切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理[

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关地比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点地圆地切线上，这点和切点之间地线段地长度，“切线长”是切线上一条线段地长，具有数量地特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度.2. 切线长定理对于切线长定理，应明确1）若已知圆地两条切线相交 ，则切线长相等；2）若已知两条切线平行， 则圆上两个切点地连线为直径；3）经过圆外一点引圆地两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；4）经过圆外一点引圆地两条切线，切线地夹角与过切点地两个半径地夹角互补；5）圆外一点与圆心地连线,平分过这点向圆引地两条切线所夹地角.3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交直线AB切OO于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹地弧所对地圆周角.5. 弄清和圆有关地角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角.6. 遇到圆地切线，可联想“角”弦切角，“线”切线地性质定理及切线长定理7. 与圆有关地比例线段 定理 相交弦定 理图形已知OO结论中,AB、CD 为弦,交 PA- PB= PC- PD.证法连结 AC、 BD,证： AP3A DPB.相交弦定理地推论OO 中,AB 为直 PC= PA- PB. 径,CDL AB 于 P.用相交弦定理圆幕定理切割线定理于 T,害9 P=PA- PB连结 TA、 TB,证 PTBA PATB切割线定理推论PB、PD 为OO 地两条害9 PA- PB= PC- PD 线,交OO于A C过P作PT切OO于T,用两次切割线定理OO中，割线PB交OO于PC - PD =A,CD 为弦OP2PA- PB= OPr为OO地半径延长PO交OO于M,延 长OP交OO于N,用相交 弦定理证；过 P作切线 用切割线定理勾股定理 证8.圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点地两条线段之积 为常数|/. |R为圆半径），因为_5 二 叫做点对于OO 地幕，所以将上述定理统称为圆幕定理【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD地边长为1,以BC为直径在正方形内作半圆 O,过A作半圆切线，切点为F, 交CD于E,求DE AE地值.图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1,EF = CE 设CE为x,在Rt ADE中，由勾股定理(1+兀二+x = -41D = l- = -44,:.DE； AE = - -=445例2. OO中地两条弦 AB与CD相交于 E,若AE= 6cm,BE= 2cm,CD= 7cm,那么CE=cm.解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE/ AE= 6cm,BE= 2cm,CD= 7 cm,DE =_二L1,6X2 二 CE(7-C砺,即C於-7C5+12 二 0/ CE= 3cm或 CE= 4cm.故应填3或4.点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况地取舍 例3.已知PA是圆地切线,PCB是圆地割线，则一；丄 ： 解：/ P=/P/ PAC=ZB , PACA PBA,AB _PBTc二,AB2 PB21c7一 SI.又 PA是圆地切线,PCB是圆地割线，由切割线定理，得P二 PB*FCAB2 _ PB2 _ PB.丽 _ Pg，PC _ PC_,即故应填PC.点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论.例4.如图3,P是OO外一点,PC切OO于点C,PAB是OO地割线，交OO于A、B两点，如果PA PB=1 : 4,PC= 12cm, OO地半径为10cm,则圆心O到AB地距离是 cm.解：/ PC是OO地切线,PAB是OO地割线，且PA PB= 1 : 4 PB= 4PA又 PC= 12cm由切割线定理,得二三兀PB= 4X 6= 24cm)AB= 24 6 = 18cm）设圆心O到AB距离为d cm, 由勾股定理，得d = Jl-3 =币伽)故应填 例5.如图4,AB为OO地直径,过B点作00地切线 BC,OC交OO于点E,AE地延长线交;2）若 AB= BC= 2厘 M,求 CE CD地长.BC于点D,1 )求证:CE2 = CDCB点悟:证明:要证 = = Cff2 = C8 CDCD CEEC是旳线M为直径2 )n ZASD 二 9*0 = 2 n OP 二 1 u OC -寸4 +1 二 75BC = 20E= 1aCE 二腐-.CECDCB. CB = 2,又D 一-匸厘M.点拨：有切线，并需寻找角地关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件例6.