初因式分解备课

因式分解、【学习目】主要是为了以后在代数的运算中方便准确，是我们解决许多数学问题的有力工具。同时，对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。【学习内容】因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果， 说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。三、【教学目标】(1) 理解因式分解的概念和意义(2) 认识因式分解与整式乘法的相互关系相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。四、【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之 间的相互关系寻求因式分解的方法。五、【教学过程】(、情境导入看谁算得快：(抢答)(1) 若 a=101,b=99,贝U a2-b2=；22(2) 若 a=99,b=-1,则 a-2ab+b =;(3) 若 x=-3,贝U 20x+60x=。(二) 、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。(多媒体出示答案)2 2(1) a -b =(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400;2 2 2 2(2) a -2ab+b =(a-b)=(99+1) =10000;220x +60x=20x (x+3) =20x(-3)(-3+3)=0。、. 2 22、 观察：a -b =(a+b)(a-b),2 2 2a -2ab+b = (a-b),20x2+60x=20x(x+3),找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。(三) 、前进一步1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2,2 2 2(a-b) = a -2ab+b ,220x(x+3)= 20x +60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别?(要注意让学生区分因式分解与整式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中, 半路又做乘法的错误。)2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b 2=( a+b)( a-b)整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式; 从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。结论：因式分解与整式乘法的相互关系一一相反变形。(多媒体展示学生得出的成果)、巩固新知1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？2x -3x+1=x(x-3)+1;(2) (m + n)(a + b) + (m + n)(x + y) = (m + n)(a + b + x+ y);2(3) 2m(m-n)=2m -2mn；(4) 4x 2-4x+1=(2x-1) 2;23a +6a=3a (a+2);2(6) x -4+3x= (x-2 )( x+2) +3x;丄 丄(7) k 2+2= ( k+ ；： ) 2;32(8) 18a bc=3a b 6ac。六、【方法学习】(1) 提公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c)(2) 运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的 公式，例如：(1) (a+b)(a _b) = a 2-b2a2-b2=(a+b)(a _b);2 2 2 2 2 2(2) (a b) = a 2ab+ba 2ab+b =(a b);223.33.322、(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b a +b =(a+b)(a -ab+b );(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3a3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).F面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c);3,332,22(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是 ABC的三边，且a2 b2 c ab bc ca ,则ABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 = ab be ca 二 2a2 2b2 2c2 = 2ab 2bc 2ca 2 2 2 = (a-b) (b-c) (c-a) 0= a=b = c(3)分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式：am a n bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am +a n) + (bm +b n)=a(m n) b(m - n)k每组之间还有公因式！=(m n )(a b)例 2、分解因式：2ax -10ay - 5by -bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax -10ay) (5by - bx)=2a(x5y)b(x5y)=(x _5y)(2ab)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) (-10ay 5by)=x(2a -b)5y(2a -b)=(2a _b)(x_5y)练习：分解因式 1、a2-ab，ac-bc2、xy-x-y，1(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：x y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就 能继续分解，所以只能另外分组。2 2解：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x -y) a(x y)=(x y)(x - y a)例4、分解因式：a2 -2ab b2 -c22 2 2解：原式=(a - 2ab b c=(a-b)2 -c2=(a -b -c)(a -b c)4、x2 一 y2 一 z2 一 2yz综合练习：(1) x3 xy - xy2 - y3(3) x2 6xy 9y216a2 8a1(5) a4 -2a3 a2 -9(7) x2 -2xy -xz yz y2(9) y(y 一2) _(m -1)(m1)2 2(2) ax - bx bx - ax a - b2 2(4) a -6ab 12b 9b - 4a2 2 2 2(6) 4a x -4a y -b x b y2 2(8) a2a b2b 2ab 1(10) (a c)(a - c) b(b - 2a)练习：分解因式3、x2 - x - 9y2 - 3y222333(11) a (b c) b (a c) c (a b) 2abc (12) a b c -3abc (4)、十字相乘法.(一)二次项系数为 1的二次三项式2直接利用公式x (p q)x p (x p)(x q)进行分解。特点：(1) 二次项系数是1 ；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知Ov a0而且是一个完全平方数。于是厶=9 -8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2亠5x亠6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3的分解适合，即 2+3=5。12解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 3_J_3_=(x 2)(x 3)1 x 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于 一次项的系数。