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1选修选修4-2 “矩阵与变换矩阵与变换”全书复习全书复习232.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用 具体内容具体内容4 定位定位 低起点低起点以初中数学知识为基础；以初中数学知识为基础； 低维度低维度以二阶矩阵为研究对象；以二阶矩阵为研究对象； 形形数数以以( (几何图形几何图形) )变换研究二阶矩阵。变换研究二阶矩阵。 意图意图 在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。解，对进一步学习和工作打下基础。 5 主要数学思想主要数学思想（1 1）数学化思想；）数学化思想； （2 2）数学建模；）数学建模；（3 3）数形结合的思想；（）数形结合的思想；（4 4）算法思想。）算法思想。 重点重点 通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。念、性质和思想。 难点难点 切变变换，逆变换切变变换，逆变换( (矩阵矩阵) )，特征值与特征向，特征值与特征向量。量。62.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用72.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分在本章中点和向量不加区分.如如:1.1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵本专题研究的矩阵是二阶矩阵, ,对高阶矩阵只是要对高阶矩阵只是要求学生初步了解求学生初步了解. .二阶矩阵如二阶矩阵如: :1001,0 0,xx yOyP x yOP uuu r既可以表示点（），也可以表示以（ ， ）为起点，以（）为终点的向量。两行两列两行两列82.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量3.3.矩阵的概念矩阵的概念从表、网络图、坐标平面上的点（向从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出量）、生活实例等引出. . 即在大量举例的基础上引出矩即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法阵的概念和表示方法. .如如: :某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市从甲矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是200200万吨、万吨、240240万吨、万吨、160160万吨；万吨； 从乙矿区向城市从乙矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是400400万吨、万吨、360360万吨、万吨、820820万吨。万吨。 200240 160400360820 城市城市A A 城市城市B B 城市城市C C甲矿区甲矿区 乙矿区乙矿区 200240 16040036082092.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量4.4.矩阵通常用大写黑体字母表示矩阵通常用大写黑体字母表示. .如如; ;矩阵矩阵A A, , 行矩阵和列行矩阵和列矩阵通常用希腊字母矩阵通常用希腊字母、等表示等表示. .5.5.两个矩阵的行数与列数分别相等两个矩阵的行数与列数分别相等, ,并且对应位置的并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等元素也分别相等时两矩阵相等. .6.6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为二阶矩阵与列向量的乘法法则为: :0110120111221220210220 xaxayaaaayaxay102.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量7.7.强化学生对二阶矩阵与强化学生对二阶矩阵与平面列向量平面列向量乘法的几何意义乘法的几何意义理解理解. .使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的的映射映射, ,为后面学习几种常见的几何变换打下基础为后面学习几种常见的几何变换打下基础. .20201xxyy 表示的几何变换为表示的几何变换为:纵坐标不变纵坐标不变,横坐标变为原来的横坐标变为原来的2倍倍.2:xxxTyyy 8.8.二元一次方程组二元一次方程组 可以表示为可以表示为ax byecx dyfabxecdyf 系数矩阵系数矩阵112.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵) )为为E E: :10012.2.恒等变换恒等变换是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点( (向量向量) )或图形施以或图形施以矩阵矩阵 对应的变换对应的变换, ,都把自己变为自己都把自己变为自己. .10011001xxyy :xxxTyyy 122.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换3.3.伸压变换伸压变换矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩, ,或沿或沿y y轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵. .101022xxyy :2xxxTyyy 伸压变换不是简单地把平面上的点伸压变换不是简单地把平面上的点( (向量向量) “) “向下向下”压压, ,而是向而是向x x轴或轴或y y轴方向压缩轴方向压缩. .1020,0201 132.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换4.4.反射变换反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵点对称的平面图形的变换矩阵. .100 1xxyy :xxxTyyy 101 0-1 00 1,0 10 -10 -11 0 142.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换5.5.一般地一般地, ,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. .1212()AAA这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换. .或点或点152.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换6.6.旋转变换旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵的变换矩阵. .其中其中称为旋转角称为旋转角, ,点点O为旋转中心为旋转中心. .cossincossinsin cossincosxxyxyxyy ( , )P x y( ,)P x yrrcossinxryrcos()coscossinsincossinsin()sincoscossincossinxrrrxyyrrryx 162.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换cossinsin cos0 11 0 xyyx :xxyTyyx 010 1,1 0-1 0 172.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换7.7.投影变换投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线矩阵是指将平面图形投影到某条直线( (或或某个点某个点) )上的矩阵上的矩阵, ,相应的变换为投影变换相应的变换为投影变换. .101 0 xxyx :xxxTyyx 101 00 0,1 00 01 0 7.7.