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1排列组合复习巩固1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第 1 类办法中有mi种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中 有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nmimt Lm*种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第 i 步有种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有：Nmi讥Lmn种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 一_先排末位共有C3然后排首位共有C：t JJ 1最后排其它位置共有A1C4 3A411C3由分步计数原理得C4C3A4288练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元522素内部进行自排。由分步计数原理可得共有As A2A2480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素 一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略 例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种？5解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有A5种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 种A6不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有A：A：_种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队，其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素73之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A；/A；（空位法）设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有A；种方法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人，共有 1 种排法，再把其余 4 四人依次插入共有 _ 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理2练习题:10 人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?五.重排问题求幂策略C103例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推，由分步计数原6理共有7种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为mn种练习题：1.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为_42_2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78六.环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A：并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有(8-1 ) !种排法即7!1一般地,n 个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有A：n练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有A2种，再排后 4 个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有A：种,则共有A4A；A：种排 “后”排一般地,元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5 个不同的小球，装入 4 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 C；种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有A：种 方法，根据分步计数原理装球的方法共有C；A：解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗？练习题：一个班有 6 名战士，其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？、2 2 2解：把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有A；种排法，再排小集团内部共有A；A；种排法，由分步计数原理共有A2A；A2种排法.练习题：EA-.-ABCDEFGHAC41.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水254彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A2A5A42. 5 男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有A；A；A5种十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额 分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个 空隙中，所有分法数为cm,练习题：41.10 个相同的球装 5 个盒中，每盒至少一有多少装法？C92 .x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数G03十一.正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数，不同的取法有多少种?解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数，所取的三个数含有3 个偶数的取法有c|,只含有 1 个偶数的取法有c5c|,和为偶数的取法共有c；c；C；。再淘汰和小于 10 的偶数共 9123种，符合条件的取法共有C5C5C59有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求岀它的反面，再从整体中淘汰.练习题：我们班里有 43 位同学，从中任抽 5 人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？2 2 2解：分三步取书得C6C4C2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为 ABCDEF 若第一步取 AB,第二步取 CD,第三2 2 2步取 EF 该分法记为（AB,CD,EF）,则C6C4C2中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有32223A3种取法，而这些分法仅是（AB,CD,EF） 一种分法，故共有C6C4C2/ A3种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以An（n为均分的组数）避免重复计数。练习题：1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队，有多少分法？ （C；3C；C：/A2）2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人，另两组 3 人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生， 要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为_（C：C；A2/A；90）十三.合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员，其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞，现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5 人中没有人选上唱2 2 1125歌人员共有C3C3种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员C5C3C4种，只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有c/cf种，由分类计数原理共有c；c3c：c；c；种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次 清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。6练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有342. