新编高三数学 第56练 向量法求解立体几何问题练习

第56练 向量法求解立体几何问题训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.(20xx吉林实验中学质检)如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由2(20xx上饶月考)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.3.(20xx南昌月考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由4(20xx太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成的，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析1(1)证明因为平面ABCD平面ABPE，且BCAB，所以BC平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直以B为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以.易知平面ABCD的一个法向量为n(0,1,0)，所以n(0,1,0)0，所以n.又EM平面ABCD，所以EM平面ABCD.(2)解当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下：因为(2，2,1)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面PCD的一个法向量为n1(0,1,2)假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.设(01)，则(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.2证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别为(，0)，(0,0,1)所以(，1)又点A，M的坐标分别是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且NE与AM不共线所以NEAM.又因为NE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因为D(，0,0)，F(，1)，所以(0，1)所以0，所以，所以AMDF，同理AMBF，又DFBFF，DF平面BDF，BF平面BDF，所以AM平面BDF.3(1)证明取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因为OD平面B1OD，所以ABOD.由已知条件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因为ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因为OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系，连接B1C.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，设(01)，由(1，2，(1)，设平面BB1D的法向量为m(x1，y1，z1)，则得令z11，则x1y1，所以平面BB1D的法向量为m(，1)设平面B1DE的法向量为n(x2，y2，z2)，则得令z21，则x2，y2，所以平面B1DE的一个法向量n(，1)设二面角EB1DB的大小为，则cos.解得.所以在线段CC1上存在点E，使得二面角EB1DB的余弦值为，此时.4(1)证明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，ADAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设h为点P到平面ABCD的距离则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则取x11，则y1z11，所以m(1，1，1)设平面AFP的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则取x21，则y21，z21h，所以n(1，1，1h)因为二面角CAFP的余弦值为，所以|cosm，n|，解得h1.