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向量的数量积的概念向量的数量积的概念 【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有_ 【解析】对于，b与c是不共线的两个非零向量，且ab与ca不能都为零，故错误对于，由三角形的两边之差小于第三边知正确对于，由向量的数量积的运算法则，得(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)bc，故错误对于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2，故正确答案： 判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc) 【变式练习1】下列命题中正确的个数是_.若ab0，则a0或b0；(ab)ca(bc)；若abbc(b0)，则ac；abba；若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角 【解析】当a0时，由ab0/ b0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有ab0，故错(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故错设a与b的夹角为，b与c的夹角为，则由abbc，得|a|cos|c|cos/ ac，故错由于向量数量积满足交换律，故正确向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为0，180范围内的角，故错 答案：1向量的夹角向量的夹角 137547223524ab已知 ， 是两个非零向量，且 与 垂直， 与垂直试求 与 的夹角大小；已知， ， 和 的夹角为，求使向量 与 的夹角是钝角时的取值【例 】范围abababababa2 bababab 2222222222375(3 ) (75 ) 0716150.472(4 ) (72 ) 073080.46232.112cos.| |201bb因为 与 垂直，所以 ，即 又因为 与垂直，所以 ，即 得，即代入可得，即设 与 的夹角为 ，则【又因为，所解析】ababababaa bbababababaa bbaba bbababaa baaba.2以 222222222cos453 23.2() ()0()0.32 9 113113011851185662由已知，得因为 与 的夹角是钝角，所以 ，且 与 不共线由得把， ，代入得，解得a babababababababa baba ba babab()111.1.11851185 |166 又若 与 共线，则有 ，即且 ，解得 或 所以 与 不共线时，有综上知， 的取值范围是且 abababababab 数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法(1)题中通过垂直的充要条件，得到|a|b|，这是本题的突破口在等式2abb2中，不能“约去b”，得出“2ab”，注意这一点与实数乘法不同(2)题中，向量的夹角范围是0，并且注意a2|a|2及夹角公式的应用同时，a与b的夹角是钝角，可以得到ab0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件因为a与b的夹角是180时也有ab0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？ 【变式练习2】已知a和b的夹角为60，|a|10，|b|8，求：(1)|ab|；(2)ab与a的夹角的余弦值 2222|2| | cos601108122 10 822 61.7 61cos| |61102 61 【解析】2222ababa2a bbababaabaa baab向量的平行与垂直向量的平行与垂直 【例3】设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a(b2c)，求tan()的值；(2)求|bc|的取值范围；(3)若tantan16，求证ab. 【解析】(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)，a(b2c)4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)4sin()8cos()0.所以tan()2. 22(sincos4cos4sin)|(sincos)(4cos4sin)1715sin2() |24() |4 2.4| 2,4 2.4cossintantan16,sin4cos/ / .23kkZkkZ ，当 ， 有最小值；当 ， 有最大值所以的取值范围是由 ，得所以bcbcbcbcbcab 向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用 1,212 5/ /532222.已知 、 、 是同一个平面内的三个向量，其中 若，且，求 的坐标；若，且【变式练与习垂直，求与角】的夹abcaccacbababab 222222()2 52 520./ /1,2202 .222.20442,441( 2)cxyxyxyxyyxyxxxxyyy 设 ， 因为 ，所以，所以 因为， ，所以 ，即 由，解得或所以 【解析或 ， 】ccaacc 2222222(2 )(2)(2 ) (2) 023202320 *55()*45525 320.42552.cos1.2| |552.20因为 ，所以 ，即 ，所以因为， ，将它们代入中，得 ，所以因为， 所以因为，所以 ababababaa bbaa bb5ab2a ba ba ba5 bab平面向量综合应用平面向量综合应用 213( 31)()2212(324)3ktxtyktxykf tkf t已知平面向量 ， ，证明：；若存在实数 和 ，使 ， ，且，试求函数关系式 ；根据的结论，【确定 的单调区间例 】abababab 2222330.2 3333 32()2213(3)222 331(3 )2233 323() 022133401.1442ttxytktktxyx ytkttkttkktt证明：因为 ，所以由题意知 ， 又，故 ，整理得 ，方法【解析】即 ：33a bab22 222333213( 31)(,),2221.0(3)013340.44132,44333(1)(1)444011011.( 1,1)23xyx ykt tttkkttkf tttkfttttktkttkf t因为 ， ， 所以 ， 且因为，所以 ，即 ，所以 ，即 由知 则 令 ，得 ；令 ，得 或 故 的单调递减区间是，单调递增是方区间法 ：abababab(1)(1) ， 和 ， 本例是向量、函数、导数应用的典型例子第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用 能力训练能力训练能力训练能力训练 例7求证：(acbd)2(a2b2)(c2d2)点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决本例中a2b2，c2d2与向量的模有联系，而acbd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示【例8】如图，用两根绳子把重如图，用两根绳子把重10 N的物体的物体W吊吊在水平杆子在水平杆子AB上，上，ACW150，BCW120，求求A和和B处所受力的大处所受力的大小小(忽略绳子的重量忽略绳子的重量) 1212122110 .,.180150301801206090 .ABf fNffffCf fCFWECWCFf CEf CWfECWFCWFCECFW 设 、 处所受力分别为 、，的重力用 表示，则 以重力作用点 为 、的始点，作平行四边形，使为对角线，则， 因为，所以所以平【行四边形解析】3cos30105 3,21cos6010525 3N5 N.ECECWCECWAB 为矩形所以 ，所以 处受力为， 处受力为 利用向量的理论和方法可以有效地解决物理学中的合力、分力、运动学等许多问题，也为数学应用于实际开辟了新的途径 1两向量的夹角：如图，AOB(0180)叫做向量a与b的夹角当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，a与b垂直，记作ab. 2向量的数量积的几何意义：对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫向量b在a方向上的射影(为a、b的夹角)，向量的数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos的乘积当为锐角时，值为正；当为钝角时，值为负；当为直角时，值为零；当为零时，值为|a|b|；当为180时，值为|a|b|. 21212112222221122 3| cos ().cos| |()()|.1234abx xy yxyxyx yx y 向量的数量积的性质：为 与 的夹角；若 与 同向，则；若 与 反向，则特别地，或若 为 与 的夹角，则已知 ， ，e aa eaaeaba ba baba ba ba aaaa aa bababa ba b 4运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面： (1)两个向量的夹角的取值范围为0，180； (2)两向量的数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开； (3)当a0时，ab0不能推出b一定是零向量，因为当ab(a0)时，ab0； ； (4)用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题； (5)对于实数abbc(b0)ac；但对于向量，由abbc不能得到ac； (6)向量的数量积只适合交换律、加法分配律、数乘向量结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，因(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示与a共线的向量
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