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人，2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人，他们任选 2 只船或 3 只船，但小孩不能单独乘 一只船，这 3 人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C；种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子，现将 5 个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C；种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球,3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法，由分步计数原 理有2C；种对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画岀树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室 4 人每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9）2. 给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色，现有 4 种可选颜色，则不同的着色方法有 72 种十六.分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=2X3X5X7X11X13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C5C；练习：正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线4C812 58,每个四面体有 3 对异面直线，正方体中的 8 个顶点可连成3 58 174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略例 17. 25 人排成 5X5 方阵,现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解:将这个问题退化成 9 人排成 3X3 方阵,现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去 .从 3X3 方队中选 3 人的方法有cQc；种。再从 5X5 方阵选解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共3 号盒 4 号盒 5 号盒C；7出 3X3 方阵便可解决问题选法。从 5X5 方队中选取 3 行 3 列有c；c；选法所以从 5X5 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有8处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题3练习题：某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B 的最短路径有多少种？(C7十八.数字排序问题查字典策略例 18 .由 0, 1, 2, 3, 4, 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数?解：N2A52A：A A A；297数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查，依次求岀其符合要求的个数，根据分类计数原理求岀其总数。练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第 71 个数是 3140十九.树图策略例 19.3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有 _N 10对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用练习：分别编有 1, 2, 3, 4, 5 号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i 1,2,3,4,5)的不同坐法有多少种？N 44二十.复杂分类问题表格策略例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D E 五个字母，现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法解：红111223黄123121321211取法c；c；c；c；clc!C&cfc2一 些 复 杂 的 分 类选 满足的条件，能达到取题，要满足的条件比较多，尢从入手，经常出现重复遗漏 刖好的效果.馬的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中须二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复 的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客” 有 7 种住宿法，由乘法原理得 7 种.排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理岀错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有 _种.误解：因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机，所以只有 2 种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2 台，有C62种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有d种方法，据乘法原理共有C2C；种方法.同理，完成第二类办法中有C：c种方法.据加法原理完成 全部的选取过程共有C2C53C3cj 350种方法.例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有()种.(A)A4(B)43( C)34(D) C：误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3 种选取方法，由乘法原理共有3 3 3 3 34种.35)9说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有 4 种夺冠可能.2 判断不岀是排列还是组合岀错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有A88种方法错因分析：误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法正解：8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这33 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：C856排法.3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 45 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A） 480 种（B） 240 种（C） 120 种（D） 96 种误解：先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人，有 岸种方法，剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法，共有4 A；480种不同 的分法，选 A.错因分析：设 5 本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表 1 和表 2：表表表 1 是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表 2 是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、 丁分得d，最后一本书a给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次正解：首先把 5 本书转化成 4 本书，然后分给 4 个人.第一步：从 5 本书中任意取岀 2 本捆绑成一本书，有 c种方法；第二 步：再把4本书分给4个学生，有AJ种方法.由乘法原理，共有C2A：240种方法，故选 B.例 5 某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）种.（A） 5040（B） 1260（C） 210（D） 630误解：第一个人先挑选 2 天，第二个人再挑选 2 天，剩下的 3 天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：C；C（A31260，选 B.错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了223.正解：C7CSA3630种.24 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而岀错。例 6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（）（A） 36 个 （B） 48 个（C） 66 个 （D） 72 个误解：如右图，最后一位只能是1 或 3 有两种取法，又因为第 1 位不能是 0，在最后一位取定后只有 3 种取法，剩下 3 个数排中间两个位置有A种排法，共有2 3 A36个.