投影变换投影变换矩阵是映射矩阵是映射, ,但不是一一映射但不是一一映射. .182.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换8.8.切变变换切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵. .,(, ):aamA a b A am bTbb 设（），则1 km,0 1bk变换矩阵为192.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换9.9.切变变换切变变换矩阵矩阵 把平面上的点把平面上的点P(x,y)沿沿x轴方轴方向平移向平移 个单位个单位. .1 k0 1ky10.10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时形成的图形时, ,只需考察顶只需考察顶( (端端) )点的变化结果即可点的变化结果即可. .20旋转矩阵旋转矩阵21222.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法1.1.矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是: :111211121111122111121222212221222111222121122222 aab bababababaabbabababab2.2.矩阵乘法矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换几何变换( (先先T TN N, ,后后T TM M) )的复合变换的复合变换. .3.3.矩阵乘法矩阵乘法不满足交换率不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况法不满足交换率的情况.此时此时,我们可以从几何变换角我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候在适当时候,有有些特殊几何变换些特殊几何变换(如两次连续旋转变换如两次连续旋转变换)满足交换率满足交换率.232425262.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法4.4.要求学生从几何变换角度理解要求学生从几何变换角度理解AB.AB.5.5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率率. .ABACBC若，则不一定有2728cos -sincosn -sinnsin cossinn cosnn292.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法6.6.有关转移矩阵有关转移矩阵. .假设某市的天气分为晴和阴两种状态假设某市的天气分为晴和阴两种状态, ,若今天晴若今天晴, ,则明则明天晴的概率为天晴的概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,若今天阴则明天晴的若今天阴则明天晴的概率为概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,这些概率可以通过观察某市这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定以往几年每天天气的变化趋势来确定, ,通常将用矩阵通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率来表示的这种概率叫做转移矩阵概率, ,对应的矩阵为对应的矩阵为转移矩阵转移矩阵, ,而将这种以当前状态来预测下一时段不同而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做状态的概率模型叫做马尔可夫链马尔可夫链, ,如果清晨天气预报如果清晨天气预报报告今天阴的概率为报告今天阴的概率为 , ,那么明天的天气预报会是什那么明天的天气预报会是什么么? ?后天呢后天呢? ?3414132312302.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法 M 晴 阴 晴= 阴今天明天31 4312 43312.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法1122121231113 13432241211124 432241124N 清晨的天气预报今天阴的概率为 ，则今天晴的概率为 ，于是今天的天气可用来刻画，因此明天的天气可用来刻画，即明天晴的概率为，阴的概率为。322.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法3116113 43288241211127 4324288161127288288后天的天气可用来刻画，即后天晴的概率为，阴的概率为。7. 7. 转移矩阵每列的元素的和应该为转移矩阵每列的元素的和应该为1,1,否则做乘法时否则做乘法时, ,容易出问题容易出问题. .332.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵2 2课文从课文从“走过去走过去”、“走回来走回来”的生动形象的话语中的生动形象的话语中引入了逆矩阵和逆变换这样安排让学生在轻松氛围中掌引入了逆矩阵和逆变换这样安排让学生在轻松氛围中掌握握“找到回家的路找到回家的路”的本质是的本质是已知矩阵已知矩阵A A，能否找到一个，能否找到一个矩阵矩阵B B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同果相同也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1 1的顺的顺利解决打下基础利解决打下基础3 3例例1 1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案所以，例案所以，例1 1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识1.1.对于二阶矩阵对于二阶矩阵A,B,A,B,若有若有AB=BA=EAB=BA=E, ,则称则称A A是可逆的是可逆的,B,B称为称为A A的逆矩阵的逆矩阵. .342.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵4 4既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更贴近学生实际贴近学生实际5 5矩阵矩阵 的行列式为的行列式为 , ,则如果则如果 则矩阵则矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵. . bc da bc daadbc b0c da bc da6.矩阵是否可逆的判断矩阵是否可逆的判断几何解释行列式代数解释映射观点 352.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解逆矩阵的求解几何变换方法待定系数方法公式法行列式方法 a bc d dbadbc adbccaadbc adbc8.矩阵矩阵的逆矩阵为的逆矩阵为 362.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后穿鞋先穿袜子后穿鞋”“”“先脱鞋子后脱袜子先脱鞋子后脱袜子”解决了学生解决了学生可能可能会出现的认知障碍学生可以借助于此更好地理解公式会出现的认知障碍学生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1 10新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题过证明命题“已知已知A，B，C为二阶矩阵，且为二阶矩阵，且AB=AC，若矩，若矩阵阵A存在逆矩阵，则存在逆矩阵，则B=C”而既做到前后章节间的呼应，而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率足消去率11.11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成两者，理解它们间的相互为用、相辅相成. .372.