二次根式基础专题

二次根式知识梳理二次根式：形如:的式子叫二次根式，其中二叫被开方数，只有当；是一个非负数时，:：才有意义.二次根式的性质1.非负性：|va(a 0)1是一个非负数.2、(扁)2a(a 0)4.碍|a| a(a 0)a(a 0)公式与(Ja)2a(a 0)的区别与联系3.Va2 |aa(a 0)a(a 0)(1) 卫塁表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (.a)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3) 囲和|(掐)21的运算结果都是非负的.最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可 以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互 为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用.a a来确定，如： ja与 ja ,b与 JO b，寸a b与J a b等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a 、. b与a , b , . a . b与. a 、b ,a x b-、y与a x b； y分别互为有理化因式。例.写出一个无理数，使它与 3返的积为有理数 ;分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。Jab = fa y/b （a0, b0）2 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。逅 Jb = Tab （ a0, b0）3 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法 当a 0,b0时，如果a b，则a b ；如果a b，则a b。2、平方法0,b0时，如果a2 b2，则a b ;如果ab2,3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：a ba1&求商比较法它运用如下性质：当 a0, b0时，则：b例1 .比较大小：-3迈 -2逅；例2 .已知a、b为两个连续整数，且 a v ,7 v b，贝U a+b=二次根式的概念形如,（二M I ）的式子叫做二次根式。搭，7 + 1，2 1）等是二次注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以-.下列根式中不是最简二次根式的是（）A. . 10B. .8C. ,6D. , 2-是为二次根式的前提条件，如根式，而，等都不是二次根式。例1.下列各式一定不是二次根式的是（）A、a.如果最简二次根式 （30二与羽五是同类二次根式，那么a的值是 ; 取值范围 B 、.5 C 、 4x2 4x 1 D 、 、 a26例2.下列与2是同类二次根式的是（）A.3B.12C.8D.2-11 .判断下列各式哪些是二次根式（）0)；(4)4 4x，16 ； (2) x2 4x 4;(3) . 3x(x2 .写出下列各等式成立的条件(1) . 4x22x(2) (x 2)22 x(3) .3x29 x 3 x 3例2.下列式子是最简二次根式的是（）/2 2 /m nC、. 0.3xD、a仝0时，八 有意义，是二次根式，所以2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a 0 时,没有意义。例.若（x 2）2（ x 2）2，则x的取值范围是1当x 时，.3x 5有意义。当x1 D 、 a15 若使代数式有意义，则x的取值范围是（）3A、xm 2 B 、x 2 C 、x 2 D 、x 46 若化简丨1-x | - x2 8x 16的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A、x 为任意实数B 、1 x 1D、x 47. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）4 x （2）.4 |x| （4）.2x61（5）2 |x|2xV1 x8 .二次根式1-a中，字母a的取值范围是（A . a v 1B . a 1D. a 19 .已知/12-n是正整数，则实数 n的最大值为 （A . 12B . 11C . 8D . 310 .使式子寸-x无意义的x取值的是 ;A、负数 B4.二次根式A、av 11，则a应是、正数a 1中,字母二次根式、（*二）的非负性 （ *匚）表示a的算术平方根，也就是说，L e 3 ）是一个非负数，即厂上0）o注：因为二次根式丿-）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（农二 ）的算术平方根是非负数，即屈巨0 （说巴 ）,这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例.若，则 a=,b=1. 若，贝U a=,b=3 .已知x、y是实数，且满足 y= x-6 +. 6- x +1（1 ）求 x和y的值;（2）求x+2y的值。二次根式（ “的性质厂一，（心1 ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。2.把二次根式中根号外的因数移到根号内，结果是注：二次根式的性质公式 !