高阶导数的计算(共13页)

精选优质文档-倾情为你奉上高阶导数的计算一、 高阶导数定义定义（二阶导数） 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即，此时称在点二阶可导。 如果在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作，或记作，。函数的二阶导数一般仍旧是的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数的三阶导数，记为，或。函数的阶导数的导数称为函数的阶导数，记为，或。相应地，在的阶导数记为： ，。二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。1 。 2 ， （Leibniz公式）其中，。注 将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：。（这里 ），在形式上二者有相似之处。（6）几个初等函数的阶导数公式； ；（4），（5）特别的，当时，有.（7）参数方程的高阶导数求导法则设，均二阶可导，且，由参数方程所确定的函数的一、二阶导数： ， .这里一定要注意，在求由参数方程确定的函数的导数时，是中间变量，而符号表示对求二次导数，因此. 例1 （1）已知，求（2）已知，求解：（1）， （2），.例2 求函数的阶导数解：，显然对任意正整数，有例3 求的阶导数。解 ，.同理可得 。求节导数，通常的方法是求一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，然后仔细观察得出规律，归纳出阶导数的表达式，因此，求阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共同的规律。例4 求函数的阶导数解：，一般地，对任意正整数有例5 求次多项式的各阶导数.解 这就是说，次多项式的一切高于阶的导数都为0.例6 已知 求.解 两端对求导，得 ，整理得 ，故 ，上式两端再对求导，得=，将 代入上式，得.注意 在对隐函数求二阶导数时，要将的表达式代入中，注意，在的最后表达式中，切不能出现.例7 求方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数。解 。例8 已知作直线运动物体的运动方程为，求在时物体运动速度和加速度。解 ，所以有，。二阶导数1.设，其中为二阶可导函数，则（ ）.A、； B、；C、； D、.2、设，其中为可微函数，则（ ）.A、； B、；C、； D、.3.设，则（ ）.A、； B、； C、2； D、.4、设，则（ ）.A、； B、； C、； D、.5.，其中是的函数，则.6.设，则.7、试求由方程所确定的隐函数的二阶导数.8、设，求，； 10证明函数满足关系式；11、 已知函数，求12、，求。解： 高阶导数1、设，则（ ）.A、； B、； C、； D、.2、，则.4设，求。5设，求。6、，求各阶导数。7、设的阶导数.8、设, 求.二阶导数1、C；2、D；5、；6、；7、解： 方程两边同时对求导，得 . 8、解： 9、12、解： ， ， 。= =。高阶导数1、C； 2、；6、解：， ， 一般地，有 即 。7、解 即同理可得8、解 设则由莱布尼兹公式知专心-专注-专业