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第十二讲第十二讲 位置的确定和平面直角坐标系位置的确定和平面直角坐标系 一一. .课标链接课标链接位置的确定和平面直角坐标系位置的确定和平面直角坐标系 位置的确定是人们日常生活、学习和位置的确定是人们日常生活、学习和工作的一项基本技能和需要，从数学思想的工作的一项基本技能和需要，从数学思想的角度去探究确定平面上或空间内的点的位置角度去探究确定平面上或空间内的点的位置是我们中学数学学习和研究的目标之一，了是我们中学数学学习和研究的目标之一，了解和掌握常见的确定位置的方法，会用不同解和掌握常见的确定位置的方法，会用不同方法表示点的位置，理解掌握平面直角坐标方法表示点的位置，理解掌握平面直角坐标系的意义，会用有序数对表示点的坐标和确系的意义，会用有序数对表示点的坐标和确定平面中点的坐标，了解仰角、俯角和方位定平面中点的坐标，了解仰角、俯角和方位角的概念以及极坐标的知识，这是中学数学角的概念以及极坐标的知识，这是中学数学的知识重点，中考的测试要点之一的知识重点，中考的测试要点之一. .题型有题型有填空、选择与解答题，其中以计算型综合解填空、选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多答题居多. .二二. .复习目标复习目标1.1.了解日常生活、学习和工作中常见的确定位了解日常生活、学习和工作中常见的确定位置的方法，能够准确使用合适的方法表示和确置的方法，能够准确使用合适的方法表示和确定位置定位置2.2.了解仰角、俯角和方位角的概念以及极坐标了解仰角、俯角和方位角的概念以及极坐标的知识，在具体问题能够正确判断和确定仰角、的知识，在具体问题能够正确判断和确定仰角、俯角和方位角俯角和方位角. .3.3.理解掌握平面直角坐标系的意义，认识并能理解掌握平面直角坐标系的意义，认识并能够正确画出平面直角坐标系，会用有序数对表够正确画出平面直角坐标系，会用有序数对表示点的坐标和确定平面中点的坐标示点的坐标和确定平面中点的坐标. .三三. .知识要点知识要点1.1.确定位置的两种基本方法：确定位置的两种基本方法： 在生活中确定位置的方法有多种，在不在生活中确定位置的方法有多种，在不同的场合，不同的学科，不同的用途往往采同的场合，不同的学科，不同的用途往往采用不同的方法确定点的位置，而基本的方法用不同的方法确定点的位置，而基本的方法有两种：极坐标法和直角坐标系法有两种：极坐标法和直角坐标系法. .极坐标法：极坐标法：从一定点出发，测出被测点到从一定点出发，测出被测点到定点的距离以及相对于定点所处的方位角定点的距离以及相对于定点所处的方位角. .点的位置可由距离和方位角唯一地确定点的位置可由距离和方位角唯一地确定. .直角坐标系法：直角坐标系法：先确定坐标原点，然后画先确定坐标原点，然后画出出x轴和轴和y轴，建立平面直角坐标系，再确定轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标和纵坐标它的横坐标和纵坐标. .点的坐标可由它的横点的坐标可由它的横坐标和纵坐标唯一地确定坐标和纵坐标唯一地确定. .三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系：平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直在平面内，两条互相垂直且具有公共原点的数轴组成平面直角坐标系且具有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. .通常，两条坐标轴分别置于水平位置和铅直位通常，两条坐标轴分别置于水平位置和铅直位置，取向右和向上的方向分别为两条坐标轴的置，取向右和向上的方向分别为两条坐标轴的正方向正方向. .水平的数轴叫做水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴或横轴，铅直的数轴叫做轴叫做y轴或纵轴轴或纵轴. .x轴和轴和y轴统称为坐标轴，它轴统称为坐标轴，它们的公共原点们的公共原点O叫直角坐标系的原点，这个平叫直角坐标系的原点，这个平面叫做坐标平面面叫做坐标平面. . 在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分为在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分为除坐标轴外的四个区域：右上部叫做第一象除坐标轴外的四个区域：右上部叫做第一象限，其他按逆时针方向依次叫做第二象限，第限，其他按逆时针方向依次叫做第二象限，第三象限和第四象限三象限和第四象限. .三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：点的坐标点的坐标A.A.坐标的确定：坐标的确定：对于平面内任意一点对于平面内任意一点P，过点，过点P分别向分别向x轴，轴，y轴作垂线，垂足在轴作垂线，垂足在x轴上，轴上，y轴上轴上对应的数对应的数a，b分别叫做点分别叫做点P的横坐标和纵坐标，的横坐标和纵坐标，有序数对有序数对( (a，b) )叫做叫做P的坐标的坐标. .B.B.