数值分析1绪论-课件-13要点

1数值分析Numerical Analysis数值分析是学习和了解科学计算的桥梁！2数学的一种分类基础数学 （理想化的）计算数学（实用化的） 随机数学（圆滑的）3数值分析学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系6.了解各种方法的算法与程序实现4教材与参考书1.1.数值分析简明教程， 王兵团等， 清华大学出版 社 ,2012,20122.2.NumericalNumerical Analysis,Analysis, （ 7th7th eded， ）BurdenBurden R.L,R.L, FairesFairesJ.DJ.D 影印版，机械工业出版社 ，200120013.3.数学实验基础，王兵团，清华大学出版社， 20082008 考试方法 研究生采用闭卷方式 , ,总成绩为试卷成绩 ; ;本科生部分开卷方式 , ,总成绩 = =期末 70%+70%+平时（ 20%20% ）+ +数值实验（10%10% ）平时成绩 :考勤和课堂参与（ 10% ）、作业（ 10%）5第1章 绪 论本章主要介绍科学计算的特点、 数值分析基本知识和概念， 它们对学 习数值分析、了解科学计算原理，以 及进行科学计算都是很有帮助的。61.1学习数值分析的重要性 思考：用一种计算机语言正确编程，计 算机就一定能给出正确的结果， 问题 是这样简单吗？7例1.1将数列ixn丄dx0 x 5并计算数列写成递推公式形式，解：因为ixn5xn1- 5xn1dx0 x 5i _1ixn1xndx 5 dx=00 x 5In的递推公式1二51-1 n= 1,2,|（1.1）nIn得到计算IJ2，III的值。-5|n_i81丄dxr6x 55由递推公式（1.1）可依次算出Il,I2,实际中，计算时一般需要具体的数据，若取1为准确到小数点后8位的近似值作为初始 值，在字长为8的计算机上编程计算，可出 现1120.3290211 12的结果，这显然是错误的！（为什么？）9用计算机解决实际问题的四个步骤1.建立数学模型；2.选择数值方法 ；(!)3.编写程序；4.上机计算。101.2计算机中的数系与运算特点1.1.计算机的数系数学中的实数cx =10O.aia2a3其中ai O1,2,3,4，9,c为整数。x x 称为十进制浮 点数。;进制的浮点数x =c0.a1a2a3a：Q1,2,3,4,- 1。ii计算机中实数x =c0.a1a2aatq Q1,2,3,4 ,其中 t t（字长）是正整数；一般取为 2,8,102,8,10 和 1616;C（阶码）是整数，L LcJLCU是计算机进行实数运算所用的数系。在F,t,L,U）中，若a厂0称为规格化的浮点数。12机器数系的特点机器数系是有限的离散集。机器数系中有绝对值最大的非零数 （常用 M M 表示）和绝对值最小的非零数（常用 m m 表示）。例如在 4 4 位十进制浮点数系F（ 10,4,-9910,4,-99，9999）中，M =109 0.9999，m=109汽0.0001o若一个非零实数的绝对值大于 M M ，则计算机产 生上溢错误， 若其绝对值小于 m m,则计算机产生 下溢错误。上溢时，计算机中断程序处理；下溢时，计算机 将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢， 还是下溢，都称为溢出错误。计算机把尾数为 0 0 且阶数最小的数表示数零。132.计算机对数的接收与处理计算机对数的接收设非零实数x是计算机接收的实 数，则计算机对其的处理为(1)若x F(：,t,L,U)则原样接收X；(2)若x F( ,t,L,U)，m訂X r，则用F(：,t，L,U)中最接近x的数fl(x)表示并记录x。14计算机对数的运算处理两个数在计算机中参与运算的方式为：1）加减法 先对阶，后运算，再舍入；2）乘除法先运算，再舍入15例，某计算机的数系F(10, 4,99,99)的 两个数x1=0.2337 10-1和x2=0.3364 xfO2, 则运算过程如下fl(为x2)= fl(0.2337 1010.3364 1(f)对阶=fl(0.00023371C 0.3364102)运算=fl(0.33663371tf)舍入=0.3366 10216fl(x1x2p fl(0.2337 1010.3364 102)运算二fl(0.786166810)舍入二0.7862 10 0.7862171.3误差准确值与近似值的差异就是误差， 无处不在。1.1.误差的来源1）.模型误差（也称描述误差） ；2）.观测误差（也称数据误差） ；3）.