数学四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题 文

第3讲数列的综合问题专题四数列、推理与证明热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一利用Sn，an的关系式求an1.数列an中，an与Sn的关系2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).例例1(2017运城模拟)正项数列an的前n项和为Sn，满足a 3an6Sn4.(1)求an的通项公式；解答即(an1an)(an1an3)0，an0，an1an0，an1an30，即an1an3.an是以4为首项，以3为公差的等差数列，an43(n1)3n1.解答思维升华(2)设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解解bn2nan(3n1)2n，故Tn4217221023(3n1)2n，2Tn4227231024(3n1)2n1，Tn42132232332n(3n1)2n1213(222232n)(3n1)2n1(3n2)2n14，Tn(3n2)2n14.思维升华思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.解答解解当n1时，a1S12，由Sn2n12，得Sn12n2(n2)，anSnSn12n12n2n (n2)，又a1也符合，an2n (nN*).(2)求数列bn的前n项和Tn.解答热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.例例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；解答解解方法一方法一由题设fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.证明思维升华证明证明因为fn(0)10，又fn(x)12xnxn10，思维升华思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视.(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证明中进行适当的放缩.证明跟踪演练跟踪演练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求证：bn是等比数列；证明证明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*)an2(Sn1n)(n2)，两式相减，得an13an2(n2).经检验，当n1时上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比数列.(2)记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，两式相减，得2Tn332333nn3n1证明热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.例例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；解答解解当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项，以 为公比的等比数列，(2)设An ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.证明思维升华证明证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1n6时，Sn120n5n(n1)，当n7时，由于S6570，因为an是递减数列，所以An是递减数列.所以必须在第九年年初对M更新.思维升华思维升华常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b .跟踪演练跟踪演练3一弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n2时，有A.Sn的最小值为100 B.Sn的最大值为400C.Sn0，因为nN*，故n9，从而最小正整数n的值是10.