错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000 大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有2 3 A336个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72 个，选 D.5 忽视题设条件岀错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解例 7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 _ 种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有 4 种方法，剩下 3 种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的 两块区域，有c32 A；12种，由乘法原理共有：4 12 48种.池1,3甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda10错因分析：没有看清题设“有 4 种颜色可供选择.”不一定需要 4 种颜色全部使用，用 3 种也可以完成任务.正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4 种颜色中选取 3 种有C3种方法，先着色第一区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4 区域，另一种颜色涂第 3、5 区域，有 2 种着色方法，由乘法原理有d 3 2 24种.综上共有：48 24 72种.例 8 已知ax2b 0是关于x的一元二次方程，其中a、b 1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的个数.误解：从集合1,2,3,4中任意取两个元素作为a、b，方程有A个,当a、b取同一个数时方程有 1 个，共有A 1 13个. 错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同 的”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于a1和a2同解、.b 2 b4a 2和a 4同解，故要减去 2 个。 正解：由分析，共有13 2 11个解集不同的一元二次方程.b 1 b 26 未考虑特殊情况岀错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会岀错例 9 现有 1 角、2 角、5 角、1 元、2 元、5 元、10 元、50 元人民币各一张，100 元人民币 2 张，从中至少取一张，共可组成不同的币值 种数是（）（A）1024 种（B）1023 种（C）1536 种（D）1535 种误：因为共有人民币 10 张，每张人民币都有取和不取 2 种情况，减去全不取的 1 种情况，共有21011023种.错因分析：这里 100 元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3 种情况.正解：除 100 元人民币以外每张均有取和不取2 种情况，100 元人民币的取法有 3 种情况，再减去全不取的1 种情况，所以共有293 11535种.7 题意的理解偏差岀错例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.（A）A3A5（B）A8A；A3（ C）A A（D）AA；误解：除了甲、乙、丙三人以外的5 人先排，有A种排法，5 人排好后产生 6 个空档，插入甲、乙、丙三人有A3种方法，这样共有A?A55种排法，选A.错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻.”的情况.“甲、 乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、 乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即A8A；A?，故选 B.8 解题策略的选择不当岀错例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择， 则不同的分配方案有（）.（A） 16 种（B） 18 种（C） 37 种（D） 48 种误解：甲工厂先派一个班去，有3 种选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有3 4 4 48种方案错因分析：显然这里有重复计算.如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与b班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除正解：用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4 4 4 3 3 3 37种方案.排列与组合习题1.6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为（）A. 40B. 50C. 60D. 70C?解析先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 C6= 15 种不同的分法；两组各 3 人共有% = 10 种不同的分法，所以乘车方法数为25X2= 50，故选 B.2.有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A. 36 种B . 48 种 C . 72 种D . 96 种11解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A3A4= 72 种排法，故选C.3 .只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A . 6 个B . 9 个C . 18 个D . 36 个解析因为 10 充的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C8= 28 种走法.6.某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程 人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C1种分法，然后再分到两部门去共有C3A2种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一 组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C1种方法，由分步乘法计数原理共有2C1A2C3=36（种）.7.已知集合 A = 5，B= 1,2，C= 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的 个数为（ ）解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有C2A3=12 个；2所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C2A3+ A3= 18 个;3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C1= 3 个.故共有符合条件的点的个数为12+ 18 + 3= 33 个，故选 A.8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（）A. 72B. 96 C. 108D. 144解析分两类：若 1 与 3 相邻，有 A2CaA2A3= 72（个），若 1 与 3 不相邻有 A3As= 36（个）故共有 72 + 36= 108 个.9.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学 校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 种B. 60 种C. 120 种D. 210 种解析先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为C1,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C1A5=120 种，故选 C.10._安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排 方法共有_ 种.（用数字作答）解析先安排甲、乙两人在后5 天值班，有A5=20（种）排法，其余 5 人再进行排列，有A5=120（种）排法，所以共有 20X120=2400（种）安排方法.11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 _种不同的排法.（用数字作答）解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C4C2C3= 1260（种）排法.12.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.解析先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 C 孚种分法，再将 4 组人员分到解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有1231,1232,1233，而每种选择有A2XC2= 6（种）排法，所以共有 3X6= 18（种）情况，即这样的四位数有 4.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有C1= 3（种）选法，即18 个.A. 2 人或 3 人 B . 3 人或 4 人 C. 3 人 D . 4 人解析设男生有 n 人，则女生有（8-n）人，由题意可得 CnC1-n= 30，解得 n= 5 或 n = 6，代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有（）A. 45 种B . 