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第2讲函数的应用专题二函数与导数热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一函数的零点1.零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，f(4) 20，故零点所在区间为(2,4).(2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解的个数是A.0 B.2C.4 D.6答案解析思维升华解析解析运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)，ylog3|x|的图象，结合图象可以看出：两个函数yf(x)，ylog3|x|有四个不同的交点，即方程f(x)log3|x|有四个解，故选C.思维升华思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定.(2)零点个数的确定.(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.跟踪演练跟踪演练1(1)(2017届河北磁县一中月考)函数f(x)|x| 3的零点所在的区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)答案解析(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f(x) log2|x|在区间3,5内解的个数是A.5 B.6 C.7 D.8答案解析解析解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.答案解析思维升华思维升华思维升华方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数.(，2解析解析由分段函数可知，当x0)有两个交点，(2)(2017届河南中原名校质检)已知定义在(0，)上的函数f(x)|4x(1x)|，若关于x的方程f 2(x)(t3)f(x)t20有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是_.答案解析思维升华思维升华思维升华关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域.解析解析设g(y)y2(t3)yt2，当t2时，y0，y1显然符合题意.当t2时，一正根一负根，g(0)0，g(1)2时，两根同号，只能有一个正根在区间(0,1)上，而g(0)t2，g(1)2t40，跟踪演练跟踪演练2(1)已知函数f(x) 若关于x的方程f(x)kk0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_.答案解析0,1)(2，)结合图象可以看出当0k2时符合题设.(2)(2017全国)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a等于答案解析解析解析方法一方法一f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数.f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a .故选C.方法二方法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.当且仅当x1时取“”.x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”.若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a .若a0，则f(x)的零点不唯一.故选C.热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.思维升华思维升华关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.例例3(2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50 x120)的关系可近似表示为：解答思维升华(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？解解当x50,80)时，当x80,120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低.(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？思维升华思维升华对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.解答思维升华当x50,80)时，当x120时，l取得最小值10.因为100，xR).若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_.答案解析123因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，123所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，1232.(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与y m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_.(0,13，)答案解析123123要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去).综上所述，m(0,13，).1238答案解析123解析解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1xa)，x1(xa)，x2(xa).再借助数轴，可得1a2.所以实数a的取值范围是1,2)，故选D.3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.押题依据押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.20答案解析押题依据123解析解析如图，过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F，123即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.
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