-;（丄二）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以 反过来应用：若，则一“八.二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简J时,定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身,若a是负数，则等于a的相反数-a,即厂一日一例. 2 .已知一个正数的平方根是2x-6和x+3，则这个数是 .化简八时，先将它化成 | | =中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值,L； 一定有意义;，再根据绝对值的意义来进行化简。3 .如果.x2 2xy y2 |x 3| 0，求y-2x的算术平方根。4已知 x210x254 4x x27，求x的取值范围。5 .若.：(3-b)2 =3-b,则( )C. b3与u的异同点1、 不同点：宀与表示的意义是不同的，二.表示一个正数a的算术平方根的平方， 而V- 表示一个实数a的平方的算术平方根； 在”中：工，而“厂中a可以是正实数，0,负实数。但* 与麗都是非负数，即, z -。因而它的运算的结果是有差别的， 一：，僅（龙0）-a （必 0）2、 相同点：当被开方数都是非负数，即“-时，=、* ； ；* 时，-无意义，而“ 一 “例.若av 0，则 a2b化简为（）A、a . b B 、- a . b C 、a .、 b D 、- a. b1当 a 时，. a2（ a）2二次根式的乘除法基础知识1. 计算：逅疵 ; J36 92. 10xy 30xy（x 0, y 0） Jf3 .计算：35a 210b .4. 使等式.x 1 x 1 x 1g x 1成立的条件是 5. 当 a 0, bp 0时，。8若 A a24 ，则A (6. 若 x3+3x2 = xJx+3，贝U x的取值范围是 。7 化简二次根式(5)23 得()A.5、3B.5.3 C .5 3D.30)A. a24 B. a22 C. a222D.a29 下列名式中计算正确的是（A. . ( 4)( 16)4, 16248 B.8a24a aC. .32 423 4 7 D. 、- 412 402,41 40 ,41 4010若 a 1，则.13化简后为（B.C.a 1,1 a D.11. 计算:(1)(2)3.5 210(3)32(4)4.151、5)212. 化简:(1) 12(2) - 72 52(3)2000(4)532282能力提升14. 当a=*3时，则訥5.15. 把a J 1的根号外的因式移到根号内等于 。16已知-x3 3x2 =- x x 3，则()(A) xw 0( B) x w 3(C) x - 3( D)- 3 x0)(2)10x 二10切(x0, y0)2 J6xy 丄 J32xy2(3)4(x0, y0)19.化简:(1) Vab ( a 0, b 0).x324224x y (x0, y0)( 3)a b a b (ab0)能力拓展与探究20. （2006安徽省）计算2 - 9的结果是（）A. 1 B. -1 C. - 7 D. 521. （2007芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm正方形A的边长为6cm B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的边长为（）A. . 14 cm B.4cm C.15 cm D.3cm二次根式的加减基础知识11.把下列各式化成最简二次根式：（1）8=（2）25a =.80 3.48 =(5) 61 =(6) .1.82.判断正误：对的画“、（1）2+ , 3= , 5 ;/” ，错的画“X”（)、8- 3= . 5 ;() 2+ 2=2.2 ;() 3.2- 2=3;()(5) 2 2+ . 2=2 2 ；()(6) 4 3- 3=3 3.()3. 计算:(1)2.7-6 .750+, 32、2x-、8x基础知识21. 填空：二次根式，再将二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成相同的二次根式进行合并2. 计算：(1) .20-53. 计算：(1) 80-20+5.24+ ,0.5 -；9x+6：2x；基础知识3；+101.计算：,40-52. 计算：.5 2+7、12-3 . 752.3.48+315、33. 计算:、3+2 J3+32、2+1 3、. 2-2、x+ 、y 、x-2 y基础知识41.计算：(1)2.12- ,6 2,35+、6 5 ： 2-2 ,32. 填空：(1) 平方差公式：(a+b)(a-b)=(2) 完全平方公式：(a+b) 2=,(a-b) 2=.3. 计算：(1)4+：./74- 723+2二次根是综合1 .如图所示，实数a、b在数轴上的位置，化简：.a2 -2 -.(T乔ab.-1O12 .观察下列等式： 1 2-1,2+1 =(；2+1 )( 2-1)=1念-衣”2 -=(3+ ；2)(3- 2)1羽-丽=3- 2 ；.4+ .3 = ( ；4+ .3)(4-3) =4-3 ；解答下列问题：写出个无理数，使它与 3- 2的积为有理数。你认为这样的无理数可以是利用你观察到的规律，化简：12 ；3+ ,11 ；计算:1 1111+ 、22+ 3 + +3+23+10。1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。