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第二章光电磁波相对论第1讲光的折射全反射【知识导图】同一两侧比值频率12sinsin光密介质光疏介质大于或等于反射光入射角折射角1n【微点拨】求解光的折射、全反射问题的四点提醒:(1)光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质,相对于其他不同的介质,可能是光密介质,也可能是光疏介质。(2)如果光线从光疏介质进入光密介质,则无论入射角多大,都不会发生全反射现象。(3)光的反射和全反射现象,均遵循光的反射定律,光路均是可逆的。(4)当光射到两种介质的界面上时,往往同时发生光的折射和反射现象,但在全反射现象中,只发生反射,不发生折射。【慧眼纠错】(1)光的传播方向发生改变的现象叫光的折射。纠错:_。(2)密度大的介质一定是光密介质。纠错:_。光由一种介质进入另一种介质的现象,叫光的折射折射率大的介质为光密介质,密度大的介质折射率不一定大(3)光从空气射入玻璃时,只要入射角足够大可能发生全反射。纠错:_。(4)在水中,红光的传播速度比蓝光的传播速度小。纠错:_。光从玻璃射向空气时,才有可能发生全反射红光的折射率小,根据v= 可知红光的传播速度比蓝光大cn(5)在水池中同一深度的红色和绿色小球,红色小球看起来浅一些。纠错:_球在水中的视深h视= ,因为红光的折射率最小,所以红色球看起来较深。hn实(6)某种玻璃对蓝光的折射率比红光大,蓝光和红光以相同的入射角从空气斜射入该玻璃中,蓝光的折射角较大。纠错:_。由n= 知,以相同的入射角从空气射入该玻璃时,折射率越大,折射角越小,故蓝光的折射角小12sinsin考点1折射定律折射率【典题探究】 【典例1】(2017全国卷)如图,一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体,O点为球心;下半部是半径为R、高为2R的圆柱体,圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入,该光线与OC之间的距离为0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)。求该玻璃的折射率。导学号04450300【解题探究】(1)求玻璃的折射率应用到的公式是什么?提示:n= 。(2)在光折射时,光路是可逆的吗?提示:光路可逆。12sinsin【解析】如图所示,根据光路的对称性与光路的可逆性知,与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行,故从半球面射入的折射光线,将从圆柱体中心C点反射。设光线在半球面的入射角为i,折射角为r,由折射定律有:sin1=nsin2;由正弦定理有: 由几何关系,入射点的法线与OC的夹角为i。设入射光线与OC的距离为L,由题设条件和几何关系有:sin1= ;由以上几式解得:sin2= 答案:1.43212sinsin()2RR LR6,n2.05 1.43205【通关秘籍】 理解折射率的六个角度:(1)公式n= 中,不论是光从真空射入介质,还是从介质射入真空,1总是真空中的光线与法线间的夹角,2总是介质中的光线与法线间的夹角。(2)折射率由介质本身性质决定,与入射角的大小无关。12sinsin(3)折射率与介质的密度没有关系,光密介质不是指密度大的介质,光疏介质不是指密度小的介质。(4)折射率的大小不仅与介质本身有关,还与光的频率有关。同一种介质中,频率越大的色光折射率越大,传播速度越小。(5)同一种色光,在不同介质中虽然波速、波长不同,但频率相同。(6)折射率大小不仅反映了介质对光的折射本领,也反映了光在介质中传播速度的大小v= 。cn【考点冲关】 1.(多选)如图所示,实线为空气和水的分界面,一束蓝光从空气中的A点沿AO1方向(O1点在分界面上,图中O1点和入射光线都未画出)射向水中,折射后通过水中的B点。图中O点为A、B连线与分界面的交点。下列说法正确的是()A.O1点在O点的右侧B.蓝光从空气中射入水中时,速度变小C.