截断误差 （也称方法误差） ；4）.舍入误差（也称计算误差） 。误18例如要计算e0.32函数值，由于ex的展开式x22!n!用近似公式Xex22!n!去计算e0-32,这样产生的误差就是截断误差192.2.误差的定义(数学描述)定义1.1设x是准确值X*是x的一个 近似值，称差X*X为近似值X*的绝对误 差，简称误差，记为e*或e (x*)，即e (x* )= x*x定义1.2称满足*eXX 的正数*为近似值x*的误差限* * *X兰X兰X +该范围常用X =X* *表示。20定义1.3设x是准确值，x*是x的近似 值，称* *ex- xx x为近似值x*的相对误差，记为e*r或er(x*), 即* *e x - xerx -x x重要结论！相对误差绝对值越小，近似程度越高。21定义1.4称满足*erXX*+x e y)(.x瘁x)证毕。24把微分与导数的知识应用于误差中，有e (x* )= x*x = dx*、x - x dx亠erxd l n xx x绝对误差和相对误差与微分的关系*1)dx二e(x)*2)d l n x匸erx25例1.2考查函数y = xn的相对误差与 自变量x的相对误差关系。解取对数In y = n In x取微分有d In y = nd In x由微分与误差的关系得出* n*erx 二 nerx26定理12设多元函数旷f(%,X2, Xn),自变量(XM，人)的近似值为(xlXjlX；),则有多元函数f (X1，X2/Xn)的误差估计 *小*nf (x；,x2,|H,x；)*e fX1,X2, ,Xne xii =1Xjnf X；,x；|,x；* l丄百*f Xi,X；,|,Xn)*-Hxi)n:rf X*,X；,|,X；八i 二f (X*,x；,H|,x；j哄x* )点Xif(X*,x；,|,x；)i T27证明利用Taylor展式有e u二du二f Xi，X2，|,Xn- f Xi,X2,|,Xnnf x；,x；,|,x；*Xi- Xii =1匸Xinf x；,x；,|,x；*e xii =1Xi28例1.3设有一长方体水池，测得其长、 宽、深分别为50-0.01米，25-0.01米,20-0.01米，试按所给数据求出该水池的容 积，并给出绝对误差限和相对误差限。解：令L,W, H分别代表长方体水池的 长、宽、深；V代表长方体水池的容积，有V=V（L,W,H）=LWH由题意有水池的长、宽、深的近似值为L*=50米，W*=25米，H*=20米，（L*）=（W*）=（H*）= 0.01米29按所给数据求出该水池的容积为:3V V*=V(L=V(L*,W,W*,H,H*)=L)=L*W W*H H*=50=50 2525 20=250020=2500 (米)*: V *V*: V*(e Ve Le We HcLcW*-k-k-k-k-k-kW H e L L H e W LW e HV*；V*: VVLWHcLcWcH二25 20 0.01 50 20 0.01 50 20 0.01 = 27.50米3* * * * * *W H L L HWLW*；H*30V- &5*V27.502500二故有绝对和相对误差限为27.5027.50 米3和 0.11%0.11%314.计算机的舍入误差计算机对x的舍入绝对误差和舍入相对误差有如下估计e( fl (x ) = x fl (x)兰0.5沃0由此可知，计算机对任何实数的舍入相对误 差限与实数本身无关，只与计算机字长t有关，其值为0.5宀。ctx- fl(x)|0.50.1c32因此常称 eps= 0.5 为计算机精度。1.4有效数字科学计算中常用有效数字来估计和处理误差，有效数字易算且与误差有密切关系。*定义1.5若近似数x*的误差限是其某*一位上 基数 的半个单位，就说近似数x*准*确到该位；由该位自右向左数到x*的第一33个非零数字若有n位，就称近似数x*有n位 有效数字 。34有效数字的数学描述设*mx= 0.时2ai/10a, = 0Q 01,2, 9,m为整数，k为不小于正 整数n的整数。若有关系式*e x)=*XX兰0.5沃10mn(1.4)则称近似数x*有n位有效数字， 此时x*有n位有效数字的值可取为-0aia2an10m。35可以证明：果十进制准确数x经过四舍 五入得到近似数X*，则X*的有效数字位为 将X*写为规格化浮点数后的尾数的位数。例如x=0.00345,四舍五入得X*=0.0035=0.35 IO-2可知x*有2位有效数字。有效数字越多，绝对误差和相对误差就 越小，因此近似数就越准确！这是科学计算中要尽可能多保留有效 数字的原因。