高等代数下期末复习

线 性 空 间一线性空间的判定线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不可，要证 明一个集合是线性空间必须逐条验证.若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和8条运算规律中有一条不满 足即可。例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的 线性空间：1) 次数等于n (n 1)的实系数多项式的全体，对于多项式 的加法和数量乘法；2) 全体n阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：1)否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式， 例如(xn 5)( xn 2) = 3。2) n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成 线性空间的。“全体n阶反对称矩阵”是“ n阶矩阵”的子 集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即 可。当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有(A+B) =A +B =-A-B=-(A+B)，即 A+B 仍是反对称矩T(kA) kA ( k )A-( k儿，所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。例：齐次线性方程组 Ax= 0的全体解向量的集合，对于向量 的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。而非齐次线性方程组 A x=b的全体解向量的集合，在上 述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经 不是它的解向量。二、基维数坐标定义：在线性空间v中，如果存在n个线性无关的向量 。1，。2，111，使得：V中任一向量都可由2,111,5线 性表示，那么，ai/2l/n就称为线性空间V的一个基， n称为线性空间V的维数。记作dimV =n。维数为n的线性空 间称为n维线性空间。定义(向量的坐标)： 设 W m n是线性空间Vn的一个 基。对于任一元素Vn ,总有且仅有一组有序数 Xi,X2, ,X n,使则x1,x2/ ,xn这组有序数就称为元素a在基底：1,： 2,川,：n下的坐标，并记作X= 2，|人丁例：在线性空间R2 2中，就是R2 2的一个基。R2 2的维数为4.任一 2阶矩阵因此A在A, A2, A3,A这个基下的坐标为a,b,c,d若另取一个基ri1B00，B301rid)B3 dB4 因Ej（仁i辽厂n）即为它的一组基n(n 1)2个，维数是n(n 1)2c)B2(c -b)B(b-=（a _ d此A在B1, B2, B3, B4这个基下的坐标为 a b, b - c,c - d,d T。例：考虑全体n阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。3）解：n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义 的18条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法 是构成线性空间的。“全体 n阶对称矩阵”是“ n阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即 可 o从而全体n阶对称矩阵构成的线性空间例：设1 =(1,1,1,1)辽=(1,11,T),；3 = (1,-1,1-1),；4 = (1,T,T,1), =(1,2,1,1)在P4中，求向量 在基；1 , ； 2, ；3, ； 4下的坐标设有线性关系，ab 2 c 3 d 4 ,a b c d = 1a + b- c-d = 2贝U a-b c-d=1 ,a - b - c d = 1可得在基5 ；2, 3 ；4下的坐标为5,bJ,c,d444例：在P4中，由齐次方程组 确定的解空间的基与维数。解：对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为丄8,1,093，2,7,0,19 3例：设V1与V2分别是齐次方程组X1 X2Xn= 0, X1= X2 二二Xn_1二Xn的解空间，证明：pn = y v2.证： 由于xX2 . Xn二0的解空间是n1维的，其基 为：1 二(-1,1,0,.,0),： 2 二(T,0,1，,0),：n1 二(T,0,0，,1)而由X1 = X2二二Xn_1二Xn知其解空间是1维的，令X 1,则其 基为，(1,1,.,1).且：1厂2,厂n1即为Pn的一组基，从而 Pn -V1 V2.又dim(Pn)二dim(VJ dim(V2)，(也可由交为零向量知)故Pn =V厂V2三、基变换与坐标变换基变换：设r2n及忙2厂n是线性空间Vn中 的两个基，若或简记为a11a12a1n/ aa=(1 j2 ja 、na21a229a2n:l an1an2ann丿/ aa=(1 , 2 , n)A（）则矩阵A称为由基“1 2 ,ai n到基B J2） ）P门的过渡矩阵。（）式称为基变换公式.坐标变换：设Vn中的元素，在基：1/ 2 / / n下的坐 标为x1,x2，,xn ）T，在基卩J 2 r / n下的坐标为 （yi,y2 ,yn）T。若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变 换公式1 x2y2y2-1X2 11 :=Ai .，或1 :=A:1XnynyXn第七章线性变换、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.定义： 线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素。严和数域P中任意数k，都有A (:)=A C )+A);A( k )=Ak(：).亠般用花体拉丁字母A, B,表示V的线性变换，A()或A，代表元素在变换A下的像.例？判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1) ?在线性空间V中，其中V是一固定的 向量；2) ?在线性空间V中，A，:其中:V是一固定的向 量；3) ?在 p3 中，a(Xi,X2,X3)= (x；,X2+X3,x)；4) ?在P3中,A(入入)=(2%-X2，X2 X3，Xj ；解：1)当=0时，是;当0时不是2) 当0时，是;当:0时，不是3) 不是.例女口当(1,0,0) , k = 2 时，k A C ) = (2,0,0), A ( ) = (4,0,0),A (k )k A()。4)是因取:=(x1,x2,x3)/ = (yi,y2,y3),有A C) = A (Xi yi,X2 y2,X3y3)=(2Xi2yi-X2-y2,X2y2X3y3,Xiyj=(2X1 - X2,X2 X3,Xi) (2yi - y2,y2 y3, yi)=A + A ,A(k：)二 A(kxkx2,kx3)=k A C ),故A是P3上的线性变换。