36 种 C. 28 种D. 25 种A. 24 种B. 36 种 C. 38 种D. 108 种A. 33B . 34C. 35D. 368有 A4种1313要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 _ 种不同的种法(用数字作答).解析5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法.若 1、3 同色，2 有 2 种种法，若 1、3 不同色，2 有 1 种种法，.有 4X3X2X(1X2 + 1X1) = 72 种.14.将标号为 1，2，3, 4，5, 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有A. 504 种B.960 种 C.1008 种D. 1108 种解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有2 A；A：A：种方法甲乙排中间，丙排 7 号或不排 7 号，共有4A；(AA；A3A；)种方法 故共有 1008 种不同的排法16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是(A) 72(B) 96( C) 108( D) 144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先选一个偶数字排个位，有3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m1若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3AAl= 24 个2若 5 排在百位、千位或万位，则1、3 只有两个位置可排，共 3A2A2= 12 个算上个位偶数字的排法，共计3(24+ 12) = 108 个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.15【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三獎 A第一熱 与信息0110两个对应位置上的数字相同有C； = 6(个卜第二樂 与信息0110有一个讨应位置上的数商冃同有1=4(个片第三無 与值息tmo没豆一个对应位上的数字相同育(个卜至多育两个对应位置上的数宇相同的佰患有百+卄1=1!(个人故迭氐“【命题意图】本題等査组合1可题与分粪加法计数原理.属中档题.418. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A. 152B.126C.90D.54【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有c2A 18；若有 1 人从事司机工作，则方案有C3c：A 108种,所以共有 18+108=126 种，故 B 正确分法，故所有分配方案有:C2C2ATA4= 1 080 种.(A) 12 种(B)18 种(C)36 种(D) 54 种【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有B.种方法，共有，故选1419. 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(D )(A) 150 种 (B) 180 种 (C) 300 种 (D)345 种15解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C5C3C2225种选法;2 1 1（2）乙组中选出一名女生有C5CeC2120种选法.故共有 345 种选法.选 D20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分 法的种数为2 2解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有C3A26种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名 男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2?A；=24 种排法；第二类：“捆绑” A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有6A；= 12 种排法第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。此时共有6A|= 12 种排法三类之和为 24+ 12 + 12 = 48 种。22.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位CA 85B 56C 49D 283在同一组的概率为C3C9C：C：A2C42C：C：A3=o5525.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）31 2A7种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有C3A7种，因此共有不同的站法种数是 336 种.26.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4 个汤圆，A.18B.24C.30D.36【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是以种数是c：A；A 3021.2位男生和3位女生共5位同学站成一排， 若男生甲不站两端, A. 60【解析】解法C：，顺序有A种，而甲乙被分在同一个班的有A种，所3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是B. 48C. 42D. 362 2从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有C3A26种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男B 之间（若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此6X2= 12 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 位置插入乙，所以，共有 12X4= 48 种不同排法。【解析】 解析由条件可分为两类： 一类是甲乙两人只去一个的选法有:所以共有 42+7=49，即选 C 项。23. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端,1 2 2 1C2C742，另一类是甲乙都去的选法有C2C7=7，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360B. 188C. 216D. 96解析：6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有3222A3C3A4A2332种，其中男生甲站两端的有A2A；C2A；A2144，符合条件的排法故共有解析 2：由题意有2A2C A；)C2C3A!(C32A2) A188,选Bo24. 12 个篮球队中有 3 个强队，将这12 个队任意分成3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（1311A.B .c.-D.-555543解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有C12C8C4种而 3 个强队恰好被分在同一组分法有c3c；c：c故个强队恰好被分【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有4416则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（）8254860A.B.C.D.91919191一4【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2； 1, 2,171; 2，1，1 三类，故所求概率为C6C；C：C6C52C4C| C；C；48G；9127.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_【解析】分两步完成：第一步将 4 名大学生按，2, 1 , 1 分成三组，其分法有C4C2C1；第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,A30.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_种解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可2434以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去，有C5A4=240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有C5A4=240 种选法；甲、乙、丙都不去，有A4120种选法，共有 600 种不同的选派方案.31.用数字 0，1，2, 3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有_ 个 （用数字作答）.解析：可以分情况讨论： 若末位数字为 0,则 1，2,为一组，且可以交换位置，3, 4，各为 1 个数字，个五位数； 若末位数字为 2,则 1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有2 A；数字为 4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有2 （2全部合理的五位数共有 24 个。