如图5,AB为OO地直径,弦CD/ AB,AE切OO于A,交CD地延长线于 E.求证：丄-二证明：连结BD,/AE切OO 于 A,/ EAD=Z ABD/ AE1 AB,又 AB/ CD, AE1 CD/AB为OO地直径/ ADB= 90/ E=Z ADB= 90 AD0A BADAD DEAB AD一丄/ CD/ ABn n:.AD = BC ad= bc, BC = AB* DE例7.如图 6,PA、PC切OO 于 A、C,PDB为割线.求证：AD- BC= CD- AB点悟：由结论 AD - BC= CD- AB得上 ,显然要证厶PABA PBA和厶PCSA PBC 证明：/ PA切OO于A,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA, PADA PBAAD_PD_:.二同理可证厶PCDA PBCCD_ PDBC =zpc/ PA PC分别切OO于A、C: PA= PC: AD- BC= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中,/ A= 90 ,以AB边为直径作OO ,交斜边BC于点D,过D点作 OO地切线交AC于E.求证：BC= 2OE.OE是 ABC地中位线.而OA OB,只须证 AE= CE.点悟：由要证结论易想到应证证明：连结OD./ ACLAB,AB 为直径 AC为OO地切线,又DE切OO于D EA= ED,ODL DE/ OB= OD,./ B=Z ODB在 Rt ABC 中,/ C= 90/B/ OD= 90一严-厂宀/ C=Z EDC ED= EC AE= ECOE是厶ABC地中位线 BC= 2OEn例9.如图8,在正方形 ABCD中,AB = 1,二是以点B为圆心,AB长为半径地圆地一段弧点E是边nAD上地任意一点 点E与点A D不重合），过E作以所在圆地切线，交边DC于点F,G为切点. 当/DEF= 45。时，求证点G为线段EF地中点；图8解：由/DEF= 45,得伽二炉-ZW = 45/ DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因为AB是圆B地半径,ADL AB,所以AD切圆B于点A;同理,CD切圆B于点C.又因为EF切圆B于点G,所以AE= EG,FC= FG.因此EG= FG,即点G为线段EF地中点.【模拟试卷】 答题时间：40分钟）2025A.3B.3C. 5D. 8.卜列图形定有内切圆地疋 )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形已知：如图1直线MN与OO相切于C,AB 为直径，/ CAB= 40,则/ MCA地度数23 )一、选择题1.已知：PA PB切OO于点A、B,连结AB,若AB= 8,弦AB地弦心距3,则PA= )0图1A. 50 B. 40C.60D. 554.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为)A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在厶ABC中，D是BC边上地点，AD二堀,BD = 3cm,DC= 4cm,如果E是AD地延长线与 ABC 地外接圆地交点，那么DE长等于)B.D.3y(3cfnBOO于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交OO于B和A,B在线段PD上,若CD-)6. PT2,AD = 3,BD = 4,则 PB等于 B. 10A. 20:、填空题7. AB 、CD是OO 切线，AB/ CDEF是OO 地切线，它和 AB CD分别交于 E、F,则/EOF=度.已知：OO和不在OO上地一点 P,过P地直线交OO 于A、B两点，若PA- PB= 24,OP = 5,则地半径长为.C. 5D.8.OO9.若PA为OO地切线,A为切点，PBC割线交OO于B、C,若BC= 20,则PC地长为10. 正厶ABC内接于OO ,M、N分别为 AB AC中点，延长MN交OO于点D,连结BD交AC于P,则PCPA=.三、解答题11. 如图2, ABC中,AC= 2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆地切点，DE BOO于点M,且 DE/ AC,求 DE地长.12.如图3,已知P为OO地直径/ DCPA于 C,CDL AB于 D,求证：CB平分F【试卷答案】一、选择题1. A 2. C 3. A 4. B二、填空题5. B 6. A7. 908. 1三、解答题：11. 由切线长定理得厶9. 3010.BDE 周长为 4,由厶 BD0A BAC,得 DE= 1cm13.如图4,已知AD为OO地直径,AB是OO地切线，过B地割线BMN交AD地延长线于 C,且BMhMN= NC,若 AB- - .12. 证明：连结 AG则ACLCB/ CDL AB, ACBA CDB, a / A=Z1/ PC为OO 地切线，/ A=/2 ,又/ 1 = /2 , BC平分/ DCP13.设 BMk MN NC= xcm又(2a = x* 2x,.x = 2伽)又/ OA是过切点 A地半径，OAL AB即ACL AB小血孙陋又CD = CA-AD在Rt ABC中，由勾股定理，得，丄二由割线定理：(2/1 -AD) 277=2X4半径为 .