2016-2017学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷

2016-2017学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题；（每小题4分，共40分）1（4分）下面图形中，为中心对称图形的是（）ABCD2（4分）方程x2=x的解是（）Ax=1Bx=0Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=03（4分）如图，点A在O上，点C在O内，点B在O外，则图中的圆周角是（）AOABBOACCCOADB4（4分）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得的抛物线的解析式为（）Ay=（x+2）2+1By=（x+2）21Cy=（x2）2+1Dy=（x2）215（4分）如图，在正方形网格中，将ABC绕点A旋转后得到ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A顺时针旋转90B逆时针旋转90C顺时针旋转45D逆时针旋转456（4分）如图，在ABC中，C=90，AC=3，BC=4，以点A为圆心，4为半径作A，则（）A点B在A外B点B在A上C点B在A外内D点B与A的位置关系不能确定7（4分）由二次函数y=2（x3）2+1，可知（）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x=3C其最小值为1D当x3时，y随x的增大而增大8（4分）点A，点B的坐标分别是（0，1），（a，b），将线段AB绕点A逆时针旋转90后得到线段AC，则点C的坐标为（）A（b，a）B（a，b）C（1b，a+1）D（1，b+2）9（4分）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）Aac0Bb2aCa+b=1Dab=110（4分）如图，OA、OB、OC都是O的半径，若AOB是锐角，且AOB=2BOC，则下列结论正确的是（）个AB=2BC =2ACB=2CAB ACB=BOCA1B2C3D4二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）如图，在O中，=，AB=2，则AC= 12（4分）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x2=0的一个根为1，则m的值为 13（4分）如图，已知A、B、C、D是O上的四点，若BOD=100，则C= 14（4分）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是 15（4分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来16（4分）已知二次函数y=x2+（b+1）x+c，若点A（2，c），B（m，y1），C（3，y2）在这个函数图象上，且y1y2，则实数m的取值范围是 三、解答题（本大题共有9小题，共86分）17（8分）已知点A（2，n）在抛物线y=x2+x+3上，求n的值18（8分）解方程：2x2+x7=019（8分）如图，AB是O的直径，直线AC，BD是O的切线，A，B是切点求证：ACBD20（8分）（1）如图1，作ABC关于原点对称的图形；（2）在图2中画出y=（x1）2221（8分）如图，ABC中，B=35，将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，求BDE的度数22（10分）如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若ABC的边长为4，求EF的长度23（10分）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是RtABC和RtBDE的三边长，易知AE=c，这时我们把形如ax2+cx+b=0的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根24（12分）如图，AB是O的直径，弦AC=6，BC=8，弦CD平分ACB（1）求O的半径；（2）E为上一点，连接AE、ED、EB，请把图形补充完整并求的值25（14分）已知抛物线y1=ax2+bx+c对称轴是直线l，顶点为M，若自变量x的函数值y1的部分对应值如表所示x113y1=ax2+bx+c030（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l，A为直线l上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记作P（x，y2）用含x和t的代数式表示y2；当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1y2恒成立，求t的取值范围2016-2017学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；（每小题4分，共40分）1（4分）下面图形中，为中心对称图形的是（）ABCD【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、不是中心对称图形，本选项错误故选：A【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（4分）方程x2=x的解是（）Ax=1Bx=0Cx1=1，x2=0Dx1=1，x2=0【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：方程移项得：x2x=0，分解因式得：x（x1）=0，可得x=0或x1=0，解得：x1=1，x2=0故选：C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键3（4分）如图，点A在O上，点C在O内，点B在O外，则图中的圆周角是（）AOABBOACCCOADB【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角即可求得答案【解答】解：根据圆周角的定义可得图中的圆周角是：OAC故选：B【点评】此题考查了圆周角的定义此题难度不大，注意熟记定义是解此题的关键4（4分）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得的抛物线的解析式为（）Ay=（x+2）2+1By=（x+2）21Cy=（x2）2+1Dy=（x2）21【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式【解答】解：y=x2的顶点坐标为（0，0），把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（2，1），平移不改变抛物线的二次项系数，平移后的抛物线的解析式是y=（x+2）21故选：B【点评】本题考查了抛物线的平移变换关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线解析式5（4分）如图，在正方形网格中，将ABC绕点A旋转后得到ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A顺时针旋转90B逆时针旋转90C顺时针旋转45D逆时针旋转45【分析】此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案【解答】解：根据图形可知：将ABC绕点A逆时针旋转90可得到ADE故选：B【点评】本题主要考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度6（4分）如图，在ABC中，C=90，AC=3，BC=4，以点A为圆心，4为半径作A，则（）A点B在A外B点B在A上C点B在A外内D点B与A的位置关系不能确定【分析】根据勾股定理求出AB的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可【解答】解：由勾股定理得：AB=5，以点A为圆心，4为半径作A，54，点B在A外，故选：A【点评】本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