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1 1北京市高三综合练习文科数学第卷(选择题 共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,且,则等于(A)(B)(C)(D)2.已知是虚数单位,则复数所对应的点落在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.已知,则下列不等式正确的是(A)(B)(C)(D)4.在中,“”是“为直角三角形”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件51正(主)视图俯视图222侧(左)视图21一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于(A)(B)(C)(D)6.函数的部分图象如图所示,设为坐标原点,是图象的最高点,是图象与轴的交点,则xBPyO(A)(B)(C)(D)7若,则函数在区间上零点的个数为(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个8已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则的最大值为(A)(B)(C)(D)第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知为等差数列,则其前项之和为_.10已知向量,设与的夹角为,则_.11.在中,若,则_.12平面上满足约束条件的点形成的区域为,则区域的面积为_;设区域关于直线对称的区域为,则区域和区域中距离开始输入否结束输出是最近的两点的距离为_.13.定义某种运算,的运算原理如右图所示.则_;设.则_.14.数列满足,其中,给出下列命题:,对于任意,;,对于任意,;,当()时总有.其中正确的命题是_.(写出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数.()求函数的定义域;()若,求的值.16.(本小题满分13分)如图,菱形的边长为,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.()求证:平面;()求证:平面平面;ABABCCDMODO()求三棱锥的体积.17.(本小题满分13分)由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上(含20岁)100150300()在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从“支持”态度的人中抽取了45人,求的值;()在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体,从这5人中任意选取2人,求至少有人20岁以下的概率;()在接受调查的人中,有8人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体,从中任取个数,求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.(本小题满分14分)设函数,其中为自然对数的底数.()求函数的单调区间;()记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.19.(本小题满分14分)已知椭圆()的焦距为,离心率为.()求椭圆方程;()设过椭圆顶点,斜率为的直线交椭圆于另一点,交轴于点,且成等比数列,求的值.20.(本小题满分13分)若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.()判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.; .()若函数具有性质,且(),求证:对任意有;()在()的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.参考答案及评分标准 数学(文科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 题号12345678答案CBCADBBC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 10. 11. 12. ; 13. ; 14. 注:12、13题第一问2分,第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分,选出错误的命题即得0分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)解:解:()由题意, 2分所以,. 3分函数的定义域为. 4分()因为,所以, 5分, 7分, 9分将上式平方,得, 12分所以. 13分16.(本小题满分13分)()证明:因为点是菱形的对角线的交点,所以是的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,. 2分因为平面,平面,所以平面. 4分()证明:由题意,,因为,所以,. 6分ABCMOD又因为菱形,所以. 7分因为,所以平面, 8分因为平面,所以平面平面. 9分()解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 10分由()知,平面,所以为三棱锥的高. 11分的面积为, 12分所求体积等于. 13分17.(本小题满分13分)解:()由题意得, 2分所以. 3分()设所选取的人中,有人20岁以下,则,解得.5分也就是20岁以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分别记作A1,A2;B1,B2,B3,则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10个. 7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), 8分所以从中任意抽取2人,至少有1人20岁以下的概率为. 9分()总体的平均数为,10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2, 12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为. 13分18.(本小题满分14分)解:()由已知,所以, 2分由,得, 3分所以,在区间上,函数在区间上单调递减; 4分在区间上,函数在区间上单调递增; 5分即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.()因为,所以曲线在点处切线为:. 7分切线与轴的交点为,与轴的交点为, 9分因为,所以, 10分, 12分在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.13分所以,当时,有最大值,此时,所以,的最大值为. 14分19、(本小题满分14分)xyODBE解:()由已知,. 2分解得, 4分所以,椭圆的方程为. 5分()由()得过点的直线为,由 得, 6分所以,所以, 8分依题意,.因为成等比数列,所以, 9分所以,即, 10分当时,无解, 11分当时,解得, 12分所以,解得,所以,当成等比数列时,. 14分20.(本小题满分13分)()证明:函数具有性质. 1分,因为, 3分即,此函数为具有性质.函数不具有性质. 4分例如,当时, 5分所以,此函数不具有性质.()假设为中第一个大于的值, 6分则,因为函数具有性质,所以,对于任意,均有,所以,所以,与矛盾, 所以,对任意的有. 9分()不成立.例如 10分证明:当为有理数时,均为有理数,当为无理数时,均为无理数,所以,函数对任意的,均有,即函数具有性质. 12分而当()且当为无理数时,.所以,在()的条件下,“对任意均有”不成立.13分(其他反例仿此给分.如,等.)()()
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