32有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发岀红光或绿光，若每次恰有3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解析因为相邻的两个二极管不能同时点亮， 所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上， 共有 C6种亮灯办法然后分步确定每个二极管发光颜色有2X2X2 = 8（种）方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C3X2X2X2= 160（种）.33.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为 2,4,6 个；（2）平均分成 3 个小组；（3）平均分成 3 个小组，进入 3 个不同车间.2 4 6,C?2C8C4 _ 解析（1）c22c1oc6= 13 860（种）；（2） 两 =5 775（种）；C42C4C4（3）分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有AJ A3=C42C8C4= 34 650（种）不同的分法.34.6 男 4 女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（1）任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？种（用数字作答）3其分法有A所以满足条件得分配的方案有28.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为同的放球方法有（）A. 10 种B. 20 种解析：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为C42C2C1A 361 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不C. 36 种D. 52 种1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分4种方法；1 号盒子中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子,情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3 个放入2 号盒子，有C4有C46种方法；则不同的放球方法有10 种，选 A.（0180种3 个班实习，每班至少3 组分到 3 个班，共有（D） 2 7 0种1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组1 人，另两组都315 A 90种不同的分配方案，选 B.共可以组成2A3124个五位数；若末位A2）=8 个五位数，所18解析（1）任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A6A 辭不同排法.（2）方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A9种排法，若甲不在末位，则甲有 A8种排法，乙有 A1种排法，其余有 A8种排法，19综上共有(A9+A8A8A8)种排法.方法二：无条件排列总数甲在首，乙在末 A8A18甲在首，乙不在末 A9-A8甲不在首，乙在末 A9-A8甲不在首乙不在末，共有(A282A9+A8)种排法.(3)10 人的所有排列方法有 A10种，其中甲、乙、丙的排序有 A3种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一 定的排法有 A3种.1件的有 2A10种排法.25X2= 50，故选 B.解恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A3A2=72 种排法，故选 C.3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(4)男甲在男乙的左边的10 人排列与男甲在男乙的右边的10 人排列数相等，而 10 人排列数恰好是这二者之和，因此满足条35.已知m,n是正整数,f (x)(1 x)m(1x)n的展开式中x的系数为 7，(1)2试求f (X)中的X的系数的最小值(2)2对于使f(x)的X的系数为最小的m,n，3求出此时x的系数(3)利用上述结果，求f (0.003)的近似值(精确到 0.01)解：根据题意得：cm1Cn7，即m n 7(1)X2的系数为cmCnm(m 1) n(n 1)2 2m n mn2 22将(1)变形为n 7 m代入上式得：x的系数为m27m 21(m故当m3或4时，x2的系数的最小值为 9(1)当m 3,n4或m 4, n3时，x3的系数为为C3c45(2)f (0.003)2.02351. 6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为A. 40B . 50C. 60D. 70解析先分组再排列，一组2 人一组 4 人有 C2= 15 种不同的分法；两组各C33 人共有益=10 种不同的分法，所以乘车方法数为2.有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有A. 36 种B . 48 种 C. 72 种D. 96 种排列与组合习题20解析因为 10 充的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C8= 28 种走法.A. 6 个C. 18 个D. 36 个解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有1231,1232,1233，而每种选择有A2XC2= 6(种)排法，所以共有 3X6= 18(种)情况，即这样的四位数有C = 3(种)选法，即18 个.4.男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有A. 2 人或 3 人 B . 3 人或 4 人 C. 3 人 D . 4 人解析设男生有 n 人，则女生有(8-n)人，由题意可得 C2Cn= 30，解得 n= 5 或 n = 6，代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有()A. 45 种B . 36 种C. 28 种D. 25 种216. 某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A. 24 种B . 36 种 C. 38 种D. 108 种解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C1种分法，然后再分到两部门去共有C3A2种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一 组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C1种方法，由分步乘法计数原理共有2CA2C3=36（种）.7. 已知集合 A = 5，B= 1,2，C= 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A. 33B. 34C. 35D. 36解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C2A3= 12 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C1A3+ A3= 18 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C= 3 个.故共有符合条件的点的个数为 12+ 18 + 3= 33 个，故选 A.8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（）A. 72B. 96 C. 108D. 144解析分两类：若 1 与 3 相邻，有A2C3A2A3=72（个），若 1 与 3 不相邻有 A%3= 36（个），故共有 72+ 36= 108 个.9. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 种B. 60 种 C. 120 种D. 210 种解析先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为C1,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C1A5=120 种，故选 C.10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_ 种.（用数字作答）解析先安排甲、乙两人在后5 天值班，有A5=20（种）排法，其余 5 人再进行排列，有 A5= 120（种）排法，所以共有 20X120=2400（种）安排方法.11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 _ 种不同的排法.（用数字作答）解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C4C2C3= 1260（种）排法.12.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 _种（用数字作答）.解析先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 省种分法，再将 4
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