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.382.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.AX=B X= AX= A-1-1B B 13.AXC=B X= AX= A-1-1BCBC-1-1 14.392.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少况并不比消元法优越多少.但是但是,当方程组中的未知元很当方程组中的未知元很多时多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.402.5 特征值与特征向量特征值与特征向量1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性理解在矩阵的作用下某些向量的性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性不变性”，从而为学，从而为学生生学习特征值和特征向量打下坚实基础学习特征值和特征向量打下坚实基础2.3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式课乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具之作为一个工具412.5 特征值与特征向量特征值与特征向量4.5.422.5 特征值与特征向量特征值与特征向量432.5 特征值与特征向量特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量的知识有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算我们就可以方便地计算多次变换的结果多次变换的结果.2442.5 特征值与特征向量特征值与特征向量452.5 特征值与特征向量特征值与特征向量投影变换投影变换462.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.通过本节的学习通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济也介绍了它在经济学领域学领域、密码学领域、生物学领域的应用、密码学领域、生物学领域的应用.472.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用482.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用492.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用502.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用 学习总结报告学习总结报告主要内容主要内容51521.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般而不讨论一般mn阶矩阵以及阶矩阵以及(aij)形式的矩阵形式的矩阵.教学建议教学建议2.矩阵的引入要从具体的实例开始矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生通过具体的实例让学生认识到认识到,某些几何变换可以用矩阵表示某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几丰富学生对矩阵几何意义的理解何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线解线性方程组性方程组.不提倡先讲矩阵不提倡先讲矩阵,后讲变换后讲变换.3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率实例让学生理解矩阵乘法的运算率.534.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议教学建议5.应通过大量实例应通过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研究平面借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换图形的几何变换,这样会让学生感到生动这样会让学生感到生动,单纯的平面几何单纯的平面几何变换比较抽象变换比较抽象.6.可以将伸压变换与数学可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来中的三角变换结合起来,体现知体现知识的螺旋上升识的螺旋上升.7.注意伸压变换和伸缩变换的异同注意伸压变换和伸缩变换的异同.548.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点或点)时时,学生可能会感到困难学生可能会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关教师可以先复习定比分点的有关知识知识.自一部分内容不要求掌握自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地理只要求学生能够直观地理解线性变换把直线变成直线解线性变换把直线变成直线(或点或点).教学建议教学建议9.切变变换从几何上可以这样理解切变变换从几何上可以这样理解:保持图形面积大小不保持图形面积大小不变变,而点间距离和线间角可以改变而点间距离和线间角可以改变,且点沿坐标轴运动的变且点沿坐标轴运动的变换换.这些不要求学生掌握这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形只要求学生能结合图形,用书上的用书上的方式直观描述方式直观描述.5510.对于矩阵乘法满足结合率对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证可让学生自己动手验证.教学建议教学建议11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工具来使用，不作为重点，不应展开讨论具来使用，不作为重点，不应展开讨论12.对二元一次方程组来说，用求逆矩阵的方法来解方程对二元一次方程组来说，用求逆矩阵的方法来解方程组并不简便，这里强调的是其思想，无需做大量练习组并不简便，这里强调的是其思想，无需做大量练习13.从具体伸压变换引入从具体伸压变换引入“不变性不变性”不可缺少，只有在建立感不可缺少，只有在建立感性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式地理解特征值和特征向量地理解特征值和特征向量56教学建议教学建议14.14.课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的一个工具使用，不需要展开讨论但是对如何得到这个公一个工具使用，不需要展开讨论但是对如何得到这个公式要作出解释，即要向学生说明为何式要作出解释，即要向学生说明为何()0()0a xbycxd y有不全为零的解时要有不全为零的解时要D=0D=015.将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题用数的严谨求解问题57教学建议教学建议16.网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学习网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学习选修选修4-8，在此不要展开与扩充有关知识对于例，在此不要展开与扩充有关知识对于例5，我们，我们也可以引导有兴趣的学生去学习选修也可以引导有兴趣的学生去学习选修4-6中的公开密钥中的公开密钥17.讲解例讲解例6种群问题时可以适当变换问题背景（例如两个种群问题时可以适当变换问题背景（例如两个商场间的顾客量等），通过这个变化来说明特征值和特征商场间的顾客量等），通过这个变化来说明特征值和特征向量应用的多样性、多方位向量应用的多样性、多方位58
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