直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆心在y=0上，故b=0.，圆的方程为(xa)2+y2=r2.又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.22_2.(1-a)+16=r._223a)+4=r解之得：a=1,r2=20.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为4-2kAB=4-=-1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为：1-3y3=x2即xy+1=0.又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为C(1,0)半径r=ac|=J(1+1)2+42=V20.故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为d=|PC=42+1)2+42=V25r.点P在圆外.22例2求半径为4,与圆x+y-4x-2y-4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)2+(yb)2=r2.圆C与直线y=0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4).又已知圆x2+y24x2y4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切，则CA=4+3=7或CA=43=1.(1)当Ci(a,4)时，(a2)2+(41)2=72,或(a2)2+(41)2=12(无解)，故可得a=22v10.所求圆方程为(x22痴)2+(y4)2=42,或(x2+2J10)2+(y4)2=42.(2)当C2(a,4)时，(a2)2+(Y1)2=72,或(a2)2+(Y1)2=12(无解)，故a=22)6.所求圆的方程为(x22/6)2+(y+4)2=42,或(x2+2j6)2+(y+4)2=42.说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如,、2,、2222_,一、2,、2_2(x-a)+(y4)=4.又圆x+y4x2y4=0,即(x-2)+(y1)=3,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切，则CA=4+3.故(a2)2十(41)2=72,解之得a=22d10.所以欲求圆的方程为(x22函)2十(y4)2=42,或(x2+2J10)2十(y4)2=42.上述误解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y=0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.例3求经过点A(0,5),且与直线x2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：:圆和直线x2y=0与2x+y=0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y=0和2x+y=0的距离相等.两直线交角的平分线方程是x+3y=0或3x-y=0.又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3xy=0上.设圆心C(t,3t) C到直线2x + y = 0的距离等号AC第3页共21页2t+3t|，-工=vt2+(3t-5)2-化简整理得t2-6t+5=0.解得：1=1或1=5圆心是(1,3),半径为J5或圆心是(5,15),半径为5v5.所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=5或(x-5)2+(y-15)2=125.说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.解法一：设圆心为P(a,b),半径为r.则P到x轴、y轴的距离分别为b和a.由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为J2r.221r=2b又圆截y轴所得弦长为2.又P(a,b)到直线x2y=0的距离为a-2bd155d2=a-2b2.2,=a4b-4ab2222,a24b2-2(a2b2)22=2b2-a2=1当且仅当a = b时取“二”号，此时dmin.5a =b2b2 -a2 =1a =1或J b=1a = 1b - -1又 r2 =2b2 =2故所求圆的方程为(x-1)2 (y-1)=2 或(x + 1)2 +(y + 1)2 =2解法二：同解法一，得a2bd=5a-2b=*：5d.1-a2=4b24,5bd+5d2.将a2=2b2_1代入上式得:2b24V5bd+5d2+1=0.上述方程有实根，故2=8(5d-1)0,.5，将d=代入方程得b=1.5又2b2=a2+1a=1.a-2b=1知a、b同号.故所求圆的方程为（x_1）2+（y_1）2=2或（x+1）2+（y+1）2:2.说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O：x2+y2=4,求过点P（2,4方圆O相切的切线.解：二点P（2,4六在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k（x-2）+4根据d二r解得所以即一2k 4 =2 .1 k23k =一43 一y = - x -2 443x-4y 10 =0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x=2.说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）.还可以运用x0x+y0y=r2,求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解.