点与有序实数对的关系：点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对都能用坐标平面内的点来表示，即坐标平数对都能用坐标平面内的点来表示，即坐标平面的点和有序实数对面的点和有序实数对对应对应. . 三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：C.C.点的坐标与位置判断：点的坐标与位置判断：点点P( (a，b) )在第一象限在第一象限 ；点点P( (a，b) )在第二象限在第二象限 ；点点P( (a，b) )在第三象限在第三象限 ；点点P( (a，b) )在第四象限在第四象限 ；点点P( (a，b) )在在x轴上轴上 取任意实数；取任意实数；点点P( (a，b) )在在y轴上轴上 取任意实数取任意实数. .00ba，00ba，00ba，00ba，ab，0ba，0三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：点的坐标点的坐标C.C.点的坐标与位置判断：点的坐标与位置判断： 已知点的位置可以已知点的位置可以判断点的坐标特征，反判断点的坐标特征，反之已知点的坐标特征可之已知点的坐标特征可以大致判断点的位置以大致判断点的位置, ,如图所示如图所示. .三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：D.D.特殊位置点的坐标：特殊位置点的坐标：a. . 点点P(a，b)在第一、三象限夹角的角平分线在第一、三象限夹角的角平分线上上 ； 点点P(a，b)在第二、四象限夹角的角平分线在第二、四象限夹角的角平分线上上 ； 点点P(a，b)在两坐标轴夹角的角平分线在两坐标轴夹角的角平分线上上 ；b. .平行于平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；轴的直线上任意两点的纵坐标相同； 平行于平行于y轴的直线上任意两点的纵坐标相同；轴的直线上任意两点的纵坐标相同；ba baba 三三. .知识要点知识要点2.2.平面直角坐标系及点的坐标：平面直角坐标系及点的坐标：c. .对称点的坐标特征：对称点的坐标特征：点点P(a，b)关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为P1(a，b)；点点P(a，b)关于关于y轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为P2(a，b)；点点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为关于原点对称的点的坐标为P3(a，b). .三三. .知识要点知识要点3.3.平面上两点间的距离：平面上两点间的距离：点点P(a，b)到到x轴的距离为轴的距离为 ； 点点P(a，b)到到y轴的距离为轴的距离为 ； 点点P(a，b)到原点到原点O轴的距离为轴的距离为 ；点点P(a1，b1)与与Q(a2，b2)的水平距离为的水平距离为 ； 点点P(a1，b1)与与Q(a2，b2)的铅直距离为的铅直距离为 ； 点点P(a1，b1)与与Q(a2，b2)的水平距离为的水平距离为 . . ba22ba 21aa 21bb 221221bbaaPQ三三. .知识要点知识要点4.4.图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的关系：关系：横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的n倍，倍，则图形横向不变，纵向拉长为原来的则图形横向不变，纵向拉长为原来的n倍；倍；纵坐标不变，横坐标都扩大为原来的纵坐标不变，横坐标都扩大为原来的n倍，倍，则图形纵向不变，横向拉长为原来的则图形纵向不变，横向拉长为原来的n倍；倍；横坐标不变，纵坐标缩小为原来的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的 ，则图形横向不变，纵向压缩为原来的则图形横向不变，纵向压缩为原来的 ；纵坐标不变，横坐标缩小为原来的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，则图形纵向不变，横向压缩为原来的则图形纵向不变，横向压缩为原来的 ；n1n1n1n1三三. .知识要点知识要点4.4.图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的关系：关系：横、纵坐标都扩大为原来的横、纵坐标都扩大为原来的n倍，则整个图倍，则整个图形横向、纵向均拉长为原来的形横向、纵向均拉长为原来的n倍，图形的形倍，图形的形状不变；状不变；横、纵坐标都缩小为原来的横、纵坐标都缩小为原来的 ，则整个图，则整个图形横向、纵向均缩小为原来的形横向、纵向均缩小为原来的 ，图形的形，图形的形状不变；状不变；n1n1三三. .知识要点知识要点4.4.