若沿AO1方向射向水中的是一束紫光,则折射光线有可能通过B点正下方的C点D.若沿AO1方向射向水中的是一束红光,则折射光线有可能通过B点正上方的D点E.若蓝光沿AO方向射向水中,则折射光线有可能通过B点正上方的D点【解析】选B、C、D。据折射定律知,光由空气斜射入水中时入射角大于折射角,则画出光路图如图所示,知O1点应在O点的左侧,故A错误。光从光疏介质(空气)进入光密介质(水)中时,速度变小,故B正确。紫光的折射率大于蓝光,所以折射角要小于蓝光的,则可能通过B点下方的C点,故C正确。若是红光,折射率小于蓝光,折射角大于蓝光,则可能通过B点上方的D点,故D正确。若蓝光沿AO方向射入,据折射定律,知折射光线不能通过B点正上方的D点,故E错误。2.(2017全国卷)一直桶状容器的高为2l,底面是边长为l的正方形;容器内装满某种透明液体,过容器中心轴DD、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料,其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源,已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直,求该液体的折射率。【解析】设液体的折射率为n,依题意作出光路图如图: 据折射定律有nsin2=sinnsin1=sin依题意有+=90据几何关系有:sin1= 222( )22lllsin2= 联立解得n=1.55答案:1.55 22323()22lll【加固训练】(多选)(2018唐山模拟)如图所示,光在真空和介质的界面MN上发生偏折,那么下列说法正确的是()A.光是从真空射向介质B.介质的折射率为1.73C.光在介质中的传播速度为1.73108 m/sD.反射光线与折射光线成60角E.反射光线与折射光线成90角【解析】选B、C、E。因为折射角大于入射角,所以光是从介质射向真空的,选项A错误。据折射率公式n= ,所以n=1.73,选项B正确。再由折射率n= ,代入数据得v=1.73108 m/s,选项C正确。反射光线与折射光线成90角,选项D错误,E正确。sin 60sin 30cv考点2光的全反射 【典题探究】 【典例2】(2017全国卷)如图,一半径为R的玻璃半球,O点是半球的球心,虚线OO表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)。已知玻璃的折射率为1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上,有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)。求:导学号04450301(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值。(2)距光轴 的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离。R3【题眼直击】有些光线能从球面射出还有些光线发生了_。全反射【解析】(1)如图所示,从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值,这个入射光刚好发生全反射,其临界角C的正弦sinC= ,由几何关系可知从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值dm=RsinC= R12n323(2)设距光轴 的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离为L。由几何关系可知:R3入射角sin= ,由折射定律n= 解得sin= ,=30,由正弦定理得: 解得L= 答案: 13sinsin12LRsin150sin(30)，3 2 23 R5 3 2 23 R21R 235【迁移训练】 迁移1:全反射原理的实际应用 (多选)一光纤通讯中信号传播的主要载体是光导纤维,它的结构如图所示,可看成一段直线,其内芯和外套的材料不同,光在内芯中传播,下列关于光导纤维的说法中正确的是()A.