；dr时，点在圆内；dr时，点在圆外7（4分）由二次函数y=2（x3）2+1，可知（）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x=3C其最小值为1D当x3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可【解答】解：由二次函数y=2（x3）2+1，可知：A：a0，其图象的开口向上，故此选项错误；B其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C其最小值为1，故此选项正确；D当x3时，y随x的增大而减小，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识8（4分）点A，点B的坐标分别是（0，1），（a，b），将线段AB绕点A逆时针旋转90后得到线段AC，则点C的坐标为（）A（b，a）B（a，b）C（1b，a+1）D（1，b+2）【分析】作出草图，过点B作BDy轴于D，过点C作CEy轴于E，根据点A、B的坐标表示出BD、AD，再求出ABD和CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AD，AE=BD，然后表示出OE，再写出点C的坐标即可【解答】解：如图，过点B作BDy轴于D，过点C作CEy轴于E，点A，点B的坐标分别是（0，1），（a，b），BD=a，AD=b1，线段AB绕点A逆时针旋转90后得到线段AC，CAE+BAD=90，AB=AC，又CAE+C=90，C=BAD，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），CE=AD=b1，AE=BD=a，OE=OA+AE=1+a，点C的坐标为（1b，a+1）故选：C【点评】本题考查了坐标与图形性质旋转，主要利用了全等三角形的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观9（4分）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）Aac0Bb2aCa+b=1Dab=1【分析】根据OC=1，可得c=1，然后根据x=1时，y0，可得a+b+10，所以a+b1；根据抛物线开口向上，可得a0；然后根据c=1，可得ac0；根据OA=1，可得x=1，然后根据a0，可得b2a；根据OA=1，可得x=1时，y=0，所以ab+c=0，然后根据c=1，可得ab=1，据此判断即可【解答】解：OC=1，c=1，又x=1时，y0，a+b+10，a+b1，选项C不正确；抛物线开口向上，a0；又c=1，ac=a0，选项A不正确；OA=1，x=1，又a0，b2a，选项B不正确；OA=1，x=1时，y=0，ab+c=0，又c=1，ab=1，选项D正确故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）10（4分）如图，OA、OB、OC都是O的半径，若AOB是锐角，且AOB=2BOC，则下列结论正确的是（）个AB=2BC =2ACB=2CAB ACB=BOCA1B2C3D4【分析】首先取的中点D，连接AD，BD，由AOB=2BOC，易得AD=BD=BC，继而证得AB2BC，又由圆周角定理，可得AOB=4CAB，ACB=BOC=2CAB【解答】解：取的中点D，连接AD，BD，AOB=2BOC，=2，故正确，=，AD=BD=BC，ABAD+BD，AB2BC故错误，AOB=2BOC，BOC=2CAB，AOB=4CAB，AOB=2ACB，ACB=BOC=2CAB，故正确故选：C【点评】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）如图，在O中，=，AB=2，则AC=2【分析】由于在O中，=，AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2【解答】解：在O中，=，AB=2，AC=AB=2故答案为2【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧12（4分）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x2=0的一个根为1，则m的值为1【分析】把x=1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值【解答】解：把x=1代入x2+（m+2）x2=0，得12+（m+2）2=0，即m+21=0，解得m=1故答案是：1【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根13（4分）如图，已知A、B、C、D是O上的四点，若BOD=100，则C=130【分析】由在O中，BOD=100，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BAD的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得C的度数【解答】解：BOD=100，BAD=BOD=50，BAD+C=180，C=180BAD=130故答案为130【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆的内接四边形对角互补定理的应用14（4分）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是x2x240=0【分析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程【解答】解：全组共有x名教师，每个老师都要发（x1）条短信，共发了240条短信x（x1）=240整理得：x2x240=0故答案为：x2x240=0【点评】考查列一元二次方程；得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键15（4分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值【解答】解：a=1.50，函数有最大值y最大值=600，即飞机着陆后滑行600米才能停止故答案为：600【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键16（4分）已知二次函数y=x2+（b+1）x+c，若点A（2，c），B（m，y1），C（3，y2）在这个函数图象上，且y1y2，则实数m的取值范围是1m3【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据函数的单调性解答【解答】解：由二次函数y=x2+（b+1）x+c可知与y轴的交点为（0，c），点A（2，c），对称轴为x=1，C（3，y2）的对称点为（1，y2），B（m，y1），C（3，y2）为其图象上的两点，且y1y2，即1m3故答案为1m3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征二次函数的对称性和二次函数的性质是关键三、解答题（本大题共有9小题，共86分）17（8分）已知点A（2，n）在抛物线y=x2+x+3上，求n的值【分析】把点A的坐标代入抛物线解析式可得到关于n的方程，可求得n的值【解答】解：点A（2，n）在抛物线y=x2+x+3上，n=（2）2+（2）+3=5【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键18（8分）解方程：2x2+x7=0【分析】公式法求解即可得【解答】解：a=2，b=1，c=7，=142（7）=570，x=【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键19（8分）如图，AB是O的直径，直线AC，BD是O的切线，A，B是切点求证：ACBD【分析】根据切线的性质可以得到AC和BD都是AB的垂线，即可证得【解答】证明：直线AC，BD是O的切线，又AB是O的直径，OAACOBBD