二、线性变换关于基的矩阵定义：设；1,；2厂，；n是数域P上n维线性空间v的 一组基，A是v中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性 表出：用矩阵表示就是A ( ；1厂2, ,；n) = (A(i), A(；2),，An )(Z Z E 、=12n其中矩阵A称为线性变换A在基12,/ n下的矩阵. 定理：设线性变换A在基EEEA产1，2，n下的矩阵是A，向量 在基；12 / , ； n下的坐标是(X1,X2 ,Xn),则A 在基1, 2/ , n下的坐标(y1，y2/ ，yn)可以按公式 计算.例：在空间PXn中，线性变换Df(X)= f (X)x2xn1在基1，x，2厂石i!下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵 是如何随着基的改变而改变的定理：设线性空间V中线性变换A在两组1， 2，Z， n（6）nnn1 , 2 ,? n下的矩阵分别为A和B，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是B二X AX .定理告诉我们，同一个线性变换 A在不同基下的矩阵之 间的关系为相似定义：设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可 以找到数域P上的n级可逆方阵X，使得B= X _1AX， 就说A相似于B，记作A B 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质:1. 反身性：AA2. 对称性：如果AB，那么B A.3.传递性：如果A B , B C ,那么AC .线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来， 如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两 组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质如果B厂X 1AiX ,B2 = X人乂，那么B B2= X (A A2)X由此可知，如果b二x AX，且f (x)是数域p上一多项式，那么 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算例：r3上的线性变换T在基Ct1111 2 n11Ct = ,10下的矩阵为A 0 1 21 -1 1ot,1则基在：1,2二厂3下的矩阵为(A)广14rf1 41、1(A)011(B)0 441-211-2112 V(242、1 1(C)0 1 12(D)0 2 4J -1 1、工-2 2丿3例：已知P中线性变换A在基广i0 r口 1 =(-1,1,1)/ 2=(1,0,-1)3=(0,1,1)下的矩阵是1 1 0-1 2 1 丿A在基1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵。J1 10解：因为(12 , 3 )=(名 12，名 3 ) 101，所以U -1 b(1, 2 ,-1 1名3 )=( 口 1 , 口 2 , 口 3 )011 0-1 =C23)X ,1-110 r 101、-11-P-11-2 ”=10111001-1=220-1bC121丿013023下的矩阵为2 ,O8 = X1AX四、线性变换的特征值和特征向量定义：设A是数域P上线性空间v的一个线性变换,如果对于数域P中一数，存在一个非零向量，使得A =( 1)那么称为A的一个特征值,而 叫做A的属于特征值的一 个特征向量.如果是线性变换A的属于特征值人的特征向量，那么的任何一个非零倍数k也是a的属于特征值 的特征向 量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能 属于一个特征值.特征值与特征向量的求法：确定一个线性变换A的一个特征 值与特征向量的方法可以分成以下几步：1. 在线性空间V中取一组基1/2/ n，写出A在这组基下的矩阵A ；2. 求出A的特征多项式卜E - A在数域P中全部的根， 它们也就是线性变换A的全部特征值；3. 把所求得的特征值逐个地代入方程组XX2 I（E A） 7:|（），对于每一个特征值，Xn解方程组（），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基；1, ； 2厂n下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特 征向量.矩阵A的特征多项式的根有时也称为 A的特征值，而相应的线性方程组()的解也就称为的特征向量.例 设线性变换A在基311A= 22求A的特征值与特征向量.例设矩阵A为A二 00(1)问A能否相似于对角阵？使得P1AP为对角阵.A的属于这个特征值厂2, 3下的矩阵是2 21 22 1丿，42-3 443 (2)若能，求一个可逆矩阵P，例在空间P【Xn中，线性变换D f(X)=f(X)x2xn1在基1，X，1?厂，眉召下的矩阵是D的特征多项式是-1000扎_ 1 0000-1000nD =因此，D的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知 道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零 常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数 五、线性变换的值域与核定义：设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用AV表示.所有被A变成零向量 的向量组成的集合称为A的核，用A，(0)表示.若用集合的记号则av =r e v,A“(0) = J | A 7 V线性变换的值域与核都是V的子空间.AV的维数称为A的秩，A 1 (0)的维数称为A的零度. 第九章欧氏空间一、欧氏空间举例例1在线性空间Rn中，对于向量=(印包,an), =(bi,b2, ,bn) 定义内积(,)=aibr azSanbn.则内积(1)适合定义中的条件，这样 Rn就成为一个欧几 里得空间仍用来表示这个欧几里得空间.例2在Rn里，对于向量=(ai,a2,an), = Qb, ,bn)定义内(,)=aib 2a2b2na.* 则内积(1)适合定义中的条件，这样 Rn就也成为一个欧几里得空 间.对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成不同 的欧几里得空间.例3在闭区间匕力上的所有实连续函数所成的空间 c(a,b)中，对于函数f(x),g(x)定义内积b(f(x),g(x)p af(x)g(x)dxC(a,b)构成一个欧几里得空间.柯西布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量，有 当且仅当， 线性相关时，等式才成立.对于例1的空间Rn, (5)式就是对于例2的空间C(a,b) , (5)式就是要求：正交矩阵的定义、判断、性质定理：对于任意一个n级实对称矩阵，A都存在正交矩 阵T,使T1AT = TAT =成对角形。定理：任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和2 nyn其中平方项的系数 Sdn就是矩阵A的特征多项 式全部的根注意：正定矩阵的判断与性质正定二次型的判断(列举判断条件)二例题选讲 例.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。解：首先可求得基础解系为的交化得单位化得1， 2，3即为所求的标准正交基