图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的关系：关系：纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）正纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）正数数a，所得图案与原图案相比，形状、大小不变，所得图案与原图案相比，形状、大小不变，图案向右（或向左）平移了图案向右（或向左）平移了a个单位长度；个单位长度；横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）正横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）正数数a，所得图案与原图案相比，形状、大小不变，所得图案与原图案相比，形状、大小不变，图案向上（或向下）平移了图案向上（或向下）平移了a个单位长度；个单位长度；三三. .知识要点知识要点4.4.图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的图形的平移与图形上点的坐标的变化之间的关系：关系：横坐标不变，纵坐标都乘以横坐标不变，纵坐标都乘以1，新旧图形关，新旧图形关于于x轴对称；轴对称；纵坐标不变，横坐标都乘以纵坐标不变，横坐标都乘以1，新旧图形关，新旧图形关于于y轴对称；轴对称；横、纵坐标都乘以横、纵坐标都乘以1 1，新旧图形关于原点对称，新旧图形关于原点对称. .四四. .典型例题典型例题例例1 （20062006年年南昌）若点南昌）若点A（2，n）在在x轴上，则点轴上，则点B（n1，n+1）在（在（ ） A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限 （20062006年年烟台）已知点烟台）已知点P（3，2）与与点点Q关于关于x轴对称，则轴对称，则Q点的坐标为（点的坐标为（ ） A A（3 3，2 2） B B（3 3，2 2） C C（3 3，2 2） D D（3 3，2 2） 四四. .典型例题典型例题思路分析：思路分析：由于点由于点A（2，n）在在x轴上，轴上，则则n=0，那么点，那么点B（1，1），所以点所以点B在第在第二象限，选二象限，选B B；在平面直角坐标系中，关在平面直角坐标系中，关于于x轴对称的两点的横坐标相同、纵坐标互为轴对称的两点的横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以相反数，所以Q点的坐标为点的坐标为（3，2），选，选C.C. 知识考查：知识考查：平面直角坐标系和点的坐标与位平面直角坐标系和点的坐标与位置的判断以及对称点的坐标的判断与求法置的判断以及对称点的坐标的判断与求法. .解：解：B B；C C .四四. .典型例题典型例题例例2 （20062006年年益阳）在平面直角坐标系中，益阳）在平面直角坐标系中，点点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）若四边形若四边形ABCD为平行四为平行四边形，那么点边形，那么点D的坐标是的坐标是_ （20062006年年德州）将点德州）将点A（3，1）绕原点绕原点O O顺时针旋转顺时针旋转90到点到点B，则点，则点B 的坐标是的坐标是_._. 四四. .典型例题典型例题思路分析：思路分析：由平行四边形的性质可得，由平行四边形的性质可得，AD/BC且且ADBC，再由平移的性质，因为，再由平移的性质，因为B（- -3，- -1），），C（1，- -1），），所以所以BC4，所以把所以把A（- -2，1）水平向右平移水平向右平移4 4个单位长个单位长度，得到度，得到D的坐标是的坐标是（2， 1）；根据题意得根据题意得AOB90且且 ， 相当于将相当于将AOC绕原点绕原点O顺顺时针旋转时针旋转90得到得到BOD，如图如图1 1所示，可得点所示，可得点B B 的坐的坐标是标是（1，3）. . 101322四四. .典型例题典型例题知识考查：知识考查：在常见的几何图形中的顶点的表在常见的几何图形中的顶点的表示方法以及直角坐标系中图形平移及旋转的示方法以及直角坐标系中图形平移及旋转的点的坐标变化关系点的坐标变化关系. .解：解：（2 2， 1 1）；）；（1 1，3 3）. .四四. .典型例题典型例题例例3 3（20062006年年海南）海南）ABC在平面直角坐标系在平面直角坐标系中的位置如图中的位置如图2 2所示所示. .(1)(1)作出作出ABC关于关于y轴对称的轴对称的A1B1C1，并写，并写出出A1B1C1各顶点的坐标；各顶点的坐标；(2)(2)将将ABC向右平移向右平移6个单位，作出平移后的个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出，并写出A2B2C2各顶点的坐标；各顶点的坐标；(3)(3)观察观察A1B1C1与与A2B2C2，它们是否，它们是否关于某直线对称？若关于某直线对称？若是，请在图上画出这是，请在图上画出这条对称轴条对称轴. . 四四. .典型例题典型例题思路分析：思路分析：观察图形，根据图形对称规律作出观察图形，根据图形对称规律作出相应的图形，首先判断出对应点的坐标，然后相应的图形，首先判断出对应点的坐标，然后依据对应点的关系判断图形的对称关系依据对应点的关系判断图形的对称关系. .知识考查：知识考查：此题要求掌握在平面直角坐标系中此题要求掌握在平面直角坐标系中作图形的对称图形的方法和图形变换与坐标变作图形的对称图形的方法和图形变换与坐标变化规律化规律. .