内芯的折射率比外套的大,光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射B.内芯的折射率比外套的大,光传播时在外套与外界的界面上发生全反射C.波长越长的光在光纤中传播的速度越大D.频率越大的光在光纤中传播的速度越大E.若紫光以如图所示角度入射时,恰能在光纤中发生全反射,则改用红光以同样角度入射时,不能在光纤中发生全反射【解析】选A、C、E。当内芯的折射率比外套的大时,光传播时在内芯与外套的界面上才能发生全反射,故A正确,B错误;波长越长的光,频率越小,介质对它的折射率n越小,根据公式v= ,光在光纤中传播的速度越大,故C正确,D错误;根据sinC= 知,折射率越大,全反射临界角越小,红光的折射率小,则全反射临界角大,若紫光恰能发生全反射,则红光不能发生全反射,故E正确。cn1n迁移2:应用全反射原理求入射角或折射角某工件由三棱柱和 圆柱两个相同透明玻璃材料组成,其截面如图所示。ABC为直角三角形,ABC=30, 圆的半径为R,CE贴紧AC。一束单色平行光沿着截面从AB边射入工件后垂直CE进入 圆柱,该玻璃材料对该光的折射率为n= 。1414142(1)求该平行光进入AB界面时的入射角。(2)若要使到达CD面的光线都能从CD面直接折射出,该 圆柱至少要沿AC方向向上移动多大距离?14【解析】(1)光路如图,光线在BC界面发生反射后垂直CE进入 圆柱,由折射定律有 ,由几何关系可知光线在BC界面的入射角=60,在AB界面的折射角=30解得=45。14sinsin(2)设该光全反射临界角为,则 =n,解得=45,光线在CD面的入射角为45,是光线能直接折射出来的临界情况,则该 圆柱至少要上移的距离d=R-Rsin = R。答案:(1)45(2) R1sin14222222迁移3:应用全反射原理求极值如图,一透明半圆柱体折射率为n= ,半径为R、长为L。一平行光束从半圆柱体的矩形表面垂直射入,从部分柱面有光线射出。求该部分柱面的面积S。 2【解析】半圆柱体的横截面如图所示,OO为半圆的半径。设从A点入射的光线在B点处恰好满足全反射条件,由折射定律有sin= 式中,为全反射临界角将n= 代入解得,= 由几何关系得OOB=1n24S=2RLOOB代入题给条件得 S= RL答案: RL22【通关秘籍】 1.解决全反射问题五步走:(1)确定光是从光密介质进入光疏介质。(2)应用sinC= 确定临界角。(3)根据题设条件,判定光在传播时是否发生全反射。(4)如发生全反射,画出入射角等于临界角时的临界光路图。1n(5)运用几何关系或三角函数关系以及反射定律等进行分析、判断、运算,解决问题。2.求解全反射现象中光的传播时间的三个注意事项:(1)全反射现象中,光在同种均匀介质中的传播速度不发生变化,即v= 。(2)全反射现象中,光的传播路程应结合光路图与几何关系进行确定。(3)利用t= 求解光的传播时间。cnvl【加固训练】半径为R、介质折射率为n的透明圆柱体,过其轴线OO的截面如图所示。位于截面所在平面内的一细束光线,以角i0由O点入射,折射光线由上边界的A点射出。当光线在O点的入射角减小至某一值时,折射光线在上边界的B点恰好发生全反射。求A、B两点间的距离。【解析】当光线在O点的入射角为i0时,设折射角为r0,由折射定律得 =n00sinisinr设A点与左端面的距离为dA,由几何关系得sinr0= 若折射光线恰好发生全反射,则在B点的入射角恰好为临界角C,设B点与左端面的距离为dB,由折射定律得sinC= 由几何关系得22ARdR1nsinC= 设A、B两点间的距离为d,可得d=dB-dA联立式得d= 答案: B22BddR22020nsin i1()Rsinin122020nsin i1()Rsinin1考点3光的色散及光路控制问题 【典题探究】 【典例3】(2015重庆高考)虹和霓是太阳光在水珠内分别经过一次和两次反射后出射形成的,可用白光照射玻璃球来说明。两束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带,光路如图所示。