例6、分解因式：x2 7x亠6解：原式=x2 (-1) (-6)x (-1)(-6)1-1=(x _ 1)(x _ 6)1-6(-1) + (-6) = -72 x -10x-241 X -11 -6练习 5、分解因式(1) x214x 24(2) a2 -15a36(3) x2 4x - 5练习 6、分解因式(1) x2 x - 2(2) y2 -2y -15例6、分解因式：x2 7x 6解：原式=x2 (-1) (-6)x (-1)(-6)=(x _1)(x _6)(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1) x214x24(2)a2 -15a36(3) x2 4x - 5练习 6、分解因式(1) x2 x_2(2) y2 _2y -15(3) x2 _10x_24（二）二次项系数不为 1的二次三项式 ax2 bx c条件：（1）（2）（3）分解结果：a = a2b 二 aC2a?cCiC2b = aQazG2ax bx c = (a1x c)(a2x c2)例7、分解因式：3x2 - 11x 10 分析：1、x-23 A-5 -6）+（ -5）= -112解：3x -11x 10 = （x -2）（3x -5）练习7、分解因式：（1） 5x2，7x-62(2)3x -7x 2(3) 10x2 -17x 3(4) 一6y211y 10（三）二次项系数为 1的齐次多项式例8、分解因式：a2 -8ab - 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。11-16b8b+（-16b）= -8b解：a28ab T 2 82 = a2 8b （T6b）a 8b （16b）=（a 8b）（a -16b）练习 8、分解因式(1) x2 -3xy 2y2 (2) m2 -6mn 8n2 a2 - ab - 6b2（四）二次项系数不为 1的齐次多项式例 9、2x2 -7xy 6y212-2y-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x -2y)(2x -3y)2 2例 10、x y -3xy 2把xy看作一个整体1-11 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy -1)(xy-2)2 2(2) a x - 6ax 82 2(2) 12x -11xy-15y练习9、分解因式：（1） 15x2 7xy - 4y2综合练习 10、（ 1） 8x6 - 7x3 -1(3) (x y)2 -3(x y)10(4) (a b)? -4a-4b 32 22222(5) x y - 5x y - 6x(6) m - 4mn 4n - 3m 6n 22 2 2 2 2 2(7) x 4xy 4y _2x-4y_3 (8) 5(a b) 23(a -b)-10(a-b)(9) 4x -4xy -6x 3y y -10 (10) 12 (x y) 11(x 一 y ) 2(x - y)思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x-2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 -(a2-1)x - a=(ax 1)(x -a)=(2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。2 2 2原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 设 x2 5x 6 = A，则 x2 7x 6 = A 2x原式=(A 2x)A x2 = A22 Ax x22 2 2=(A x) = (x 6x 6)练习 13、分解因式(1) (x2 - xy y2)2 4xy(x2 y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90(3) (a2 1)2 (a2 5)2 _4(a2 3)2例14、分解因式（1） 2x4x3 -6x2x 21，并且系数成“轴观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x (2x -x_6 ) = x 2( x (x _)61x xxx11设 x = t,则 x27 = t2 - 2xx/2、(1 、2x+-5x+2 Ix丿V xJ=x2 2t -5 t 2 = x21 -原式=x2 (t2 -2) - t - 6 L x2 2t2 -t -102 i 1I=x 2x + 5 !x x+ 2 !=(2x2 5x 十 2 lx2 十 2x+ 1 ) x=(x 1)2(2x T)(x -2)(2) x4 -4x3 x2 4x 1解：原式=x2(x2 4x 14 A) = x2x2x x 丄1 2 1 2设xy，则x 二y 2xx原式=x2(y2 -4y 3) = x2(y -1)(y -3)2 1 1 2 2=x (x 1)(x3) = x2 _x_1 x2 _3x_1xx练习 14、(1) 6x4 7x3 _36x2 _7x 6(2) x4 2x3 x212(x x2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) x3 -3x24解法1拆项。解法2添项。原式=x3 1 -3x2 3原式=x3 -3x2 -4x 4x 42 2=(x 1)(x -x 1) -3(x 1)(x -1)= x(x _3x-4) (4x 4)=(x 1)(x -x 1-3x 3)= x(x 1)(x-4)4(x 1) = (x 1)(x -4x 4)2=(x 1)(x -4x 4)2 2=(x 1)(x-2)= (x 1)(x-2)(2) x9 x6x3 -3解：原式=(x9 -1) (x6 -1) (x3 -1)=(X3 -1)(x6 X31)(X3 -1)(x31)(X3 -1)3633=(x -1)(x x 1 X 11)2 6=(x -1)(xx 1)(x 2x 3)练习15、分解因式(1) x3 -9x 8(3) x4 -7x21(5) x4y4 (x y)4(2) (x 1)4 (x2 -1)2 (x -1)4(4) x4 x22ax 1 -a2(6) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 _ a4 _ b4 _ c4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 xy -6y2 x 13y -6分析：原式的前3项x2 + xy6y2可以分为(x+3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x -2y n)解：设 x2 xy -6y2 x 13y-6 = (x 3y m)(x-2y n) (x 3y m)(x - 2y n) = x2 xy - 6y2 (m n)x (3n - 2m)y - mn x2 xy _6y2 x 13y _6 = x2 xy _6y2 (m n)x (3n _ 2m)y _ mnm + n = 1”一一m = 2对比左右两边相同项的系数可得丿3n - 2m =13，解得丿n=3、m n = _6原式=(x 3y -2)(x -2y 3)例17、(1)当m为何值时，多项式 x2 - y2 mx 5y-6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果x3 ax2 - bx - 8有两个因式为 x 1和x 2，求a b的值。(1 )分析：前两项可以分解为(xy)(x_y),故此多项式分解的形式必为 (x y a)(xy b)22解：设 x - y mx 5y_6 = (x y a)(xy b)2 2 2 2贝H x - y mx 5y_6 = x - y (a b)x (b_a)y ab|a b = ma - -2a = 2比较对应的系数可得：b-a=5，解得：b=3或b = 3ab = -6m = 1m= -1.当m =1时，原多项式可以分解；当 m = 1 时，原式=(x y 2)(xy 3)；当 m 二 _1 时，原式=(x y 2)(x _ y _3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因 式必为形如x c的一次二项式。解：设 x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8 = x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca = 3 ca = 7.b =2 +3c 解得彳b =14 ,2c = 8c = 4J.a b =21练习 17、(1)分解因式 x2 - 3xy -10y2 x 9y - 2(2) 分解因式 x2 3xy 2y2 5x 7y 6(3) 已知：x2 -2xy-3y2 6x-14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。(4) k为何值时，x2 -2xy ky2 3x-5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并 分解此多项式。七、【知识总结归纳】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法， 分组的目 的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项 （添项）等方法；