例6两圆G：x2十y2十Dix十Eiy十Fi=0与C2：x2十y2十D?x十E?y+F2=0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆Ci、C2的任一交点坐标为（x,y）,则有：22_一一x+y0+DiR+Eiy+Fi=022%+y0+D2%+E2y+F2=0得：(Di-D2)x0+(Ei-E2)y0+Fi-F2=0.A、B的坐标满足方程（D1_D2）乂+（工_2）丫+_52=0.，方程（DiDz）x+（EiEz）y+FiF2=0是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.，两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为（DiDz）x+（EiEz）y+FiF2=0.第5页共2i页说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.例7、过圆x2+y2=1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。练习:221.求过点M(3,1),且与圆(x1)十y=4相切的直线l的方程.解：设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y3k+1=0,圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,.修口=2,解得k=.3,.k2-1243，切线万程为y-1=(x3),即3x+4y13=0,4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x+4y13=0或x=3.22一一5一2、过坐标原点且与圆x2十y24x+2y十一=0相切的直线的方程为25解：设直线万程为y=kx,即kx-y=0,圆万程可化为(x2)2+(y+1)2=，圆心为(2,10、,2k1,101,一-1）,半径为.依题思有=,斛得k=-3或k=一，直线方程为y=-3x或2k2123，1y=x.3223、已知直线5x+12y+a=0与圆x-2x+y=0相切，则a的值为oo5+a一1-，、一解：圆（x1）2+y2=1的圆心为（1,0）,半径为1,=1,解得a=8或a=-18.52122类型三：弦长、弧问题22例8、求直线l:3xy-6=0被圆C：x+y2x4y=0截得白弦AB的长.例9、直线J3x+y_2J3=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d=翼,故弦长AB|=2jr2d2=2,从而oab是等边三角形，故截TT得的劣弧所对的圆心角为.AOB=.3例10、求两圆x2+y2x+y2=0和x2+y2=5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线J3x+y-2J3=0和圆x2+y2=4,判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线y=x+m与曲线y=J4x2有且只有一个公共点,求实数m的取值范围.解：曲线y=j4-x2表示半圆x2+y2=4（y之0）,.利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2Mm2或m=2j2.例13圆（x3）2+（y-3）2=9上到直线3x+4y11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线11、12的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆（x3）2+（y3）2=9的圆心为。1（3,3）,半径r=3.设圆心。1到直线3x+4y-11=0的距离为d ,则d =3x3+4x3-11、3242= 23.第13页共21页如图，在圆心。1同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又rd=3-2=1.与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为3x+4y+m = 0 ,则d =m 11113T7，m+11=5,即m=-6,或m=-16,也即l1:3x+4y6=0,或l2：3x+4y16=0.22设圆O1:（x3）+（y3）=9的圆心到直线11、12的距离为d1、d2，则3d1 =x3+4x3-6-=3 , d2 =7324223 3 4 3-1632 +421，11与。1相切，与圆。1有一个公共点；12与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3x3+4x3-11设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,则d1-2=23.3242，圆O1至ij3x+4y11=0距离为1的点有两个.显然，上述误解中的d是圆心到直线3x+4y11=0的距离，dr,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.22练习1：直线x+y=1与圆x+v2ay=0（aa0）没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有la1Aa,解得一V21a0,0a2-1.练习2：若直线y=kx+2与圆（x2）2+（y3）2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是.一2k-1一44解：依题意有j1,解得0k一，k的取值范围是（0,）.,k2133；3、 圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为J2的点共有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2.2分析：把x2+y2+2x+4y3=0化为（x+1）+（y+2）=8,圆心为（_1,2）,半径为r2222,圆心到直线的距离为22,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于J2,所以选C.4、 过点P(-3,-4昨直线1,当斜率为何值时，直线l与圆CXx-lf+(y+22=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线1的方程为y4=kx3即kx-y3k-4=0根据d_r有k+2+3k-4.