M、N、P、Q点的颜色分别为()导学号04450302 A.紫、红、红、紫B.红、紫、红、紫C.红、紫、紫、红D.紫、红、紫、红【解析】选A。因为玻璃对红光的折射率最小,对紫光的折射率最大,所以由题图可知,M、N、P、Q点的颜色分别为紫、红、红、紫,故选项A正确,选项B、C、D错误。【通关秘籍】 1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制:类别类别项目项目平行玻璃平行玻璃砖砖三棱镜三棱镜圆柱体圆柱体( (球球) )结构结构玻璃砖上玻璃砖上下下表面是平表面是平行行的的横截面横截面为三角为三角形形横截面是圆横截面是圆类别类别项目项目平行玻璃平行玻璃砖砖三棱镜三棱镜圆柱体圆柱体( (球球) )对光线对光线的作用的作用 通过平行通过平行玻璃砖的玻璃砖的光线不改光线不改变传播方变传播方向向, ,但要但要发生侧移发生侧移 通过三棱通过三棱镜的光线镜的光线经两次折经两次折射后射后, ,出射出射光线向棱光线向棱镜底边偏镜底边偏折折 圆界面的圆界面的法线是过法线是过圆心的直圆心的直线线, ,经过两经过两次折射后次折射后向圆心偏向圆心偏折折类别类别项目项目平行玻璃平行玻璃砖砖三棱镜三棱镜圆柱体圆柱体( (球球) )应用应用测定玻璃测定玻璃的折射率的折射率全反射全反射棱镜棱镜, ,改改变光的变光的传播方传播方向向改变光的传改变光的传播方向播方向2.各种色光的比较:颜色颜色红橙黄绿蓝靛紫红橙黄绿蓝靛紫频率频率低低高高同一介质中的折同一介质中的折射率射率小小大大同一介质中的速同一介质中的速度度大大小小波长波长大大小小临界角临界角大大小小【考点冲关】 1.(多选)(2018昆明模拟)如图所示,一束光斜射向厚度为d的矩形玻璃砖,经它折射后射出a、b两束光线,则下列说法正确的是()A.玻璃砖对a光的折射率小于对b光的折射率B.在真空中,a光的波长小于b光的波长C.在玻璃中,a光的传播速率大于b光的传播速度D.从玻璃砖底边射出的a、b光传播方向不平行E.如果只将玻璃砖的厚度d减半,那么从玻璃砖底边射出的a、b光线间的距离将减小【解析】选A、C、E。a光的偏折程度小,折射率小,故A正确;在真空中,折射率小的光波长长,故B错误;在玻璃中v= ,知a光的传播速度较大,C正确;根据平行玻璃砖对光的控制作用,知出射光与入射光平行,D错误;当玻璃砖的厚度减半时,a、b两出射光的间距也会减小,E正确。cn2.(多选)如图所示,真空中有一个半径为R、质量分布均匀的玻璃球。频率为f的激光束在真空中沿直线BC传播,在C点经折射进入玻璃球,并在玻璃球表面的D点经折射进入真空中,已知COD=120,玻璃球对该激光的折射率为 ,则下列说法中正确的是(设c为真空中的光速)()3A.激光束的入射角i=60B.改变入射角i的大小,激光束可能在玻璃球的内表面发生全反射C.激光束在射入玻璃球后,频率变小D.此激光束在玻璃中的波长为 E.从C点射入玻璃球的激光束,在玻璃球中不经反射传播的最长时间为 3c3f2 3Rc【解析】选A、D、E。由图可知折射角=30,则 所以sin i= ,i=60,选项A正确;当入射角i90时,折射角均小于临界角,根据几何知识可知光线在D点的入射角不可能大于临界角,所以在D点不可能发生全反射,选项B错误;光的频率由光源决定,与介质无关,所以光穿越玻璃球时频率不变,选项C错误;此激光束在sin i3sin 30。32玻璃中的波速为v= ,由v=f得此激光在玻璃中的波长为= ,选项D正确;从C点射入玻璃球的激光束,在玻璃球中不经反射传播的最长路程为s=2R,则最长时间为t= ,选项E正确。cnvc3cfnf3fs2R2 3Rcvc3【加固训练】(多选)如图所示,截面为ABC的玻璃直角三棱镜放置在空气中,宽度均为d的紫、红两束光垂直照射三棱镜的一个直角边AB,在三棱镜的另一侧放置一平行于AB边的长光屏,屏的距离远近可调,在屏上出现紫、红两条光带,则()A.可能紫色光带在上,红色光带在下,紫色光带较宽B.可能紫色光带在下,红色光带在上,紫色光带较宽C.可能红色光带在上,紫色光带在下,红色光带较宽D.可能红色光带在下,紫色光带在上,红色光带较宽E.