天津市青光中学高二数学 抛物线的几何性质课件

抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)02(，p)20,(p)20,(p)0(22ppxy)02(，p2px2px 2py2py y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的直线过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段被抛物线截得的线段AB叫做抛叫做抛物线的通径，物线的通径，),2(),2(ppBppA、长为长为2pP越大，开口越阔图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2抛物线的几何性质特点抛物线的几何性质特点（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。但没有渐进线。（2）只有一条对称轴，没有对称中心。）只有一条对称轴，没有对称中心。（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。（4）离心率）离心率e是确定的，即是确定的，即e =1 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大）一次项系数的绝对值越大，开口越大练习：练习：求适合下列条件的抛物线的方程求适合下列条件的抛物线的方程（2）顶点在原点，焦点是（）顶点在原点，焦点是（0，5）（3）焦点是）焦点是F（0，-8-8），准线是），准线是y8（1）顶点在原点，关于）顶点在原点，关于x轴对称，并且经轴对称，并且经过点过点M（5，-4-4）（4）顶点在原点，以）顶点在原点，以x轴为对称轴，轴为对称轴，通径长为通径长为m(m0)例例1 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图）探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如图）光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深灯深40cm，求抛物线的标准方程。，求抛物线的标准方程。xyoFAB 分析：在探照灯的轴截面所在平面内分析：在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于轴垂直于灯口直径。设抛物线的标准方程为灯口直径。设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，由题意得，点，由题意得，点A的坐标为的坐标为（40，30）代入方程得）代入方程得445p所以所求抛物线的标准方程是所以所求抛物线的标准方程是y2= x245例例 2、已知抛物线顶点在原点，以、已知抛物线顶点在原点，以 x 轴为轴为对称轴且与圆对称轴且与圆 x2y24 相交的公共弦长相交的公共弦长为为 2 3 ，求抛物线的方程。，求抛物线的方程。 xyOAB22333 ,3 .yxyx 解:易得A(1,),或A(1,-)则或例例3、已知抛物线、已知抛物线y24x，设，设A（2，0），），P是是抛物线上的点，求抛物线上的点，求PA的最小值。的最小值。222,4242.xyxxx222解:PA = () +y又则 PA = () +4x例例4、已知、已知AB是抛物线是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）（1）求证：）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。（2）若弦）若弦AB被焦点分成长为被焦点分成长为m，n的两部分，求证：的两部分，求证：1/m1/n2/p。(已证已证)（3）设）设为直线为直线AB的倾斜角，求证：当的倾斜角，求证：当90o时，取时，取得得AB的最小值的最小值2p。 (已证已证)（4）求证：焦点）求证：焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。（5）若弦）若弦AB过焦点，求证：以过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线为直径的圆与准线相切。相切。 (已证已证)4OBOAkk211221222111( ,), (,),22,2.OCOAA x yB xyy yppBCxCyyypkkpyxAC 解:设由结论(1)知由轴点在准线上,则C，则直线必过原点课堂小结课堂小结（1）抛物线的简单几何性质）抛物线的简单几何性质（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点（3）应用性质求标准方程的方法和步骤）应用性质求标准方程的方法和步骤图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2