解：解：(1) (1) A1（0，4），），B1（2，2），）， C1（1，1）；(2) (2) A2（6，4），），B2（4，2），），C2（5，1）(3) (3) A1B1C1与与A2B2C2关于某直线关于某直线x=3对称对称. .五五. .能力训练能力训练（一）选择题一）选择题1.1.（20062006年年江阴）在平面直角坐标系中，点江阴）在平面直角坐标系中，点P（3，- -2）在（在（ ） A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限2.2.（20062006年年长春）如图，将长春）如图，将AOB绕点绕点O逆时针旋转逆时针旋转90，得到，得到AOB，若点，若点A的坐标为的坐标为（a，b），则则点点A的坐标为（的坐标为（ ）A A（a，-b） B B（b，a）C C（-b，a） D D（-a，b）五五. .能力训练能力训练（一）选择题一）选择题3.3.（20062006年年南京）在平面直角坐标系中，南京）在平面直角坐标系中，ABCD的顶点的顶点A、B、D的坐标分别是（的坐标分别是（0,0），（），（5,0），），（2,3），则顶点），则顶点C的坐标是（的坐标是（ ）A A（3,7） B B（5,3） C C（7,3） D D（8, 2）4.4.（20062006年年河北）点河北）点P（x- -2，x）在第二象限，则在第二象限，则x的取值范围是（的取值范围是（ ） A A B B C C D D20 x0 x2x2x五五. .能力训练能力训练（二）填空题（二）填空题5. 5. 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A点坐标为点坐标为（3，4），），将将OA绕原点绕原点O逆时针旋转逆时针旋转90得到得到OA，则与点，则与点A的关于原点对称的点坐标是的关于原点对称的点坐标是 . .6.6.（20062006年年绍兴）如图，将边长为绍兴）如图，将边长为1 1的正方形的正方形OAPB沿沿x轴正方向连续翻转轴正方向连续翻转2006次，点次，点P依次落在点依次落在点P1，P2，P3，P2006的位置，则的位置，则P2006的横坐标的横坐标x2006=_.=_.五五. .能力训练能力训练（二）填空题（二）填空题7.7.（20062006年年烟台）先将一矩形烟台）先将一矩形ABCD置于直角坐标系置于直角坐标系中，使点中，使点A与坐标系中原点重合，边与坐标系中原点重合，边AB、AD分别落在分别落在x轴、轴、y轴上（如图轴上（如图1 1），）， 再将此矩形在坐标平面内按再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转逆时针方向绕原点旋转30（如图（如图2 2），若），若AB=4，BC=3，则图，则图1 1和图和图2 2中点中点B的坐标为的坐标为_，点，点C 的坐的坐标为标为_五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题8. (20068. (2006年年宿迁）如图，在平面直角坐标系中，三角宿迁）如图，在平面直角坐标系中，三角形形、 是由三角形是由三角形依次旋转所得的图形依次旋转所得的图形（1 1）在图中标出旋转中心）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；的位置，并写出它的坐标；（2 2）在图上画出再次旋转后的三角形）在图上画出再次旋转后的三角形五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题9.( 20069.( 2006年年茂名）如图，在平面直角坐标系茂名）如图，在平面直角坐标系XOY中，中，直角梯形直角梯形OABC，BC/AO，A（- -2，0），），B（- -1，1），），将直角梯形将直角梯形OABC绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转90后，点后，点A、B、C分别落在分别落在A、B、C处请你解答下列处请你解答下列问题：问题：（1 1）在如图直角坐标系）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的梯形中画出旋转后的梯形OABC（2 2）求点）求点A旋转到旋转到A所经过的弧形路线长所经过的弧形路线长五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题10.10.（20062006年年常州）在平面直角坐标系中描出下列各常州）在平面直角坐标系中描出下列各点点A（2，1），），B（0，1），），C（- -4，- -3），），D（6，- -3），），并将各点用线段依次连接构成一个四边形并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD（1 1）四边形）四边形ABCD是什么特殊的四边形？是什么特殊的四边形？（2 2）在四边形）在四边形ABCD内找一点内找一点P，使得使得APB、BPC、 CPD、APD 都是等腰三角形，请写出都是等腰三角形，请写出P点的坐标点的坐标
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