-L r ,，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(dr)-(d-r)=2r=6.2.例19已知圆Or（x3）2+（y4）2=1,P（x,y）为圆O上的动点，求d=x2+y2的最大、最小值.22y-2（2）已知圆O2:（x+2）+y=1,P（x,y）为圆上任一点.求2一的最大、最小值，求x2y的x-1最大、最小值.分析：（1）、（2）两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：（1）（法1）由圆的标准方程（x3）2+（y4）2=1.可设圆的参数方程为x=3+cos3j(6是参数).y=4+sin,22.2.2.贝Ud=xy=96cos-cos168sin-sin=26+6cos8十8sin8=26+10cos(-4)(其中tan4=4).所以dmax=26+10=36,dmin=2610=16.（法2）圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1.所以d1=%；32+42+1=6.d2=/3+42-1=4.所以 dmax =36 .dmin =16.22,（2）（法1）由（x+2） +y =1得圆的参数万程:x=-2+cos9，八口8是参数.、y=sinH,则Lysine-2令sine-2川x1cos二-3cos:一3得 sin 0 -t cos0 =2 -3t,.1 t2 sin(u 一 )= 2 一 3t121：13-/3所以t=-t.imax，mmin4y-2AAi1=3/3j_333曰i/313-3即的取大值为,取小值为x-144此时x2y=-2+cos8-2sin6=一2+J5cos(9+巾).所以x2y的最大值为-2十君,最小值为2J5.y-2(法2)设=k,则kxyk+2=0.由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x-1图所示,两条切线的斜率分别是最大、最小值.-2k-k23-.3i2-1=1，得女二二-1k4所以义二2的最大值为3二3,最小值为33x-144令x-2y=t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.,-2mr由d=尸=1,得m=-2J5.5所以x-2y的最大值为-2+卮最小值为-2-而.22例20：已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)2+(y-4)2=4上运动，则PA十PB的最小值是.解：设P(x,y),则|PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x2)2+y2=2(x2+y2)+8=2OP2+8.设圆心22o为C(3,4),贝Uopmin=oc_=5_2=3，PA+|PB的最小值为2x32+8=26.练习：1：已知点P(x,y)在圆x2+(y1)2=1上运动.(1)求匕！的最大值与最小值；(2)求2x+y的最大值与最小值.x-2解：(1)设匕1=k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得x-2最大值与最小值.由2kL=1,解得k=*3,y1的最大值为W3,最小值为虫.,k213x-233(2)设2x+y=m,则m表示直线2x+y=m在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最1 -mI-t-t-大值与最小值.由=1,解得m=1V5,2x+y的最大值为1十J5,最小值为1J5.、52设点P(x,y)是圆x2+y2=1是任一点，求u=y-的取值范围.x1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y,转化为三角问题来解决.解法一：设圆x2+y2=1上任一点P(cos6,sin6)则有x=cos8,y=sin89w0,2n)sin1-2u=,ucoso+u=sin6-2cos11ucos6-sin8=(u+2).即Vu2+1sin中)=u+2(tan*=u)sin(-)(u 2) .u2 1又sin(9中)1u 2u2 1_1,13解之得：u-3.4y-222分析二：u=上二的几何意义是过圆x+y=1上一动点和定点(-1,2)的连线的斜率，利用x1此直线与圆x2+y2=1有公共点，可确定出u的取值范围.解法得:y2=u(x+1),此直线与圆x2+y2=1有公共点，故点(0,0)至U直线的距离d0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x,y).由!PA=a(aA0),得v(x+c)+y=a,PB.(x-c)2y2化简得(1-a2)x2(1-a2)y22c(1a2)x,c2(1-a2)=0.22当a#1时，化简得x2+y2+2c(1+a)x+c2=0,整理得(xF-c)2+y2=(d)2；1-a2a2-1a2-1当a=1时，化简得x=0.所以当a01时，P点的轨迹是以(二_c,0)为圆心，|学上|为半径的圆；a-1|a-1当a=1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由|PA=2PB,得寸(x+2)2+y2=2J(x1)2十y2,化简得(x-2)2+y2=4,.点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4n.2214、已知定点B(3,0),点A在圆x2+y2=1上运动，M是线段AB上的一点，且AM=MB,3问点M的轨迹是什么？11解：设M(x,y),A(x1,y1)./AM=MB,(x-x1,y-y1)=-(3-x-y),1、x - x1 = (3 _ x)31y -y1 = -y3334dx1=-x-13 .