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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013大纲全国，文1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA()A1,2 B3,4,5 C1,2,3,4,5 D2(2013大纲全国，文2)已知是第二象限角，sin ，则cos ()A B C D3(2013大纲全国，文3)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3 C2 D14(2013大纲全国，文4)不等式|x22|2的解集是()A(1,1) B(2,2) C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)5(2013大纲全国，文5)(x2)8的展开式中x6的系数是()A28 B56 C112 D2246(2013大纲全国，文6)函数f(x)(x0)的反函数f1(x)()A(x0) B(x0) C2x1(xR) D2x1(x0)7(2013大纲全国，文7)已知数列an满足3an1an0，则an的前10项和等于()A6(1310) B(1310) C3(1310) D3(1310)8(2013大纲全国，文8)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()Ay21 B C D9(2013大纲全国，文9)若函数ysin(x)(0)的部分图像如图，则()A5 B4 C3 D210(2013大纲全国，文10)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9 B6 C9 D611(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D12(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k()A B C D2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013大纲全国，文13)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.14(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)15(2013大纲全国，文15)若x，y满足约束条件则zxy的最小值为_16(2013大纲全国，文16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Sn.18(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C19(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是边长为2的等边三角形(1)证明：PBCD；(2)求点A到平面PCD的距离20(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率21(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围22(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 答案：B解析：由题意得UA3,4,5故选B2 答案：A解析：是第二象限角，cos .故选A3答案：B解析：(mn)(mn)，(mn)(mn)0.|m|2|n|20，即(1)21(2)240.3.故选B4答案：D解析：|x22|22x2220x240|x|22x0或0x2.故选D5答案：C解析：T21x8222112x6.故选C6答案：A解析：由yf(x)12yx.x0，y0.f1(x)(x0)故选A7答案：C解析：3an1an0an1an，an是以为公比的等比数列又a2，a14.S103(1310)故选C8 答案：C解析：如图，|AF2|AB|，|F1F2|2，由椭圆定义得|AF1|2a.在RtAF1F2中，|AF1|2|AF2|2|F1F2|222.由得a2，b2a2c23.椭圆C的方程为，应选C9答案：B解析：由题中图象可知x0x0.4.故选B10答案：D解析：由题意知y|x1(4x32ax)|x142a8，则a6.故选D11 答案：A解析：如图，设AA12AB2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CHOC1于点H，连结DH.BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1.CH平面ACC1A1，CHBDCH平面C1BDCDH为CD与平面BDC1所成的角OC1.由等面积法得OC1CHOCCC1，.CH.sinCDH.故选A12答案：D解析：设AB：yk(x2)，代入y28x得：k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.(*)0，(x12，y12)(x22，y22)0，即(x12)(x22)(y12)(y22)0.x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.y1y2k(x1x24)，y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4由(*)及得k2.故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13答案：1解析：f(x)是以2为周期的函数，且x1,3)时，f(x)x2，则f(1)f(12)f(1)121.14答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有种可能的结果；第二步，二等奖有种可能的结果；第三步，三等奖有种可能的结果故共有(种)可能的结果15答案：0解析：zxyyxz，z表示直线yxz在y轴上的截距，截距越小，z就越小画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin0.16答案：16解析：如图，设MN为公共弦，长度为R，E为MN中点，连结OE，EK，则OEMN，KEMN.OEK为圆O与圆K所在平面的二面角OEK60.又OMN为正三角形，OER.OK，且OKKE，OEsin 60.R2.S4R216.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以解得a11，.所以an的通项公式为.(2)因为，所以.18解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C，故AC30或AC30，因此C15或C45.19 (1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD因此PBCD(2)解：取PD的中点F，连结OF，则OFPB由(1)知，PBCD，故OFCD又ODBD，OP，故POD为等腰三角形，因此OFPD又PDCDD，所以OF平面PCD因为AECD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OFPB1，所以A到平面PCD的距离为1.20解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”则BB3B1B2B1.P(B)P(B3B1B2B1)P(B3)P(B1B2)P(B1)P()P(B3)P(B1)P(B2)P()P(B1)P().21解：(1)当时，f(x)x3x23x1，f(x)3x2x3.令f(x)0，得，.当x(，)时，f(x)0，f(x)在(，)是增函数；当x(，)时，f(x)0，f(x)在(，)是减函数；当x(，)时，f(x)0，f(x)在(，)是增函数(2)由f(2)0得.当，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)3(x2)0，所以f(x)在(2，)是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.22(1)解：由题设知，即，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，并求得.由题设知，解得a21.所以a1，.(2)证明：由(1)知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列2013 全国大纲卷文科数学 第10页
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