新版新课标高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 理

1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线间的综合问题2、4、7、10直线与圆锥曲线的综合问题1、6、9、12、13圆与圆锥曲线的综合问题8、11、14、15、16、17圆锥曲线与其他知识的综合3、5基础过关一、选择题1.(20xx泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(B)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选B.2.已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)(A)5(B)42(C)3(D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=52x,焦点(3,0)到y=52x的距离d=5.故选A.3.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为(D)(A)12(B)13(C)14(D)15解析:设D(0,b),则DF1=(-c,-b),DA=(-a,-b),DF2=(c,-b),由3DF1=DA+2DF2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=ca=15.4.(20xx海口调研)抛物线y2=-12x的准线与双曲线x29-y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A)(A)33(B)23(C)2(D)3解析:y2=-12x的准线方程为x=3,双曲线x29-y23=1的渐近线为y=33x.设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B,由x=3,y=33x,求得A(3,3),同理B(3,-3),所以|AB|=23,而O到直线AB的距离d=3,故所求三角形的面积S=12|AB|d=12233=33.5.(20xx河南省中原名校模拟)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),离心率e=2,右焦点F(c,0),方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系(C)(A)在圆内(B)在圆上(C)在圆外(D)不确定解析:由e=2得a=b,故c=2a,所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-2a=0,即x2-x-2=0,故x1+x2=1,x1x2=-2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=12-2(-2)=1+22,显然(1+22)2=9+428,所以点P(x1,x2)在圆外.6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab的值为(A)(A)32(B)233(C)932(D)2327解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,kOM=y0x0=ab=32.二、填空题7.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.解析:对于椭圆C1,a=13,c=5,曲线C2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为x216-y29=1.答案:x216-y29=18.(20xx哈师大附中模拟)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处切线的斜率为33,则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知ABO=30,所以AOB=60,OA=c,设A(x0,y0),则x0=-ccos 60=-c2,y0=csin 60=32c,由双曲线定义知2a=(-c2-c)2+(32c)2-(-c2+c)2+(32c)2=(3-1)c,e=ca=3+1.答案:3+19.(20xx太原五中模拟)直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为.解析:法一由椭圆方程得a=2,b=c=1,则F(-1,0).在FMO中 ,|MF|=|MO|,所以M在线段OF的中垂线上,即xM=-12,设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),由y=k(x+1),x22+y2=1得x2+2k2(x+1)2-2=0,即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,xP+xQ=-4k22k2+1,而M为PQ的中点,故xM=12(xP+xQ)=-2k22k2+1=-12,k2=12,解得k=22.故直线l的方程为y=22(x+1),即x2y+1=0.法二设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),由题意知kPQ=-kOM,由P、Q在椭圆上知x122+y12=1,x222+y22=1,两式相减整理得kPQ=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0,而kOM=y0x0,故x02y0=y0x0,即x02=2y02,所以kPQ=22,直线PQ的方程为y=22(x+1),即x2y+1=0.答案:x2y+1=010.(20xx高考山东卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+p24b2),根据已知得a2(1+p24b2)=c2,由|FA|=c,得p24+a2=c2,由可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=x.答案:y=x三、解答题11.如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=83,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin 30=43,y=|OB|cos 30=12.因为点B(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=14x2,y=12x.设P(x0,y0),则x00,y0=14x02,且l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=-1,得x=x02-42x0,y=-1.所以Q为x02-42x0,-1.设M(0,y1),令MPMQ=0对满足y0=14x02(x00)的x0,y0恒成立.由于MP=(x0,y0-y1),MQ=x02-42x0,-1-y1,由MPMQ=0,得x02-42-y0-y0y1+y1+y12=0,即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=14x02(x00)的y0恒成立,所以1-y1=0,y12+y1-2=0,解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).12.(20xx长葛三模)已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线l1:x-2y+35=0相切,点A为圆上一动点,AMx轴于点M,且动点N满足ON=33OA+(1-33)OM,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求OBD面积的最大值.解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AMx轴于M,所以M(x0,0),设圆C1的方程为x2+y2=r2,由题意得r=|35|1+4=3,所以圆C1的方程为x2+y2=9.由题意,ON=33OA+(1-33)OM,所以(x,y)=33(x0,y0)+(1-33)(x0,0),所以x=x0,y=33y0,即x0=x,y0=3y.将A(x,3y)代入x2+y2=9,得动点N的轨迹方程为x29+y23=1.(2)由题意可设直线l:2x+y+m=0,设直线l与椭圆x29+y23=1交于B(x1,y1),D(x2,y2),联立方程y=-2x-m,x2+3y2=9得13x2+12mx+3m2-9=0,=144m2-134(3m2-9)0,解得m20,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F,连接OT、PF.FT为圆的切线,FTOT,且|OT|=a,又T、O分别为FP、FF的中点,OTPF且|OT|=12|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,c2a2=5.b2a2=c2a2-1=4,ba=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.答案:2xy=015.(20xx保定二模)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=22,且过点(-1,-62).(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由e2=c2a2=a2-b2a2=12,可得a2=2b2,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1(ab0),代入点(-1,-62)可得b2=2,a2=4,故椭圆E的方程为x24+y22=1.(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-4m2+2,x1+x2=m(y1+y2)+2t=4tm2+2,x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2t2-4m2m2+2.因为以MN为直径的圆过点A,所以AMAN,所以AMAN=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=2t2-4m2m2+2+24tm2+2+4+t2-4m2+2=3t2+8t+4m2+2=(t+2)(3t+2)m2+2=0.因为M、N与A均不重合,所以t-2,所以t=-23,直线l的方程是x=my-23,直线l过定点T(-23,0),由于点T在椭圆内部,故满足直线l与椭圆有两个交点,所以直线l过定点T(-23,0).探究创新16.(20xx邯郸二模)如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.解析:由抛物线方程知准线l:x=-2,焦点F(2,0),圆的圆心C(2,0),半径r=4.作出抛物线的准线l,过B作BMl于M,由抛物线的定义得|AF|=|AM|,FAB的周长为|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|.又B在圆弧上移动,且A、B、F三点不重合不共线,2xB6,4|BM|0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,ac=OAOF=cos 60=12,ca=2.答案:2