点A在圆x2+y2=1上运动,4y1=-y3(4x-1)2+(4y)2=1,即(x32+y2=，点M的轨迹方程是(x_B)2+y2=933416416NAOB的平分线交 AB于点M ,则点M的例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x2+y2=1上运动,轨迹方程是解：设 M(x,y),A(x). OM 是 NAOB 的平分线,AM|OA11一一=1，-AM=-MB.由变式MB|OB331可得点M的轨迹方程是(x0)2+y2=9.416练习巩固：已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.解：设P(x,y),AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为(-y-),且OM_LAB.直线y=kx+1经过定点C(0,1),，OM1CM,22OM-CM”=(x,y)-,-1)=山2+工_1)=0,化简得x2+(y1)2=1-.点P的轨迹方程是222222222x2(y-1)2=1.类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2+y2+x6y+m=0与直线x+2y3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP_LOQ,求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则由kOPkg=-1,可得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为y,由直线l与圆的方x程构造以丫为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决.x解法一：设点P、Q的坐标为(x1 , y1)、(x2, y2). 一方面，由 OP_LOQ ,得.,一 V1kOP koQ = 1 ,即在=1 ,也即: x2x1x2 +yy2 = 0 .另一方面，(x1，必)、(x2 , y2)是方程组x+2y-3 = 02 2的实数解，即x1、x2是方x y x _6y m = 0程 5x2 10x 4m -27 =0的两个根.4m -27x1x2 二5又P、Q在直线x+2y -3 = 0上,11yy2 =2(3-x1) -(3-x2)1S,= 93(x1 +x2)+ x1x2.4第21页共21页 0成立,，-m12将代入，得力丫？：？2.5将、代入，解得m=3,代入方程，检验解法二：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,有221m2人x+y十一(x+2y)(x6y)十一(x+2y)=0,39整理，得(12+m)x2+4(m3)xy+(4m27)y2=0.由于x#0,故可得(4m-27)(y)2+4(m-3)-+12+m=0.xxkop,koQ是上述方程两根.故kopkoQ=1.得12 m4m -27解得m =3 .经检验可知m=3为所求.说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于y的二次x齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感.例26、已知对于圆x2+(y1)2=1上任一点P(x,y),不等式x+y+m之0恒成立，求实数m的取值范围.分析一：为了使不等式x+y+m至0恒成立，即使x+y之m恒成立，只须使(x+y)min之一m就行了.因此只要求出x+y的最小值，m的范围就可求得.解法一：令u=x+y,x+y=u=22,x+(y1)=1得：2y2-2(u1)yu2=0.之0且=4(u+1)2-8u2,4(-u2+2u+1)0.即u2_2u_1)W0,.亚工4十72,umin=142,即(x+y)min=1又x+y+m0恒成立即x+y-m恒成立.(x+y)min=1一J之一m成立,m42-1-分析二：设圆上一点P(cos8,1+sin8)因为这时P点坐标满足方程x2+(y1)2=1问题转化为利用三解问题来解.解法二：设圆x2+(y1)2=1上任一点P(cos6,1+sin6)0e0,2n)x=cos6,y=1+sin6x+y+m之0恒成立cos11sinm_0即m-(1+cos6+sinO)恒成立.只须m不小于(1+cos6+sin9)的最大值.1- J设u-(sin二cos)-1-2sin(i)-11umax=721即m之22-1.说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法.一般地，把圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点设为(a+rcos8,b+rsin)(8w0,2n).采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式.从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换.例27有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用.解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法.解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.AB=10,A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x, y),且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里,B地的运费为a元/公里.因为P地居民购货总费用满足条件：价格+A地运费w价格+B地的运费即：3aq(x+5)2+y2Ma,(x5)2+y2.a0,3.,(x5)2y2三.,(x5)2y2化简整理得：(x空)2y2(15)244,2515以点(-25,0)为圆心15为半径的圆是两地购货的分界线.44B两地购货的总圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、费用相等.因此可随意从A、B两地之一购货.说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型.