36例1.4求圆周率3.1415926的近似值人=3.14和x2=3.141的有效数字。解：捲=0.314汇101,x2=0.3141 101,1，由兀 一0.015926 10一_0.159260.50一2有m-n = -2,得n =3,xi有3位有效数字；再由卜 一x x2卜0.00059260.0005926= = 1010 0.59260.5926 0.50.5显1 10 0一2有m-n =-2，得n=3，X2有3位有效数字。37例1.5已知近似数X*有5位有效数字，试 求其相对误差限。解因为x*有5位有效数字，可以设*rmx=- 0.a1a a510 ,印 - 1于是有n=5和X*- X卜0.5乂10 2考虑X*的相对误差*X-X 05105501 “_4 1“一4:兰-兰-兰汇10 汇10 x*0.a1a|a5x10ma12a12故有x*相对误差限为0.5F0-4。38有效数字与相对误差的关系定理1.3设近似数x= 0.a1a a 10,印式0,印0,1,9m为整数，n k有若x*有n位有效数字，则有*|x* _ x|11er (x )=兰F0i (1.5)x2a1，2)若x*的相对误差|x* - X1er(x )=兰- 汇1。1(1.6)rx 2 + 1)则x*有n位有效数字1)39证明1)因为x*有n位有效数字，则有于是*erx0.5 10mn0.5 -0.a1 -O.aolllak10m10【丄10Vn2a1402）由12 a 1101n101一n=21Oalllaf 10：苗2Q1dQlllak2.110mnai.alak:印1110mn2证毕利用定理1.3可以解决一些涉及有效数字和误差关系的问题41例1.6为保证某算式的计算精度，要 求参与计算的323的近似值x*的相对误差小 于0.1%， 请确定x*至少要取几位有效数字 才能达到要求。解先将323写成浮点数。因为2323所以323= 2.a2a3lll= 0.2a2a3lll 101得到ai=2。42假设x*至少要取n位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的（1.5）式，选择满足的最小整数n即可。由厂10“ .1%得104 4，有n -4，故x*至少要取4位有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要12耳101-n101-n20,20 x 50,50 X1的矩阵，计算D=ABC就有如下 不同的算法和计算量：算法1 D=(AB)C计算量N=10500 flop算法2 D=A(BC)计算量N=1200 flop显然算法2的计算量比算法1小，因而算法2比算法1要好。485.病态问题和良态问题1）病态问题因初始数据的微小变化，导致计算结果 的剧烈变化的问题称为 病态问题。例如，线性方程组的准确解为X1=X2=X3= 1把它的系数都舍入r1111-X2+X3 =23611113二+-X2+7X3I23412I11147Xi+ -X2+X3= -.34560(17)49成两位有效数字做小的 扰动后，原方程组变为x10.50 x20.33x3= 1.8I0.50 x0.33x20.25x3= 110.33x 0.25X20.20 x3二0.78这个方程组的准确解为xi=-6.222 , X2=38 25, x3= 33 65此解与扰动前的解完全不同了。方程组（1.7）的求解就是病态问题。病态问题的计算或求解应使用专门的方 法或将其转化为非病态问题来解决。502）良态问题初始数据的微小变化只引起计算结果 的微小变化的计算问题称为良态问题。 例如对方程组2洛 -x2= 6“2 x22的常数项做微小扰动后变为2捲x2= 6X2 x22.00551扰动前方程组的准确解为x1=2 x2= -2而扰动后方程组准确解为x1=1.999，x2=-2.002这两组解之间的差别是不大的。数值分析主要研究良态问题数值解法。6.数值稳定算法 如果一个算法进行计算的初始数据有 误差，而在计算过程中产生的误差不增长，则称该算法为 数值稳定算法 ，否则称为 数值 不稳定算法 。52例1.1.8 8设计算机的数系为F(10,4, L,U)， 今有一批数 据4x 0.5055 10 , X2二X3二 二= 0.450011试求其和S八Xi。i丄解 算法 1 1.(按 xi角标由小到大的顺序计算)40fl(xX2)=fl(0.5055 1040.4500 10)二fl(0.5055 1040.000045 104)二fl(0.505545 104p 0.5055 10 = x,fl(xq X2) X3)二fig X3)= x4最后得S = 0.5055 10