《变化率与导数导数的计算》学生

变化率与导数、导数的计算基础知识梳理1. 导数的概念函数y= f(x)在x= xo处的导数：称函数y= f(x)在x=x0处的瞬时变化率妙0 f X0+ 雹=炽0 g为函数 y= f(x)在x = X0处的导数，记作 f (Xo)或y |x= x0，即卩y f xo+ gx f xof (xo)= limo 瓦二炽o忑 .(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线 y= f(x)上点P(xo, yo)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移 函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为 y y?= f (xo)(x xo).函数f(x)的导函数：_称函数f (x) = limo fxxxf兰为fg的导函数.探究1.f (x)与 f (xo)有何区别与联系?2. 曲线y= f(x)在点Po(xo, yo)处的切线与过点Po xo, yo)的切线，两种说法有区别吗?3. 过圆上一点P的切线与圆只有公共点P,过函数y= f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗?2.几种常见函数的导数原函数导函数f(x)= c(c为常数)f (x) = 0n*f(x) = x (n Q )f (x) = nxn 1f(x)= sin xf (x) = cos xf(x)= cos xf (x) = sin xf(x) = axf (x)= axln af(x)=ef (x) = exf(x)= logaxf (x)= xln af(x) = In x, 1f (x) = 13.导数的运算法则(1)f(x) (x) = f (x) (x); (2) f(x) g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x);醺选京51-认-o)-基础自测1 31 .(教材习题改编)f(x)是函数f(x)=3x3+2x+1的导函数，贝yf( 1)的值为()A . oB . 3C. 4 D. 72 .曲线y= 2x x3在x= 1处的切线方程为()A . x+ y+ 2 = o B. x+ y 2= o C. x y+ 2= o D . x y 2 = o23 . y= x cos x的导数是()22 2A . y = 2xcos x+ x sin x B . y= 2xcos x x sin x C . y= 2xcos x D . y= sin x4 .(教材习题改编)曲线y=在点M( n 0)处的切线方程是.x5 .(教材习题改编)如图，函数y= f(x)的图象在点P处的切线方程是y = x+ 8,则 f(5) + f (5) =.题型分类深度剖析题型一导数的计算例1求下列函数的导数(1)y=(1 - X) 1+ 1x ；(2)y=竽； y= tan x;(4)y= 3xex 2x+ e.互动探究若将本例 中“tan”改为“ sin X2co4 ；如何求解?探究提高：求函数的导数的方法(1) 求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错；(2) 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式, 然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量.1 t 1(3)y=1- .x+ 1+ M；(4)y= iC0+ 2x .Sin x+ cosx变式训练1 求下列函数的导数(1)y=X+ :丁 Sin X；(2)y= (X + 1)(x + 2)(x+ 3);题型二 导数的几何意义例2 (1)(2012辽宁高考)已知P, Q为抛物线x2= 2y上两点，点P, Q的横坐标分别为 4, 2，过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为1 34(2)已知曲线y=尹+ 3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程.互动探究若将本例 中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解?探究提高：1.求曲线切线方程的步骤(1) 求出函数y= f(x)在点x= xo处的导数，即曲线 y= f(x)在点P(x, f(xo)处切线的斜率；(2) 由点斜式方程求得切线方程为y yo= f (xo) (x xo).2.求曲线的切线方程需注意两点(1) 当曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x= xo；(2) 当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.变式训练2.已知函数f(x)= x3+ x 16.求曲线y= f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；直线l为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；一 1 一 如果曲线y= f(x)的某一切线与直线 y= 4X+ 3垂直，求切点坐标与切线的方程.题型三 导数几何意义的应用例3已知a为常数，若曲线 y= ax2+ 3x ln x存在与直线x+ y 1 = 0垂直的切线，则实数 a的取值范围是()A. -2，+sj& |m, 2丨C. 1,+m ) D.( m, 4探究提高：导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(xo, f(x。)求斜率k,即求该点处的导数值：k= f (xo);已知斜率k,求切点A(xi, f(xi)，即解方程f (xi)= k;已知过某点M(xi, f(xi)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(xo, f(xo),利用k = f : ：0求解.1变式训练3若对任意m R，直线x+ y+ m= 0都不是曲线f(x) = ?3 ax的切线，则实数a的取值范围是3思想方法感悟提高1个区别一一“过某点”与“在某点”的区别曲线y= f(x) “在点P(xo, yo)处的切线”与“过点 P(xo, yo)的切线”的区别：前者P(xo, yo)为切点，而后者P(Xo, yo)不一定为切点.4个防范一一导数运算及切线的理解应注意的问题(i)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数 公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错.(3) 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样,直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.(4) 曲线未必在其切线的同侧，如曲线y= x3在其过(0,0)点的切线y= 0的两侧易误警示一一导数几何意义应用的易误点(2013杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x3和y= ax2 +齐9都相切，贝U a等于()或25 B . 1 或21 C . 7 * 或25 D 7 或 7或 644464.4设过(1,0)的直线与y= x3相切于点(X。，x3)，所以切线方程为 y x0= 3x0(x x)，即y= 3xox 2x0，又32，21525y= 0与y= ax + x 9相切可得a=前；2727215y= -x与y= ax + 4x 9相切可得a= 1,所以选 A.答案A典例当Xo= 0时，由n, 0处的切线的斜率为()Dg已知函数f(x) = x3 + f I x2 X,则函数f(x)的图象在点3, f 3处的切线方程是练出高分共30分)()则彳扌与彳扌的大小关系是一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，1. (2013永康模拟)函数y= f(x)的图象如图所示，贝U y = f (x)的图象可能是(2 .若函数 f(x)= cos x+ 2xfC. fB. fA . f已知 t 为实数，f(x)= (x2 4)(x t)且 f ( 1) = 0，则 t 等于(-n= fn不确定)C.1 D. 20 B. 1曲线 y= xex+ 2x 1 在点(0,y= 3x 1 B. y= 3x 1(2013大连模拟)若点P是曲线D. 3n 1 :处的切线与直线x ay+ 1 = 0平行，则实数a等于()1 B. 2C.1 + CS x在点6 .设曲线y=sin x1A . 1B.?二、填空题(本大题共C. 21)处的切线方程为()C. y= 3x+ 1 D. y= 2x 1y = x2 Inx上任意一点，则点 P到直线y= x 2的最小距离为()3小题，每小题5分，共15分)解析(1,0)在切线上，则X0= 0或x0 = 3当X0= 3时，由易误辨析1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选 B.2 .解决与导数的几何意义有关的问题时，应重点注意以下几点：(1) 首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2) 基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3) 熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提.变式训练sin x 1 亠-曲线y= T在点sin x+ cos x 211厂；2-2B.1c.2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)ax610.已知函数f(x)= 2 的图象在点(1, f(_ 1)处的切线方程为x+ 2y+ 5= 0,求y= f(x)的解析式. x十b11如右图所示，已知 A( 1,2)为抛物线C: y= 2x2上的点，直线11过点A,且与抛物 线C相切，直线12： x= a(a_ 1)交抛物线C于点B,交直线h于点D.(1)求直线11的方程；求 ABD的面积S1.Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从Q1 ； P2, Q2 ；Pn, Qn,记 Pk 点12.如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y= ex于点Q1(0,1)，曲线在 P2作x轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点：P1,的坐标为(x0)(k= 1,2,n).(1)试求 xk与 Xk_1 的关系(k= 2，n);(2)求P1Q1I+ IP2Q2I+ |P3Q3|+