高中数学常用公式、结论、方法集锦21（终结版）

高二（上）部分1.不等式的基本性质： （1）对称性：（2）传递性：， （3）可加性：（4）加法：，（5）保号性：，；（6）乘法：，（7）乘方：（N*）（8）开方：（nN*）2.均值不等式定理： （1）四种形式：整式形式：，（，R，当且仅当时取“=”号） （，R，当且仅当时取“=”号）根式形式： ，R+，当且仅当时取“=”号)分式形式：（），（）倒数形式：若，则；若，则.（2）推广：（a1，a2，an均为正数）（3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑）已知x、y都是正数，则有：若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值；若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值.3.常用不等式：（1）不等式链：（、均为正数）（2）柯西不等式：4.含绝对值不等式： （1）绝对值的几何意义；（2）性质：|a|-|b|a+b|a|+|b|.（3）推论：|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an| |a|-|b|a-b|a|+|b|等号成立的条件：|a+b|=|a|+|b|ab0|a-b|=|a|+|b|ab0|a|-|b|=|a+b|(a+b)b0|a|-|b|=|a-b|(a+b)b05.不等式的证明方法： （1）比较法：作差、作商（2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质（3）分析法（4）换元法：三角换元、代数换元（5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等（6）反证法（7）放缩法（8）判别式法：（9）数学归纳法6.不等式的解法：（1）一元二次不等式ax2+bx+c0（或0）（a0）.（结合图象求解集）如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2 （x-x1）（x-x2）0；xx2 （x-x1）（x-x2）0.（2）简单的高次不等式：（x-x1）（x-x2）（x-xn）0时，|x|ax2a2xa或x0 |x|ax2a2 -a xa (x-a)(x+a)cx+d：分类讨论（7）|ax+b|cx+d|：两边平方（8）m|ax+b|n：分类讨论或直接去绝对值（9）|ax+b|+|cx+d|1， 则，若0a1，则.若0a0或0或0）Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是.（3）圆的参数方程：（为参数）（4）圆的直径式方程： （4种证法）（圆的直径的端点是、）21.圆系方程：（1）过直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0，是待定系数（2）共交点圆系：过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2），其中1是待定系数特别的，当=1时，（D1D2）x+（E1E2）y+（F1F2）=0为两圆公共弦所在的直线方程.（要求：两圆必须相交！）22.点与圆的位置关系：点P（x0，y0）、圆C：，d=|PC|，则：dr点P在圆外；d=r点P在圆上；dr相离0；d=r相切=0；d0.其中，表示由直线方程和圆方程联立得到的二次方程的判别式.注：（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r.（2）当直线与圆相交时，弦长l，弦心距d，半径r满足：.24.弦长公式：若直线与二次曲线相交于A、B两点，则由二次曲线方程和联立可得，则知直线与二次曲线所截得的弦长|AB|.25.两圆的位置关系：（1）代数法：由两个圆的方程组成二元二次方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解），则两圆相切；若方程组没有实数解，则两圆相离或内含.（2）几何法：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，|O1O2|=d，则：两圆相离 dr1+r2 4条公切线；两圆外切 d=r1+r2 3条公切线；两圆相交|r1-r2|dr1+r22条公切线；两圆内切 d=|r1-r2| 1条公切线；两圆内含 0d|F1F2|0）.注意：若2a=|F1F2|，则点M的轨迹是线段；若2a0，b0，c0）范 围|x|a，|y|b|x|b，|y|a焦 点（c，0）（0，c）顶 点（a，0），（0，b）（0，a），（b，0）对 称 性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点离 心 率准 线焦 距2c半 焦 距c长 轴 长2a长半轴长a短 轴 长2b短半轴长b（1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为，焦点到相对准线的距离为，长轴顶点到相应准线的距离为，长轴顶点到相对准线的距离为，焦点到相应顶点的距离为，焦点到相对顶点的距离为.（2）求椭圆标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为.（3）椭圆的参数方程：（掌握推导方法）：（为参数）：（为参数）说明：参数叫做椭圆的离心角，椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同，且.xyPF2F132.（1）在椭圆的焦三角形F1PF2中，xF2yBAF1设F1PF2=，则：面积；周长C=2a+2c.（2）椭圆中，AB过点焦点F1，则ABF2的周长等于4a.（3）在椭圆的焦三角形F1PF2中，张角当且仅当点P为椭圆的短轴端点时最大.（4）椭圆中过长轴端点的最大弦为长轴；过短轴端点的最大弦的情况为：当离心率，即时，长为，当离心率，即时，长为短轴长.33.椭圆的焦半径公式：，其中F1为左焦点，F2为右焦点，P（x0，y0）.特别的，（1）椭圆上的动点P到某一焦点F的距离d=|PF|有：|PF|max=a+c，|PF|min=a-c（即点P为椭圆长轴上的顶点）.（2）椭圆的通径等于（通径：过焦点且垂直于焦点所在的对称轴的焦点弦）（3）过椭圆左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦.34.点与椭圆的位置关系：点P（x0，y0），椭圆C：（1）点P在椭圆C内.（2）点P在椭圆C上.（3）点P在椭圆C外.35.椭圆系：（1）具有相同离心率的标准椭圆系的方程为或.（2）共焦点的椭圆系的方程为，c为半焦距）.36.直线与椭圆的位置关系： 直线l的方程：y=kx+b，椭圆C的方程：.由直线方程和椭圆方程联立，消y（以此为例），得到一个关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0，其判别式为. （1）直线与椭圆相交0.