崔氏班六年级第五讲 容斥原理 答案版

快乐数学崔氏班（QQ群）：121260514，欢迎加入，共同进步。崔氏班六年级第五讲容斥原理1、实验小学五年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】 如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加数学兴趣 小组的人，与重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的 人图中圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴 趣小组的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加 数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有(人)方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人) 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：(人)2、有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语.那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.【解析】如图，用圆表示懂英语的75人，圆表示懂俄语的83人.那么(人)，人. 3、二元容斥在1至2011的自然数中，（1)能被3或7整除的数有个；（2)既能被3整除，又能被7整除的有个；（3)能被3整除，但不能被7整除的有个；（4)能被7整除，但不能被3整除的有个.【解析】如图，我们用方框表示12011中的所有自然数；圆表示能被3整除的自然数；圆表示能被7整除的自然数；那么中间重叠部分表示既能被3整除，有能被7整除的自然数，即.那么我们能求出：；.（1)（2)（3)（4) 4、在1至2011的自然数中，（1)能被3或5或7整除的数有个；（2)能同时被3,5,7整除的有个；（3)能被3整除，但不能被5和7整除的有个；（4)能被5和7整除，但不能被3整除的有个.【解析】如图，我们用方框表示12011中的所有自然数；圆表示能被3整除的自然数；圆表示能被5整除的自然数；圆表示能被7整除的自然数.那么我们能求出：；.（1)（2)（3)（4) 5、(2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有个，3 和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5 和7的倍数有个所以，恰好是3、5、7中两个数的倍 数的共有个6、在2至400 的偶数中，既不能被3整除，又不能被5整除，同时不能被7整除的整数有多少个？【解析】首先2至400共200个偶数，即：，从而符合条件的个.7、真分数是最简真分数，问有多少种取值？【解析】作为真分数，与互质，同时，这就要求在1到1001内，不是7的倍数，不是11的倍数，也不是13的倍数，本题中：，从而取值条件的有个.8、某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：(1)三科都不及格的有几人？(2)至少有一科不及格的有几人？(3)三科都及格的人数有几人？ 【解析】使用韦恩图辅助分析，将不及格作为条件，则英语不及格的有(人)，数学不及格的有(人)，化学不及格的有(人)，英数14人、英化11人、数化13人也如图所标，并设三科不及格的 人. 题目中所谓两科或两科以上不及格20人，即，解得.即，从而，还知道，.从而：三科都不及格的有：人.至少有一科不及格的有：(人).三科都及格的有：(人).9、卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果是：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含有维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种.请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？【解析】设三种都不含的有种，则在中，即，解得.辅助韦恩图进行分析，仅含维生素A的如图阴影所示，在A中减掉AE和AC，再加上ACE，也就是. 10、森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？【解析】根据题意，将各部分分别用字母表示，则有：根据题目描述，则有：，所以有：，则这群小白兔一共有74只.11、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有_人【解析】使用韦恩图辅助分析，如图，所有条件都不符合的依然面向老师，符合一个条件的背向，符合两个条件的面向，符合三个条件的背向，图中1表示面向，0表示背向.在本题中，(表示总数，下面的分别表示算过1次，2次，3次的.以后同.)，(注：4，6的最小公倍数为12)但本题中面向老师的分两部分，外围的，内部的，因此面向老师的共有人. 12、有编号为12010的2010个气球.有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数的气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破.那么，最后还剩几个没有被打破的气球？【解析】仔细分析，我们发现这道题实际上是要求12010中有多少个数不能被3,5,7整除.被3整除的数有个；被5整除的数有个；被7整除的数有个；其中，同时被3、5整除的数有个；同时被3、7整除的有个；同时被5、7整除的数有个；同时被3、5、7整除的数有个.那么，能被3、5、7整除的数共有： 个.那么，不能被3、5、7整除的数共有个.13、(2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段【解析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段14、(第四届走美试题)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，2006将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下拉完后亮着的灯数为_盏【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数我们可以求得被2整除的数有个，被3整除的数有，共668个，被5整除的数有，共401个其中，同时被2、3整除的数有，共334个；同时被3、5整除的有，共133个；同时被2、5整除的数有，共200个；同时被2、3、5整除的数有，共66个，所以，只能同时被2、3、5中2个数整除的数的个数为个，不能被2、3、5整除的数的个数为个所以，最后亮着的灯一共为个15、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【解析】为了让三项都会的人尽量少，那么考虑让尽量多的人参加两项运动.如果每个学生都参加2项运动，那么参加3种运动的共有（人次）.而实际上参加3种比赛的共有（人次）.那么还余下人次的运动.因此至少有4人这三项运动都会.下面我们来验证能否构造一种情况，使得恰好有4个学生会这3项运动：该情况可以用韦恩图来构造和示意： 16、加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么至少有 人参加这次竞赛【解析】由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有人参加竞赛，但参加英语竞赛的有人，因此至少应该有人参加竞赛17、某班有名学生，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有人次由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次.要求参加两科的人数最多，则让这人次尽可能多地重复，而，所以至多有人参加两科，此时还有1人参加1科.那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有人，参加语文、英语两科的共有人，参加数学、英语两科的共有人.也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加.检验可知符合题设条件.所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人.(当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语)18、六年级班有人参加数学竞赛，有人参加英语竞赛，有人参加语文竞赛，其中参加数学和英语两科的有人，参加了英语和语文两科的有人，参加了数学和语文的有人，那么六年级班全班至少有多少人？【解析】要使全班人最少，需参加三科竞赛的人最少（可通过三元容斥公式来证明），至少有人下面只需验证人是否成立，如下图所以全班至少有(人)19、学而思的一场奥数选拔考试，试卷一共有道题，规定答对道及道以上的人能通过考试.发卷子时，唐老师说：“这次考试一共有个班的位同学参加，答对第题到第题的依次有、人.在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？”【解析】因为要算至少有多少人能通过考试.所以应该让答对题的尽量多，且答对题的尽量多，然后是答对题的也尽量多.因为(道)题，去掉每人题，还有(道)题，答对题的最多能有人，而，也就是说可以让所有不是刚好答对题的同学都答对题.那么还有人全对.因此至少有人能通过考试.20、(第14届日本算术奥林匹克预赛试题(高小组)有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？【解析】答对题数的合计是：人.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于人.把这尽可能少分给一些人.从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是人.再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是人.这时，余下的答对题数的合计是：.答对3道题的人数是.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：人.所以至少有65人及格.崔帅帅职业格言：生有尽，业无穷；勤无价，耕耘为天下。