紫色光在玻璃中传播速度小于红光【解析】选C、D、E。两束光垂直直角边AB射入玻璃时方向不变,射到斜边AC时入射角相同。由于玻璃对紫光的折射率大于红光的折射率,根据折射定律得知,从AC边射出后,紫光的折射角大于红光的折射角,紫光与光屏的夹角小于红光与光屏的夹角,当光屏与玻璃直角三棱镜距离较近时,紫色光带在上,红色光带在下,紫光较窄,红光较宽。当光屏与玻璃直角三棱镜距离较远时,紫色光带在下,红色光带在上,由于从AC边射出后,紫光的折射角大于红光的折射角,紫光与光屏的夹角小于红光与光屏的夹角,紫光较窄,红光较宽。故A、B错误,C、D正确;因紫光的折射率大于红光,根据v= 可知,紫光在玻璃中的传播速度小于红光,故E正确。cn考点4实验:测定玻璃的折射率 【典题探究】 【典例4】(2018郑州模拟)(1)几位同学做“用插针法测定玻璃折射率”实验,图示直线aa、bb表示在白纸上画出的玻璃砖的两个界面。几位同学进行了如下操作:A.甲同学选定的玻璃砖两个光学面aa与bb不平行,其他操作正确B.乙同学在白纸上正确画出平行玻璃砖的两个界面aa和bb后,将玻璃砖向aa方向平移了少许,其他操作正确C.丙同学在白纸上画aa、bb两界面时,其间距比平行玻璃砖两光学面的间距稍微大些,其他操作正确上述几位同学的操作,对玻璃折射率的测定结果没有影响的是_(填写选项前的字母)。 (2)在用插针法测玻璃砖折射率的实验中,已确定好入射方向AO,插了两枚大头针P1和P2,如图所示(是三条直线)。在以后的操作说法中你认为正确的是_。 A.在bb侧调整观察视线,另两枚大头针P3和P4可能插在线上B.保持O点不动,减小入射角,在bb侧调整观察视线,另两枚大头针P3和P4可能插在线上C.保持O点不动,增大入射角,在bb侧调整观察视线,看不清P1和P2的像,这可能是光在bb侧面发生全反射【解析】(1)甲同学选定的玻璃砖两个光学面aa和bb不平行,不会影响入射角和折射角的确定;乙同学将玻璃砖向aa方向平移了少许,直线aa、bb之间的距离仍然等于玻璃砖的厚度,入射角和折射角的大小不变;丙同学在白纸上画aa和bb间距比平行玻璃砖两光学面的间距稍微大些,使画出的入射点向左移,出射点向右移,所画的折射角比实际值大,算得的折射率将偏小。(2)由折射定律得知,光线通过平行玻璃砖后向一侧发生侧移,由于光线在上表面折射时,折射角小于入射角,则出射光线向一侧偏移,如图,故另两枚大头针P3和P4不可能插在线上,故A错误。若保持O点不动,减小入射角,折射角也减小,另外两枚大头针P3和P4可能插在线上,故B正确。若保持O点不动,增大入射角,在bb侧调整观察视线,看不清P1和P2的像,反射光增强,折射光线减弱,根据光路可逆性原理得知,光线不可能在bb 界面发生全反射,故C错误。答案:(1)A、B(2)B【通关秘籍】 1.实验步骤:(1)铺白纸、画线。如图所示,将白纸用图钉按在绘图板上,先在白纸上画出一条直线aa作为界面,过aa上的一点O画出界面的法线NN,并画一条线段AO作为入射光线。 把平行玻璃砖平放在白纸上,使它的边长跟aa对齐,画出玻璃砖的另一条长边bb。(2)插针与测量。在线段AO上竖直地插上两枚大头针P1、P2,透过玻璃砖观察大头针P1、P2的像,调整视线的方向,直到P1的像被P2挡住,再在观察的这一侧依次插两枚大头针P3、P4,使P3挡住P1、P2的像,P4挡住P1、P2的像及P3,记下P3、P4的位置。移去玻璃砖连接P3、P4并延长交bb于O,连接OO即为折射光线,入射角1=AON,折射角2=OON。用量角器测出入射角和折射角,查出它们的正弦值。改变入射角1,重复实验,记录相关测量数据。2.数据处理:(1)计算法:用量角器测量入射角1和折射角2,并查出其正弦值sin1和sin2。算出不同入射角时的 ,并取平均值。12sinsin(2)作sin1-sin2图象:改变不同的入射角1,测出不同的折射角2,作sin1-sin2图象,由n= 可知图象应为直线,如图所示,其斜率就是玻璃折射率。12sinsin(3)“单位圆法”确定sin1、sin2,计算折射率n。以入射点O为圆心,以一定长度R为半径画圆,交入射光线OA于E点,交折射光线OO于E点,过E作NN的垂线EH,过E作NN的垂线EH。