（2）直线与椭圆相切=0.（3）直线与椭圆相离0.特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入椭圆方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子.此“点差法”很巧妙！ 附：椭圆的切线方程：（1）椭圆上一点P（x0，y0）处的切线方程是.（2）过椭圆外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.37.双曲线的定义：（1）第一定义（距离定义）：| |MF1|-|MF2| |=2a（02a|F1F2|，则点M的轨迹不表示任何图形.（2）第二定义（比值定义）：，其中表示点M到定直线的距离.38.双曲线的标准方程及其几何性质：标准方程图 形F1F2yxOxyF1F2a、b、c的关系c2=a2+b2（a0，b0，c0）范 围|x|a，yR|y|a，xR焦 点（c，0）（0，c）顶 点（a，0）（0，a）对 称 性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点离 心 率准 线渐 近 线焦 距2c半 焦 距c实 轴 长2a实半轴长a虚 轴 长2b虚半轴长b（1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为，焦点到相对准线的距离为，顶点到相应准线的距离为，顶点到相对准线的距离为，焦点到相应顶点的距离为，焦点到相对顶点的距离为.（2）求双曲线标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为或. 39.（1）在双曲线的焦三角形F1PF2中，F1PF2=，则面积. （2）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.40.双曲线的焦半径公式：（掌握推导过程）（1）若点P在右支上，则，；（2）若点P在左支上，则，.其中F1为左焦点，F2为右焦点，P（x0，y0）.特别的，双曲线的通径等于.41.点与双曲线的位置关系：点P（x0，y0），双曲线C：（1）点P在双曲线C内.（2）点P在双曲线C上.（3）点P在双曲线C外.42.双曲线的方程与渐近线方程的关系：（1）若双曲线方程为，则渐近线方程为，即.（2）若渐近线方程为，即，则双曲线方程可设为.43.特殊双曲线： （1）等轴双曲线：实轴和虚轴长相等的双曲线，即，. 性质：两条渐近线方程为且互相垂直；.（2）共轭双曲线：有相同的渐近线且焦点不在同一坐标轴上的双曲线.即与.若设它们的离心率分别为、，则且.共轭双曲线有相等的焦距，四个焦点共圆.44.双曲线系：（重点掌握方法、思路）（1）具有相同焦点的标准双曲线系的方程为 .（2）与椭圆共焦点的双曲线系方程为.（3）若双曲线与有相同的渐近线，则可设为.（4）若双曲线与有相同的离心率，则可设为或两种情形.45.直线与双曲线的位置关系： 直线l的方程：y=kx+b，双曲线C的方程：. 由直线方程和双曲线方程联立，消y（以此为例），得到一个关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0，其判别式为. （1）直线与双曲线相交0.（2）直线与双曲线相切=0.（3）直线与双曲线相离时，直线l只与双曲线的一支相交，交点有两个；如图（3），0.（2）直线与抛物线相切=0.（3）直线与抛物线相离0.注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与抛物线只有一个交点，但不是相切，而是直线与抛物线的对称轴平行.特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. （“点差法”）涉及直线与抛物线的有关问题求解时，一要注意直线斜率是否存在，并分类讨论解决；二要注意焦半径公式和韦达定理的应用.附：抛物线的切线方程（1）抛物线上一点处的切线方程是. （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）抛物线与直线相切的条件是.51.圆锥曲线的对称问题：（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）二次曲线以定点为中点的弦所在的直线方程为.（3）二次曲线关于直线成轴对称的曲线是.52.几个定值： （1）椭圆：椭圆上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和椭圆中心连线的斜率之积为定值，若焦点在y轴上，则定值为；椭圆上任意一点与椭圆长轴的两端点连线斜率乘积是定值，若焦点在y轴上，则定值为；椭圆上任意一点与椭圆短轴的两端点连线斜率乘积是定值，若焦点在y轴上，则定值为；（2）双曲线：双曲线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和双曲线中心连线的斜率之积为定值，若焦点在y轴上，则定值为；双曲线上任意一点（非顶点）与左、右两个顶点的连线的斜率乘积是定值，若焦点在y轴上，则定值为；双曲线上任一点（非顶点）与两顶点A、B的连线交y轴于M、N两点，则|OM|ON|=，若焦点在y轴上，则|OM|ON|=；M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若PM、PN斜率都存在，则它们的斜率之积为定值，若焦点在y轴上，则定值为.（3）抛物线：抛物线有，其中、为A、B的纵坐标.53.曲线A+B=C表示哪些曲线？ 在待定系数A、B、C满足一定的条件下，曲线可以表示点、直线、圆、椭圆、双曲线.54.求轨迹方程（或轨迹）的常用方法：（1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替此等式，化简得曲线得方程，即.（2）定义法（待定系数法）：利用所学过的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义直接写出所求动点的轨迹方程.（3）代入法（相关点法）：若动点P随已知曲线上的点Q的变动而变动，且、可用、表示，则将点Q的坐标代入已知曲线方程，即得到点P的轨迹方程.（4）参数法：选取适当参数，分别用参数表示动点坐标，得出轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程.（5）几何法：动点的几何特征与平面几何的定理有着直接或间接的联系，且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后即可得所求轨迹方程.用此法的关键在于所求轨迹的几何条件与平面几何知识的紧密结合.（6）交轨法：如果所求轨迹是由两条动曲线的交点所得，恰当地引进一个参数，写出两条动曲线地方程，消去参数，即得所求地轨迹方程.第34页