第四讲高斯公式与斯托克斯公式汇总

高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式*上，TJfJIf:两类曲面积分之间的联系JJP(x,5z)dvdz=JJ尸(x.y,z)cosadSZEJjQ*,y.z)dxdz=jjQ(x,y.z)cosfldSZ0/?(x.y,z)dxdz=Jj/?(x,y,z)cos7ds一、高斯公式:定理设空间闭区域Q是山分片光滑的闭曲面所困成，函数P(x,y,z)Qx,y,z)、R(x,y9z)在Q上具有一阶连续偏导数,则有“rrrdQOR件Pdydz+Qd=dx+Rdxdy=jjj(-+M-tdydzh八”dQdR(Pcosa+Qcosp+Rcosy)dS=fjf(+Xh，eo女这里上是。的整个边界的外侧.例1求JJ(x-y)dxdy+(y-z)xdydz,Z：x2+j2=l及z=0、z=3所围闭区域C边界曲面的外侧。铤1bvrrrdQJR.1原式=fff(F1)dxdydz当dxdydz=jjj(y-Z)dxdydz=jjj(-z)dxdydzQQ柱坐标21IFjrf9=4II-zxdydz九杭立右例2计算JJ(x2cosa+j2cosp+z2cosy)dS,：%+y-=z-介于z=0及z=%（力0）之间部分下侧，cosa,cosp,cos丫是E法向量的方向余弦.解jj(x-cos(X+y2cos/+zcosy)dS=jjxdydz+ydxdz+zdxdy令&:z=(x2+y2/J),取上侧,E+Z围成空间区域Q.jjx2dydz+ydxdz+zdxdy=ffJE|Gauss=2jjJ(x+y+z)dxdydz对称柱=2jjjzjdxdydzQ=-h-IZ.I211 L4nh2-JJhdxdyJr勺二、斯托克斯(stokes)公式设r为分段光滑的空间有向闭曲线，e是以为边界的分片光滑的有向曲面，r的正向与e的侧符合右手规则，入Q、则有=JPdx+Qdy+RdzStokes公式的实质：表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线积分之间的关系.(当E是xOy面上的闭区域时)“dRdQdPdRdQdPfl()dydz4-()dzdx+(ydxdydydzdzdxdxdy=JPdx+Qdy+Rdzr斯托克斯公式匚技殊情义格林公式L,一，1一,一一J角形上侧符合右手规贝k例1计算Jrzdx+xdy+ydz,：x+y+z=l被三坐标面所截成的三角形的整个边界，其正向与三解Stokesfzdx+xdy+ydzjjdydz+dzdx+dxdys=jjdydz+jjdjdx+jjdxdy%：Dq3=lDl+IDl+l。I=-yzXZxy2例2求Jr(y2-z2)dx+(z2-x2)力+(x2-y2)dz,是3x+j+Z=-截立方体：。4xW1,04y41,04z412的表面所得截痕，从Ox轴正向看去取逆时针方向.解取z:x+y+z=-，上侧，被r2所围部分.贝IJ方=齐(1,1,1)3“ffla/?a。：l=II()cosa?dydzdPdRdQdP+()cos/7+()cosydSdzdxdxdy