如图所示,sin1= ,sin2= ,OE=OE=R,则n= 。只要用刻度尺测出EH、EH的长度就可以求出n。EHOEEHOE 12sinEHsinEH 【考点冲关】 1.(2016四川高考)某同学通过实验测定半圆形玻璃砖的折射率n。如图甲所示,O是圆心,MN是法线,AO、BO分别表示某次测量时光线在空气和玻璃砖中的传播路径。该同学测得多组入射角i和折射角r,作出sini-sinr图象如图乙所示。则()导学号04450303A.光由A经O到B,n=1.5B.光由B经O到A,n=1.5C.光由A经O到B,n=0.67D.光由B经O到A,n=0.67【解析】选B。由图象可得:sinisinr,则 ir,所以光线从玻璃射入空气折射,即光由B经O到A。根据折射定律得 由图象得: 所以可得,n=1.5,故B正确,A、C、D错误。sini1sinrnsini0.61sinr0.9 1.52.在“测玻璃的折射率”实验中:(1)为了取得较好的实验效果,A.必须选用上下表面平行的玻璃砖; B.选择的入射角应尽量小些;C.大头针应垂直地插在纸面上;D.大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些。其中正确的是_。 (2)甲同学在画界面时,不小心将两界面aa和bb间距画得比玻璃砖宽度大些,如图1所示,则他测得的折射率_(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。 (3)乙同学在量入射角和折射角时,由于没有量角器,在完成了光路图以后,以O点为圆心,OA为半径画圆,交OO延长线于C点,过A点和C点作垂直法线的直线分别交于B点和D点,如图2所示,则他只需要测量_ _,就可求出玻璃的折射率n=_。 【解析】(1)选C、D。用插针法测定折射率时,玻璃砖上下表面不一定要平行,故A错误;为了减小测量的相对误差,选择的入射角应尽量大些,可减小相对误差,效果会更好,故B错误;为了准确确定入射光线和折射光线,大头针应垂直地插在纸面上,故C正确;大头针P1和P2及P3和P4之间的距离适当大些时,相同的距离误差,引起的角度误差会减小,效果会好些,故D正确。(2)如图,实线是真实的光路图,虚线是玻璃砖宽度画大后的光路图,由图看出,在这种情况测得的入射角不受影响,但测得的折射角比真实的折射角偏大,根据折射定律n= 可知,测得的折射率偏小。sinisinr(3)根据折射定律得,n= 可知需要测量AB、CD的距离,折射率为 n= 。答案:(1)C、D(2)偏小(3)AB、CD的距离 ABsin AOBABAOsin DOCDCDCCO，ABDCABDC【加固训练】用三棱镜做测定玻璃折射率的实验。先在白纸上放好三棱镜,在棱镜的一侧插上两枚大头针P1和P2,然后在棱镜的另一侧观察,调整视线使P1的像被P2的像挡住。接着在眼睛所在的一侧插两枚大头针P3、P4,使P3挡住P1、P2的像,P4挡住P3和P1、P2的像,在纸上标出的大头针位置和三棱镜轮廓如图所示。(1)在图上画出所需的光路。(2)为了测出棱镜玻璃的折射率,需要测量的量是_,在图上标出它们。(3)计算折射率的公式是n=_【解析】(1)如图所示,画出通过P1、P2的入射光线,交AC面于O,画出通过P3、P4的出射光线交AB面于O。连接OO,则光线OO就是入射光线P1P2在三棱镜中的折射光线。(2)在所画的图上注明入射角1和折射角2,并画出虚线部分。方法一:用量角器量出1和2。方法二:用直尺测出线段EF、OE、GH、OG的长度。方法三:以入射点O为圆心,以适当长R为半径画圆,交入射光线于I,交折射光线(或折射光线的延长线)于J,过I、J两点分别向法线NN作垂线交法线于I、J点。用直尺量出II和JJ的长。(3)方法一: 方法二:因为 则 12sinnsin12EFGHsinsinOEOG ，EFEFOGOEnGHOEGHOG。方法三:因为 答案:见解析12IIJJIIsinsinnRRJJ ，则
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