ACBD【点评】本题考查了切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径20（8分）（1）如图1，作ABC关于原点对称的图形；（2）在图2中画出y=（x1）22【分析】（1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；（2）根据二次函数的解析式得出函数的顶点坐标，列出表格，画出函数图象即可【解答】解：（1）如图1，ABC即为所求；（2）列表如下：，函数图象如图2【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键21（8分）如图，ABC中，B=35，将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，求BDE的度数【分析】由将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，根据旋转的性质，可得ADE=B=35，AB=AD，然后由等腰三角形的性质，可求得ADB的度数，继而求得答案【解答】解：将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，ADE=B=35，AB=AD，ADB=B=35，BDE=ADB+ADE=70【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键22（10分）如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若ABC的边长为4，求EF的长度【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出ODE=90，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可【解答】（1）证明：如图1，连接OD，ABC是等边三角形，B=C=60OB=OD，ODB=B=60DEAC，DEC=90EDC=30ODE=90DEOD于点D点D在O上，DE是O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，AB为O直径，AFB=ADB=90AFBF，ADBDABC是等边三角形，EDC=30，FE=FCEC=1【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键23（10分）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是RtABC和RtBDE的三边长，易知AE=c，这时我们把形如ax2+cx+b=0的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论【解答】解：（1）当a=3，b=4，c=5时，勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得=（c）24ab=2c24aba2+b2=c22c24ab=2（a2+b2）4ab=2（ab）20即0勾系一元二次方程ax2+cx+b=0必有实数根【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题24（12分）如图，AB是O的直径，弦AC=6，BC=8，弦CD平分ACB（1）求O的半径；（2）E为上一点，连接AE、ED、EB，请把图形补充完整并求的值【分析】（1）由AB是O的直径，得到ACB=90，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，连接BD，根据圆周角定理得到=，求得BAD=ABD=45，根据勾股定理得到AD=5，在BE上截取EM=AE，于是得到BEAE=BM，得到AME=45，推出ABMADE，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）AB是O的直径，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10，O的半径=5；（2）如图，连接BD，弦CD平分ACB，=，AB是O的直径，ADB=90，BAD=ABD=45，AB=10，AD=5，在BE上截取EM=AE，BEAE=BM，AB是直径，AEB=90，且AE=EM，AME=45，AMB=135，DAB=DEB=45，AED=AMB=135，且ABE=ADE，ABMADE，=，=，原式=【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键25（14分）已知抛物线y1=ax2+bx+c对称轴是直线l，顶点为M，若自变量x的函数值y1的部分对应值如表所示x113y1=ax2+bx+c030（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l，A为直线l上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记作P（x，y2）用含x和t的代数式表示y2；当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1y2恒成立，求t的取值范围【分析】（1）由题意抛物线与x轴交于点（1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），把（1，3）代入求出a即可（2）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标记直线l与直线l交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PAl，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x1），所以PM=PA=|y2t|，过点P作PQl于点Q，则点Q（1，y2），故QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在RtPQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知62t0，即t3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，62t0，即t3时，求出y1y2的值；若3t110，要使y1y2恒成立，只要抛物线方向及顶点（1，）在x轴下方，因为3t0，只要3t110，解得t，符合题意；若3t11=0，y1y2=0，即t=也符合题意【解答】解：（1）由题意抛物线与x轴交于点（1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），把（1，3）代入得到a=，抛物线的解析式为y=（x+1）（x3），即y=x2+x+（2）y1=x2+x+，y1=（x1）2+3，直线l为x=1，顶点M（1，3）由题意得，t3，如图，记直线l与直线l交于点C（1，t），当点A与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，四边形ABMP为菱形，PAl，又点P（x，y2），点A（x，t）（x1），PM=PA=|y2t|，过点P作PQl于点Q，则点Q（1，y2），QM=|y23|，PQ=AC=|x1|，在RtPQM中，PM2=QM2+PQ2，即（y2t）2=（y23）2+（x1）2，整理得，y2=（x1）2+，即y2=x2x+，当点A与点C重合时，点B与点P重合，P（1，），P点坐标也满足上式，y2与x之间的函数关系式为y2=x2x+（t3）；根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，62t0，即t3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），3，不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，62t0，即t3时，y1y2=（x1）2+3（x1）2+=（x1）2+，若3t110，要使y1y2恒成立，只要抛物线y=（x1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，3t0，只要3t110，解得t，符合题意；若3t11=0，y1y2=0，即t=也符合题意综上，可以使y1y2恒成立的t的取值范围是t【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用