之为二阶常系数齐次线性方程；如果不全为常数， 则称它为二阶变系数齐次线性微分方程。二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解由第八节的讨论可知，要找微分方程的通解，可先求出它的两个解与，如果，即与线性无关，那未就是方程的通解。对于指数函数，若它是方程的解，则有由于，从而有由此可见，只要满足代数方程，函数就是微分方程的解。我们把此代数方程叫做微分方程的特征方程。特征方程的两个根，可用公式求出，它们有三种不同的情形：(1)、当时，是两个不相等的实根：(2)、当时，是两个相等的实根：(3)、当时，是一对共轭复根：其中相应地，微分方程的通解也就有三种不同的情形，现分别讨论如下：(1)、特征方程有两个不相等的实根：由上面的讨论知道，与均是微分方程的两个解，并且不是常数，因此微分方程的通解为(2)、特征方程有两个相等的实根：这时，我们只得到微分方程的一个解，为了得到方程的通解，我们还需另求一个解，并且要求。设 ，即，下面来求。相加，得约去，整理得由于是特征方程的二重根，因此于是， 因只要得到一个不为常数的解，可取，由此得到微分方程的另一个解从而得到微分方程的通解为(3)、特征方程有一对共轭复根：是微分方程的两个解，根据齐次方程解的叠加原理， 有也是微分方程的解，且所以，微分方程的通解为综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的两个根。第三步据特征方程的两个根的不同情形， 依下表写出微分方程的通解。特征方程的两个根微分方程 的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根【例1】求微分方程的通解。解：所给微分方程的特征方程为其根为因此所求通解为【例2】求微分方程的通解。解：所给方程的特征方程为其根为